二項式定理性質(zhì)ppt課件

1、九章算術(shù)九章算術(shù)楊輝楊輝詳解九章算法詳解九章算法中記載的表中記載的表本積本積平方平方立方立方三乘三乘四乘四乘五乘五乘商實商實1 這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做右邊的多項式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二項展開式的叫做二項展開式的通項通項，用，用 Tr+1 表示，該項是指展開式的第表示，該項是指展開式的第 項，展開式共有項，展開式共有_個項個項.rnC展開式展開式二項式系數(shù)二項式系數(shù)rrnrnbaCr+1n+1nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 二項式定理二

2、項式定理 )(Nn1rn rrrnabCT21615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 0

3、4 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn表中的每一個表中的每一個數(shù)等于它肩上數(shù)等于它肩上的兩數(shù)的和的兩數(shù)的和這個表叫做二項式系數(shù)表這個表叫做二項式系數(shù)表,也稱也稱“楊輝三角楊輝三角”nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 3二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì) （1）對稱性）對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩的兩個二項式系數(shù)相等個二項式系數(shù)相等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對稱軸：圖象的對稱軸：2nr 42 2、若（、若（a+ba+b）n n的展

4、開式中，第三項的二項式系的展開式中，第三項的二項式系數(shù)與數(shù)與 第五項的第五項的二項式系數(shù)相等，二項式系數(shù)相等，課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 1、在、在(a(ab)b)展開式中，與倒數(shù)第三項二項式系展開式中，與倒數(shù)第三項二項式系數(shù)相等是數(shù)相等是( )( )A A 第項第項 B B 第項第項 C C 第項第項 D D 第項第項則則n=_n=_B B6 65先增后減先增后減n n是偶數(shù)時，是偶數(shù)時，中間的一項（第中間的一項（第 項）的二項式系數(shù)項）的二項式系數(shù)取得最大值取得最大值 ；2nnC12n當(dāng)當(dāng)n n是奇數(shù)時，是奇數(shù)時，中間的兩項（第中間的兩項（第 項）的二項式項）的二項式系數(shù)系數(shù) 和和 相等，且同時取

5、相等，且同時取得最大值。得最大值。 2 21 1n nn nC C2 21 1n nn nC C、121n121n（2）增減性與最大值）增減性與最大值 二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì) 1615 20 1561111211331146411510 10516例例1、已知已知 的展開式中只有第的展開式中只有第10項的二項的二項式系數(shù)最大，求第五項。項式系數(shù)最大，求第五項。 nxx431 依題意，依題意， 為偶數(shù)，且為偶數(shù)，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxCTT解：解：71.在在(1+x)10的展開式中，二項式系數(shù)最大為的展開式中，二項式系數(shù)最大為 ； 在在(1

6、-x)11的展開式中，二項式系數(shù)最大為的展開式中，二項式系數(shù)最大為 .510C611C511C2.（x-2)9的展開式中，第的展開式中，第6項的二項式系數(shù)項的二項式系數(shù) 是（是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126C3.3.在二項式在二項式(x-1)(x-1)1111的展開式中的展開式中, ,求系數(shù)最小的求系數(shù)最小的項的系數(shù)。項的系數(shù)。462462C C5 51111最大的系數(shù)呢？最大的系數(shù)呢？課堂練習(xí)課堂練習(xí)462462C C6 611118（3）各二項式系數(shù)的和）各二項式系數(shù)的和 在二項式定理中，令在二項式定理中，令 ，則：，則： 1bannnnnn2CCCC210

7、 這就是說，這就是說， 的展開式的各二項式系的展開式的各二項式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于：nba)( n2同時由于同時由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合總數(shù)公式這是組合總數(shù)公式 二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì) 賦值法賦值法9例例2 2. . 的展開式的各項系數(shù)和為的展開式的各項系數(shù)和為_nx) 12(2解：解：設(shè)設(shè)展開式各項系數(shù)和為展開式各項系數(shù)和為1注意：求展開式中各項系數(shù)和常用賦值法：注意：求展開式中各項系數(shù)和常用賦值法：令二項式中的字母為令二項式中的字母為1 1naaaa210上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=1x

8、=1時，時， (2-1)(2-1)n n= =naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202) 12(例題講解例題講解10例例3 3、證明：在證明：在(a(ab)b)n n展開式中展開式中, ,奇數(shù)項的二項式系奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和. . 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C即證：即證：n-1n-1證明證明（a+ba+b）n nC Cn n0 0a an n+C+Cn n1 1a an-1n-1b+Cb+Cn n2 2a an-2n-2b b2

9、 2+ + + + C Cn nr ra an-rn-rb br r+ +C+Cn nn nb bn n令令a=1,b=-1a=1,b=-1得得0) 11 () 1() 1(2n nn nr rn n2 2n n1 1n n0 0n nC C. . . .C C. . . .C CC CC Cn 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C特例法特例法賦值法賦值法113 32 23 30 01 12 23 32 22 20 02 21 13 3設(shè)設(shè) 2 2x x3 3a aa a

10、x xa a x xa a x x . .求求: : a aa a. .a aa a2 2的的值值. .1121357911111111111111_;_ .1.nnnnCCCCCCCCC10212 n課堂練習(xí)課堂練習(xí)12727012712713570246312 ).(xaa xa xa xaaaaaaaaaaa已已知知則則-2-10941093課堂練習(xí)課堂練習(xí)13例例4 4. .設(shè)設(shè) 二項式展開式的各項系二項式展開式的各項系數(shù)數(shù) 的和為的和為P P；二項式系數(shù)的和為；二項式系數(shù)的和為S S，且，且P+S=272P+S=272，則展開式的常數(shù)項為則展開式的常數(shù)項為_nxx)13 (3108n

11、=4例題講解例題講解1420(234.),x在在的的展展開開式式中中求求其其項項的的最最大大系系數(shù)數(shù). .不不必必化化簡簡例例解解: : 設(shè)設(shè) 項是系數(shù)最大的項項是系數(shù)最大的項, ,則則1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r項系數(shù)最大的項是即例題講解例題講解15（1） 二項式系數(shù)的三個性質(zhì)二項式系數(shù)的三個性質(zhì): : （2） 數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想。函數(shù)思想。 各各二二項項式式系系數(shù)數(shù)的的和和增增減減性性與與最最大大值值對對稱稱性性二項式系數(shù)之和: 最最 值值: :（3） 數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法 ： 賦值法賦值法 、遞推法、遞推法21 nk當(dāng)當(dāng) 時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，時，二項式系數(shù)是逐漸增大