建筑力學(xué)電子教案壓桿穩(wěn)定

1、建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 但如桿長(zhǎng)為1m，則不到30n的壓力，桿就會(huì)突然產(chǎn)生顯著的彎曲變形而失去工作能力。 一根寬30mm，厚5mm的矩形截面松木桿，對(duì)其施加軸向壓力，設(shè)材料的抗壓強(qiáng)度為40mpa， 則當(dāng)桿很短（如h=30mm），將桿壓壞的壓力為：nafc600003.0005.010406 建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 橫截面和材料相同的壓桿，由于桿的長(zhǎng)度不同，其抵抗外力的性質(zhì)將發(fā)生根本的改變。 粗短的壓桿是強(qiáng)度問題，細(xì)長(zhǎng)的壓桿是穩(wěn)定問題。 細(xì)長(zhǎng)壓桿之所以喪失工作能力，是由于其軸線不能維持原有直線形狀的平衡狀態(tài)所致，這種現(xiàn)象稱為喪失

2、穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)。建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 工程中，許多受壓構(gòu)件需要考慮其穩(wěn)定性，例如：千斤頂頂桿，托架中的壓桿，無縫鋼管穿孔機(jī)頂桿，采礦工程中的鉆桿等，在軸向壓力較大時(shí)，就可能喪失穩(wěn)定而突然破壞，造成嚴(yán)重事故。 截面窄而高的梁，受外壓的薄壁容器，都可能發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案（1）桿本身不可能絕對(duì)地直；（2）桿的材質(zhì)不可能絕對(duì)地均勻；（3）軸向壓力不可能與桿軸線絕對(duì)重合。 壓桿是在壓縮與彎曲組合變形的狀態(tài)下工作的。f 壓桿受壓力時(shí)彎曲的原因在于：這些因素使壓桿在外加壓應(yīng)力下除了發(fā)生軸向壓縮變形外，還發(fā)生附加的彎曲變形。建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案可以用下列模型

3、來說明穩(wěn)定問題的關(guān)鍵： 在桿上施加一豎向力 f ，再施加一橫向力 q，使桿發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。如果 f 不大，桿能保持平衡，且撤去 q 后，桿將恢復(fù)到其原來的直線狀態(tài)。但當(dāng) f 大過一個(gè)臨界值時(shí)，撤去 q ，桿不再能恢復(fù)到原來的狀態(tài)。前者稱為穩(wěn)定平衡，后者稱為不穩(wěn)定平衡。這個(gè)從穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變到不穩(wěn)定平衡的壓力臨界值稱為臨界力，用 表示。而 只與系統(tǒng)本身的性質(zhì) l 、ei 有關(guān)。 可見，研究壓桿穩(wěn)定的關(guān)鍵就是尋找 。crfcrfcrf建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案f軸壓軸壓f（較?。ㄝ^?。簭潐簭漟（較?。ㄝ^?。┗謴?fù)恢復(fù)直線平衡直線平衡曲線平衡曲線平衡直線平衡直線平衡qf（特殊值）（特殊值）壓彎壓彎失

4、穩(wěn)失穩(wěn)曲線平衡曲線平衡曲線平衡曲線平衡f（特殊值）（特殊值）保持常態(tài)、穩(wěn)定保持常態(tài)、穩(wěn)定失去常態(tài)、失穩(wěn)失去常態(tài)、失穩(wěn)qq q建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案13-2 細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式式 本節(jié)以兩端球形鉸支(簡(jiǎn)稱兩端鉸支)的細(xì)長(zhǎng)中心受壓桿件(圖a)為例，按照對(duì)于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保持微彎狀態(tài)時(shí)的軸向壓力這一概念，來導(dǎo)出求臨界力的歐拉(l.euler)公式。(a)建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 在圖a 所示微彎狀態(tài)下，兩端鉸支壓桿任意 x 截面的撓度(側(cè)向位移)為 w，該截面上的彎矩為m(x)=fcrw (圖b)。桿的撓曲線近似微分方程為

5、 (a) crwfxmwei (b)建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案令 ，將撓曲線近似微分方程(a)改寫成該二階常系數(shù)線性微分方程(b)的通解為02 wkw(b)kxbkxawcossin(c)2crfkei 將邊界條件 x=0，w=0 代入式(c)得 b=0。 利用邊界條件 x=l， w=0得到0sinkla建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案注意到已有 b=0，故上式中的 a 不可能等于零，否則將有w 0 而壓桿不能保持微彎臨界狀態(tài)。由此可知，欲使(c)成立，則必須 sinkl=0 。滿足此條件的 kl 為，2 ,0kl或即，2 0crleif 由于 意味著臨界力 fcr 0，也就是桿根本未受

