電磁場與電磁波課后習(xí)題及答案

1、百度文庫9電磁場與電磁波課后習(xí)題解答給定三個(gè)矢量 a、B和C如下：ex ey2 ez3 ey4 ezex5 ez2(3) A求：(1)aA ；(7) A(B解(1) aA(2)(3)(4)C；(2)|a b ；C)和(AAA 12 22 (ex ey2 ez3) (ex ey2 ez3) |(ABA B叫C ； (8) (A ex ey2 ez33)2(5)(6)所以A|B由 cos ab上的分量由于B(7)(8)A|(B (A B)|CC)(A B) Cey20ex05ex10ez32ey40ey24ey2(ex10(exAB ； (5)A 在 BB) C 和 A (B12ex ey.14.

2、14(ey4 ez)ey4 ez)11Iex11ey6上的分量；(6) aC)。3吃-=、1453ez4.14.17A cos abex4 ey13ez12ez3111238ABBez10e<8 ey5 ez20ex10 ey1 ez4，得11ABcos1(-丄)V238135.5ez3) (ex8 ey5 ez20)42ey1ex2 ey 40 ez502ey1ez4(ex5 ez2)42ex10A (B C)ey ez23520ex55 ey44 ez11三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為(1) 判斷 RP2F3是否為一直角三角形;(2) 求三角形的面積。 解R(0,1, 2)、P2(4,1, 3)

3、和 Pa(6, 2,5)。(1)三個(gè)頂點(diǎn)p(0,1, 2)、F2(4,1, 3)和F3(6,2,5)的位置矢量分別為 ex6 ey2 ez5 aex 2 ey ez8，1eyez2，2ex 4R1221ex4 ez，R3113 ex 6 eyeyez3，r3R233ez7由此可見|R23 (ex 4RP2P3為一直角三角形。Rl2ez)(ex2 ey ez8)(2)三角形的面積SR12 R23一2求P ( 3,1,4)點(diǎn)到P(2, 2,3)點(diǎn)的距離矢量 解pex 3 ey ez4， pRp pp r pex 5Rpp與x、y、z軸的夾角分別為ex2ey2R23 1 ,17 .69 17.13

4、r及r的方向。ez3，R12ey3eza32.31-cos 1ycos 1 (eyRpp*120.47-邊1(看,Rpp ) ez| RPPaIIABBe3二： 3.532177cos 1(|Rpp| )給定兩矢量A ex2上的分量。解A與B之間的夾角為cosA在b上的分量為ey5 ez6，求它們之間的夾角和a在Bl 29 J給定兩矢量A ex2 的分量。B'ey3 q 4 和 Bex6 ey 4ez，求 A B 在 Cexey ez 上exey2364ez4ex13ey22 ez10所以A B在C上的分量為(A B)c(A_B膽c|A C，則 B) A (A (A|C)A (AA)C

5、 (A A)C2514.43C ；C)，即證明：如果b解由AB A C，則有A (A (a|b)A (A A)BAC，于是得到(A A)BB C，未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)PX，由于A IB故 T/如果給定-A為一已知矢量，解由P aAC 和 A BAX而pA P A (A X)故得在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由A x ， P和P已知，試求(A)X)A (A|A)XpAX pA A P X(4 3)定出，求該點(diǎn)在: '3 '(A A)X(1)直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；(2)球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。解(1)在直角坐標(biāo)系中x故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (2,273,3)

6、。(2)在球坐標(biāo)系中r 4故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為(5 53 1 - 120')25 er 2 r(3,4,(3,4,(用球坐標(biāo)表示的場 E(1)求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(2)求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)解(1)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)4cos(2 3)325、2、y 4sin(2 . 3)2、3、z 3 tan “4 3)53.1、2 . 3120?5)處的E和5)處E與矢量B ex2 ey2 ez構(gòu)成的夾角。5)處，rEx ；(3)242( 5)250 '故251EDr2r23,4,ex EE cosrxEx(2)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)35近(3,4, 5)處，rex3 e425rex3 e4 ez53 220ez5，

