同濟大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)課件（下冊）：D8_1向量及運算

1、數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; ; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程（組）方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運算 第八八章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 表示法:向量的模 :

2、 向量的大小,21MM記作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量自由向量:與起點無關(guān)的向量.單位向量: 模為 1 的向量,零向量: 模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或記作 e 或e .或 a .00或，記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量

3、平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個向量共面 .記作a ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、向量的線性運算二、向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba cba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時特別當(dāng),ab aa )( aababaabababa0

4、baba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可見aa 1;1aa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù) ,規(guī)定 :時，0,0時,0時總之:運算律 : 結(jié)合律分配律因此，同向與aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作.a;aa，反向與aa;aa.0aaa)(aa)(aa)( aaba)(ba , 0a若ae則有單位向量.1aaaeaa 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1. 設(shè) a 為非零向量 , 則( 為唯一實數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .則,0故.即abab設(shè) abba反向時取負號, a , b 同向時取正號則 b 與 a 同向,設(shè)又有 b a ,0)(aaa baa

5、b.ab故,0a而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 “ ”則,0 時當(dāng)例例1. 設(shè) M 為MBACD解解:ABCD 對角線的交點,0 時當(dāng)ba,0 時當(dāng),aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 O , 坐標(biāo)面 卦限(八個)1. 空間直角

6、坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念O面xOy面yOzzOx面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在直角坐標(biāo)系下xyz向徑 11坐標(biāo)軸上的點 P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR), 0(zyB(稱為點 M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點 O(0,0,0) ;rOr)0 ,(yxAM), 0 ,(zxC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :xOy面0 zyOz面0 xzOx面0 yxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 向量的坐

7、標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點 M , ),(zyxM則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量分向量,),(zyxxOyzMNBCA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA記記 , ixOA, jyOB rkzjyix稱為向量,kzOC kzjyixrikjr.,的坐標(biāo)稱為向量 rzyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算則),(zzyyxxbababa),(zyxaaaxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成

8、比例:，為實數(shù)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb baa,0 時當(dāng)aab ab目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求解以向量為未知元的線性方程組解解: 2 3 , 得)10, 1,7(代入得)16,2,11(ayx35byx23.211,212），（），（其中babax32)3(21bxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 已知兩點在AB所在直線上求一點 M , 使解解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為, ),(zyx如圖所示ABMo11AB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數(shù), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOM

9、OB AOOM )(OMOB OMOBOA(M目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 由得定比分點公式定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當(dāng)點 M 為 AB 的中點 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式中點公式:ABMoABM目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx則有222OROQOPxOyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點間的距離公式:),(121212zzy

10、yxx212212212)()()(zzyyxx對兩點與, ),(222zyxB, rOM作NMON BABAOAOBBA),(zyxr 設(shè)OMr OMr OROQOP目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 在 z 軸上求與兩點)7,

11、 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考:(1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?)7, 1 ,4(A)2,5,3(B提示提示:(1) 設(shè)動點為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2)

12、 設(shè)動點為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6. 已知兩點),3, 1 ,7()5,0,4(BA和解解:141)2,1,3(142,141,143BABA求AB的單位向量 e .e目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 任取空間一點 O ,OAB稱 =AOB (0 ) 為向量 的夾角. 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 與三坐標(biāo)軸的夾角 , , 為其方向角方向角.cos222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. ,aOA 作, bOB ,baba,0),(zyxr給定r稱),(ba記作),(ab或rx

13、r目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):)cos,cos,(cosrxryrzrrer:的單位向量向量 r目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 已知兩點)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 設(shè)點 A 位于第一卦限,解解: 已知角依次為,43求點 A 的坐標(biāo) . ,4,3

14、則222coscos1cos41因點 A 在第一卦限 , 故,21cos于是6,cos,coscos)3,23,3(故點 A 的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OA第二節(jié) OAeAO6,21,2221目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 uOuuaa)(Prj或記作M3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影第二節(jié) Oua則 a 在軸 u 上的投影為 例如, ),(zyxaaaa 在坐標(biāo)軸上的投影分別為 設(shè) a 與 u 軸正向的夾角為 ,M, 即 cos)(aaucosazyxaaa,投影的性質(zhì)投影的性質(zhì)2) uuaa)()(1) uuubaba)()()(為實數(shù)) MM目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9.第二節(jié) 設(shè)立方體的一條對角線為OM, 一條棱為 OA, 且 , aOA 求OA 在 OM 方向上的投影. 解解: 如圖所示, 記 MOA = , cosAOMOMOA313a作業(yè)作業(yè) P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19acosPrjOAOAOM目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題解解: 因1. 設(shè)求向量在 x 軸上的投影及在 y 軸上