6、軸向壓力，這不是真實(shí)情況。在 kl0 的解中，最小解相應(yīng)于最小的臨界力，這是工程上最關(guān)心的臨界力。0crleif建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案由 k l 有從而得到求兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式：22crleif 此時(shí)桿的撓曲線方程可取 k l ，代入式(c)得到為：xlawsincrleif22crleif亦即i 是橫截面最小形心主慣性矩建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案13注意到當(dāng) x=l/2 時(shí) w= ，故有 a= 。從而撓曲線方程為lxwsin可見此時(shí)的撓曲線為半波正弦曲線。但是 是一個(gè)無法確定的值。即不論 為任何微小值，上述平衡都可以維持，好象壓桿受 作用時(shí)可以在微彎狀態(tài)下處

7、于“隨遇而安”的平衡狀態(tài)。事實(shí)上這種平衡狀態(tài)是不成立的。 值無法確定的原因是推導(dǎo)采用了撓曲線近似微分方程。如果采用撓曲線精確微分方程，則可以解出 的關(guān)系。crf建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案幾種理想支端約束條件下的細(xì)長(zhǎng)壓桿 當(dāng)這些壓桿都是等截面桿,且均由同一材料制成時(shí),其臨界荷載 fcr的計(jì)算公式可統(tǒng)一寫為labfcrlfcrvlabfcrlabyxfcr13-3 不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐 . 拉公式 壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案式中 稱為長(zhǎng)度系數(shù),隨桿端約束情況而異；l 則稱為相當(dāng)長(zhǎng)度，即相當(dāng)于兩端球形鉸支壓桿的長(zhǎng)度。如下各圖所示。22cr)(leifylabfc

8、rlabyxfcr122crleify7 . 0)7 . 0(22crleify建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案labfcrlfcrv5 . 0)5 . 0(22crleify2)2(22crleify 從上述分析可知,中心受壓直桿的臨界力 fcr 與桿端的約束情況有關(guān)，桿端的約束越強(qiáng)，臨界力越大。建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 如下圖所示兩端固定但上端可有水平位移的等截面中心受壓直桿，其長(zhǎng)度為 l，橫截面對(duì)z軸的慣性矩為i。推導(dǎo)其臨界力fcr的歐拉公式，并求出壓桿的撓曲線方程。labfcr思考題思考題8-1建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案最后得kl = 撓曲線近似微分方程撓曲線方程emvf

9、xmcr)(ezmvfxmie cr)(22crleify)/cos(1 2lxvabyxfcrfcrmeme思思8-1參考答案參考答案建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案思考題思考題8-2labfcri2iil/4l/2l/4推導(dǎo)如圖變截面壓桿臨界力fcr的歐拉公式。建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案思考題思考題8-2參考答案參考答案abfcrcde在臨界力作用下，此桿可在微彎狀態(tài)下維持平衡，其撓曲線由ad、de、eb三段組成。由撓曲線光滑連續(xù)條件可知：在相鄰兩段撓曲線的交界點(diǎn)，撓度相等，轉(zhuǎn)角亦相等。此外中點(diǎn)c處的切線應(yīng)與x軸平行。分段列撓曲線近似微分方程，最后求解得到vfxmcr)(22cr1.

10、68leify建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 粗短的壓桿是強(qiáng)度問題，細(xì)長(zhǎng)的壓桿是穩(wěn)定問題。如何判斷粗短、細(xì)長(zhǎng)桿呢？ 1 臨界應(yīng)力和柔度臨界應(yīng)力和柔度 臨界力 作用下壓桿橫截面上的平均壓應(yīng)力稱為壓桿臨界應(yīng)力 。crfcr 從前面的推導(dǎo)可以看到，求壓桿臨界荷載的歐拉公式 只適用于壓桿失穩(wěn)時(shí)仍在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。crcrfa建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 因此，可以把臨界狀態(tài)下按直桿算得的橫截面上的正應(yīng)力 cr 不超過材料的比例極限 p 作為歐拉公式適用范圍的判斷條件，即 引入 fcr 的表達(dá)式，有（1）pcraleiafcr22cr)(（2）式中 i/a 是一個(gè)只與截面形狀及尺寸有關(guān)的量