7、所以25r1O'、2故E與B構(gòu)成的夾角為EB cosi(卑)cosi( 19(1。逅) 153.6尹32球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)(口，仆J和(r2, 2, 2)定出兩個(gè)位置矢量 尺和R2。證明R1和R2間夾 角的余弦為cos cos 1 cos 2R1 exr1 sin 1 cos 1得至UcosR2exr2 sin 2 cos 2rJ 時(shí)恨2sin 1 cossin 1 sinsin 1 sinR2sin 1 sin 2 cos( 12)eyr1 si n 1 sin 1ey r2 sin 2 sinezr-i cos 11 cos 22 站2 cos1 sin 2 cos 2 2(cos 1

8、 cos 22 cos( 1 2)sin 1 sin1 sin 1sin 2) cos cos 1 cos 2A1 sin 2 sin 2 cos 1 cos一球面S的半徑為5，球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：(e3sinS2erdSd 3sin0 0j (er3sin )|dS ”(er3sin )|在由r 5、z 0和z 4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量 A"d S的值。52 3sind 75 2ez2z驗(yàn)證散度定理。解 在圓柱坐標(biāo)系中a 1一(rra對中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分為'1,；2 12 12( 2 2 2 2 1 Ad(2x 2x y 72x y z )d xdydz12

9、 12 1224) 一(2z) 3r 21 r rz425所以)Addz d (3r：2)rdr1200l00 0又1艸S2 '(ej Sez2z)*er d Sre d SezdSz)4 25 2525d dz24r d r d12000 00 01故有Ad1200A|dS詁1求(1)矢量A exx2 eyx2 y2 ez24x2 y2z3的散度；(2)求|a對中心在原點(diǎn)的一個(gè) 單位立方體的積分；(3 )求a對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理?！?、“2 2、" 2 2 3、解(1) a 旦(24x y z ) 2x 2x2y 72x2y2z2T x yz故有解1,；2 1

10、2i''|A|dS(2dydz12 21 22 1 22x2()2dxdz21 21 22 2 1324x y (一)d xdy1 2211AdA卜I24'S T1 2dS計(jì)算矢量r對一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為Sr|edS又在球坐標(biāo)系中,4r(r r r2r)求矢量A exx正方形的兩邊分別與 斯定理。所以故有12 12(d y dz1 212122122x2(1 21 21)2dxdz2 21 324x y () d xdy1 2 2的球表面的積分，并求aa2sin d 4 a30所以a3r2sin drd d 4 a30 00沿xy平面上的一個(gè)邊長為x軸和y軸相重合。再

11、求2eyX2ezy z2xdxo2xd x2222dy0exeyex2yzSAdl 8124r對球體積的積分。2的正方形回路的線積分，此A對此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克20d y 80ez2xz2y z2 2(ex2yz ez2x)ezdxdy 8AldS求矢量A解Ad lexX eyxy''xdx C2沿圓周2xyS證明：（1）AdSezAs xR 3 ；(2)a2的線積分，再計(jì)算dycos sin42a cosA對此圓面積的積分。sin2 )da444a4a 22 . 2 /r sin0役）|ezdSyR 0 ；（3） （a|r）a。其中y2dSSRexXeyyezZ

12、，A百度文庫為一常矢量。解(1)exeyez(2)(3)設(shè) Aex AxeyAy(AR)一徑向矢量場F解在圓柱坐標(biāo)系中,可得到在球坐標(biāo)系中，由可得到給定矢量函數(shù) E(1 )沿拋物線x2 .y ；解(1)EdlC3zyyezAz，則AxXAyyAzZ，故ex(AxX Ayy AzZ)xey 嚴(yán)x Ayy Azz)ez(AxX Ayy Azz)zer f (r)表示，如果 JF丄乎2)r d rexAxeyAyezAzAf (r) C C為任意常數(shù)。r導(dǎo)r2f(r) 0r d rf(r) £rexy eyX，試求從點(diǎn) R(2,1,(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)Exdx Ey d yC2y