11、，通常把它的方根用 i 表示，即建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案稱為截面慣性半徑，其量綱為長(zhǎng)度的一次方。則（2）式可表示為（3）2222222cr)()(eileleiiia為壓桿的柔度，亦稱長(zhǎng)細(xì)比。是一個(gè)無量綱的量。它反映桿端約束情況、桿長(zhǎng)、截面形狀和尺寸等因素對(duì)臨界力的綜合影響。 越大，桿越細(xì)長(zhǎng)， 越小。所以 是壓桿穩(wěn)定計(jì)算中的一個(gè)重要參數(shù)。 其中l(wèi)icrf建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案上式表明，如果壓桿的柔度 大于或等于只與材料性質(zhì)有關(guān)的一個(gè)量那么歐拉公式適用。 對(duì)于q235鋼，如取e=2.06105 mpa，比例極限p=200 mpa, 則p=100。pe2將式（3）代入式（1），則

12、有p22cre或ppe2建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界應(yīng)力 cr 隨柔度 的變化情況，以及歐拉公式的適用范圍如圖：pp歐拉公式可用雙曲線cr22cre2 2 壓桿的臨界應(yīng)力總圖壓桿的臨界應(yīng)力總圖建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 我國鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)于由q235鋼制成的壓桿，根據(jù)試驗(yàn)資料規(guī)定，對(duì)于 c ，而不是 p的壓桿才能用歐拉公式求臨界應(yīng)力，而)57. 0(s2ce 該規(guī)范還規(guī)定,對(duì)于c的鋼壓桿，臨界應(yīng)力的計(jì)算式采用拋物線型的半經(jīng)驗(yàn)公式)/(1 2cscr對(duì)于q235鋼制成的壓桿， = 0.43。建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案臨界應(yīng)力總圖（ ）0.57scp雙曲線拋物線cr

13、s22rce)/(1 2cscrcr關(guān)系曲線建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案小結(jié)：小結(jié)：（1） 能應(yīng)用歐拉公式求臨界應(yīng)力的壓桿稱為大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿 。 （2） 只能用經(jīng)驗(yàn)公式求臨界應(yīng)力的壓桿稱為中柔度壓桿。 （3）臨界應(yīng)力接近材料屈服強(qiáng)度的壓桿稱為小柔度壓桿或短桿，這時(shí)桿的破壞是強(qiáng)度問題而不再是穩(wěn)定性問題。 pp 建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案 要保證壓桿在荷載作用下不致失穩(wěn)且有一定的安全儲(chǔ)備，其條件是式中的 為穩(wěn)定的安全系數(shù)。stnffcr相應(yīng)地有stcrn或st式中 是穩(wěn)定容許應(yīng)力，是隨壓桿柔度變化的一個(gè)量。stnst材料鋼木材鑄鐵nst1.83.02.53.54.55.5建筑力學(xué)電

14、子教案建筑力學(xué)電子教案 在有些工程計(jì)算中，更把穩(wěn)定容許應(yīng)力 通過一個(gè)隨壓桿柔度 變化的穩(wěn)定系數(shù) f () 與桿材料的強(qiáng)度容許應(yīng)力 加以聯(lián)系，即 f)(st 有時(shí)壓桿的局部截面有削弱，例如桿上開有小孔或溝槽。由于壓桿臨界力是從整個(gè)壓桿的彎曲變形來考慮的，局部截面削弱對(duì)的影響很小。所以在穩(wěn)定計(jì)算中一般可不考慮局部截面削弱情況，但有時(shí)需對(duì)削弱截面進(jìn)行強(qiáng)度校核。st的關(guān)系可查相應(yīng)設(shè)計(jì)規(guī)范得到。建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案例11-2 有一一端固定，另一端球形鉸支的空心圓截面鋼壓桿。已知：l =5 m, d =100 mm, d =50 mm, e=2.0105 mpa, p=200 mpa, s=240 mpa, =2.5。求容許軸向壓力f。labyx fstn建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案（1）計(jì)算壓桿的柔度，判明歐拉公式是否可用慣性半徑查得一端固定一端鉸支壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)為= 0.7解：)/4-()/64-(4444ddaddiaii/則125/il對(duì)于q235鋼制作的壓桿， c時(shí)可用歐拉公式求臨界力。建筑力學(xué)電子教案建筑力學(xué)電子教案現(xiàn)而有c，故歐拉公式可用。（2）求臨界力fcr，再根據(jù)給定的穩(wěn)定系數(shù)nst，求容許壓力f120)57. 0/(s2ce此壓桿橫截面對(duì)于形心軸的慣性矩為4-644m104.6