13、d(2y2) 2y2dy1(2)連接點(diǎn)R(2,1, 1)到點(diǎn)x 2y 1那么函數(shù)f (r)會有什么特點(diǎn)呢?yd x xdyC26y2 d y1F2(8,2, 1)直線方程為x 8y 21)到點(diǎn)P2(8,2, 1)的線積分Edl :E是保守場嗎？14x 6y 4 0E|dlEx d xCC由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場。 求標(biāo)量函數(shù)34exey5050Eydy22yd(6y 4) (6y 4)d y (12y 4)d y 1411x2yz的梯度及5ez定出；求(2,3,1)點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量5011百度文庫19解ex(x2yz) ey(x2yz) e(

14、x2yz)y2 2eyX z ezx y故沿方向eex3.504ey.50|6xyz ei *501點(diǎn)(2,3,1)處沿e的方向?qū)?shù)值為_36161. 50. 50試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式解量為在圓柱坐標(biāo)中,Ar r r(r(rr)Ar(r同理因此,矢量場5Q 的方向?qū)?shù)為502 24x z 5x y50,5060.50112.50AxAyAz 相xyzAzozr rr取小體積元如題圖所示。矢量場a沿q方向穿出該六面體的表面的通r)d rdz zArzr,A(r,Az,z)Az(r, ,z故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式rAr(r,dr dz,z),z) A (r,rzr

15、 d r dz) Az(r,z)(rAr) rrd r dzAz 1 (rAr)r rAz zrdr d,z)rrzzAA(rAr)r1r rAzA穿出該六面體的表面的通量為出丄込r r222現(xiàn)有三個(gè)矢量 A、B、C為cose coscos e sinsin (2ez sin2ex(3y2x) qx(1)哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表2e z cos2ez2rzs inez2z示？(2)求出這些矢量的源分布。 解(1)在球坐標(biāo)系中1 2A-(r2Ar)r r1, 2 .2(r sin r r2-si nrr sincoscosA r2sinr2sin(

16、sin A)-r sin)rsin(sin cos cos )cos 2sin coscosr sin(sin )r sinrer sin ersinrAersin cosrsin Arersinr cos cosr sin sin故矢量A既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示; 在圓柱坐標(biāo)系中B = _(rBJ - BBzr rrz1(rz2 sin)1(z2cos ) (2rzsin )r rrz22z sinz sin2r si n2rsinrrerreezerre ez11B rrzrrzBrrBBz2 z sinrz2 cos 2rz sin故矢量B可以由一個(gè)

17、標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；直角在坐標(biāo)系中0|c =CxCyCzxyz2 2(3y2x) (x) (2z)xyzexey ezez(2x 6y)X3y2 2xz2z故矢量C可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。(2)這些矢量的源分布為IA 0， A 0 ；B = 2rsin ， B 0 ；C 0， C ez(2x 6y)利用直角坐標(biāo)，證明(fA) f |A a f解在直角坐標(biāo)中x(Zx(fAx)xf|A a| f f(A A) (Ax 丄 Ay 丄 A 丄) y zx y zAx 丄)(fAy)(fAz)xyyz z(fAy) (fAz)(fA)y z 證明(A H ) H A A H解根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)

18、，有|(A H)a|(A H)h|(A H)式中 A表示只對矢量A作微分運(yùn)算，H表示只對矢量H作微分運(yùn)算。HA/VHHAI同理故有由 a|(b c) c|(a b)，可得 a|(A H)(A H ) H A A H利用直角坐標(biāo)，證明(fG) f G f G 解在直角坐標(biāo)中GzG yGxGzGyGxf G fexy) ey( T ez(y )S，由斯托克斯定理有 u Pu)|dS ；i u|dlU d lcCldu 0yzzxxyf G ex(Gz Gy)ey (Gx 二-Gz ?)ez(GyGx)yzxxy所以fGzfGyf G f Gex( GzfT(Gy -f)yyzzey(GxfGx fx)(Gzf勻zzxxffGxez(Gyyf y)G -fTxxyyex (fGz