結(jié)構(gòu)動力學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)

1、專題報告：結(jié)構(gòu)動力學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)一、單自由度系統(tǒng)的振動21.1自由振動31.1.1 無阻尼的自由振動31.1.2 有阻尼的自由振動31.2簡諧載荷作用下的強迫振動51.2.1 無阻尼強迫振動51.2.2有阻尼的強迫振動51.3任意載荷下的強迫振動6二、多自由度系統(tǒng)的振動82.1多自由度系統(tǒng)的固有頻率和主振型82.2主振型的正交性92.3 模態(tài)分析法102.3.1 無阻尼強迫振動112.3.2 有阻尼強迫振動13三、結(jié)構(gòu)振動的有限元計算163.1振動的基本方程163.2 虛功原理173.3 結(jié)構(gòu)振動的有限元分析列式17一、單自由度系統(tǒng)的振動考慮圖1所示的單自由度系統(tǒng)的力學(xué)模型（彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)），它由

2、剛體質(zhì)量塊、彈簧和阻尼器組成，彈簧和阻尼器的質(zhì)量與剛體質(zhì)量塊相比可以忽略，系統(tǒng)的位移完全由剛體質(zhì)量塊的位移確定。圖1 單自由度系統(tǒng)（彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)）m以彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)為例，對單自由度系統(tǒng)進行受力分析。如圖2所示，此時有3種力作用在質(zhì)量塊上：彈性恢復(fù)力，阻尼力和外力。·圖2 彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)受力分析a) 彈簧恢復(fù)力：彈簧的變形產(chǎn)生的彈性力，彈簧恢復(fù)力與運動方向相反。b) 阻尼力：若采用粘性阻尼模型，則阻尼力為，阻尼力與運動方向相反。c) 外力：外部作用在質(zhì)量塊上的力，一般情況下為時間的函數(shù)，主要有3種類型：周期力，瞬變力，隨機力。根據(jù)牛頓第二定律，可以寫出下式 上式稱為單自由系統(tǒng)的動力平

3、衡方程。根據(jù)施加在質(zhì)量塊上的外力的類型不同，可以結(jié)構(gòu)的振動分析分為模態(tài)分析，瞬態(tài)動力學(xué)分析，簡諧響應(yīng)分析和隨機譜分析。外力的類型分析類型振動類型無外力 模態(tài)分析自由振動瞬變力（能夠使用函數(shù)表示）瞬態(tài)動力學(xué)分析任意載荷下的強迫振動簡諧力簡諧響應(yīng)分析簡諧載荷下的強迫振動隨機力（只能用統(tǒng)計的方式描述）隨機譜分析1.1自由振動若系統(tǒng)不受外部的干擾作用，僅由初始條件（初位移和初速度）引起的振動，稱為自由振動。1.1.1 無阻尼的自由振動當(dāng)不考慮阻尼作用時，振動方程退化為： 令 則方程可以改寫成為 方程的解的形式為： 將初始條件代入中，可以得到 則 1.1.2 有阻尼的自由振動單自由度系統(tǒng)考慮阻尼作用的自

4、由振動方程為 或?qū)憺?其中 稱為阻尼特性系數(shù)。常微分方程的特征方程為 特征方程的根為 1) 當(dāng)時，為超臨界阻尼系統(tǒng)，微分方程的通解為 將初始條件代入中，可以得到 2) 當(dāng)時，為臨界阻尼系統(tǒng)，微分方程的通解為 由初始條件，可得 不難發(fā)現(xiàn)，式和式所表示的運動都沒有振動的特征。3) 當(dāng)時，為低阻尼臨界系統(tǒng)，這時特征方程的根為 其中 微分方程的通解為 1.2簡諧載荷作用下的強迫振動本節(jié)討論系統(tǒng)受到簡諧變化的干擾力作用下的強迫振動響應(yīng)問題。1.2.1 無阻尼強迫振動在無阻尼的情況下，假定載荷為如下的簡諧形式 因此無阻尼強迫振動方程為 或?qū)憺?方程的通解可由齊次方程的通解和非齊次方程的特解疊加而得。由的形

5、式，我們不難找到它的一個特解 則微分方程的通解為 由初始條件，可求得 ，則式可寫為 在式中，前3項是振動頻率為的自由振動。其中前2項的系數(shù)決定于初始條件，通常稱它們?yōu)闆Q定于初始條件的自由振動。第3項則不管初始條件如何，都將伴隨干擾力的作用而產(chǎn)生，故可稱為伴生的自由振動。至于第4項，則完全按照干擾力頻率進行振動，故稱為純強迫振動。1.2.2有阻尼的強迫振動單自由度系統(tǒng)考慮阻尼作用的運動方程為 可知上式的通解為 將初始條件代入上式，可得到 上式的第1項為決定于初始條件的自由振動，第2項表示伴生的自由振動。這2項皆因有阻尼的存在而逐漸衰減。第3項是純強迫振動，其振幅與周期都不隨時間而變化，是穩(wěn)定的周

6、期運動。1.3任意載荷下的強迫振動本節(jié)討論單自由度系統(tǒng)在任意一般性載荷作用下的強迫振動問題。在任意載荷下彈簧-阻尼系統(tǒng)的振動方程為 根據(jù)齊次化原理，可將方程分解為 和 對于方程，利用動量定理可以將初始時刻的瞬時沖擊載荷轉(zhuǎn)化為初始時刻的速度，方程可轉(zhuǎn)化為 這是一個初始位移為0，初始速度為的自由振動問題，可得方程的解為 其中 因此在時間段內(nèi)的任意載荷可以看作為時間間隔內(nèi)大量瞬時載荷的疊加，所以載荷在時刻的總響應(yīng)為 而對于方程，易求得其解為 將式和式相加，得到方程的解為 二、多自由度系統(tǒng)的振動第一章主要討論了單自由度系統(tǒng)的振動問題。但嚴(yán)格來說，單自由系統(tǒng)是不存在的，它只是實際結(jié)構(gòu)的粗略的簡化。在工程

7、中，我們會遇到更加廣泛的問題，有些問題必須按多自由度系統(tǒng)來處理，本章將主要討論多自由度系統(tǒng)的振動。對于多自由度系統(tǒng)，如果考慮阻尼，在外力的作用下的運動方程為 求解此運動方程一般有兩類方法，一類是模態(tài)分析法，另一類是直接積分法。本章中將首先介紹多自由度系統(tǒng)無阻尼強迫振動的模態(tài)分析法，然后介紹有阻尼的強迫振動的模態(tài)分析法。2.1多自由度系統(tǒng)的固有頻率和主振型考慮一多自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動系統(tǒng)，其計算的關(guān)鍵是求解其自振頻率和振型。 因該方程有解的形式為 將式代入式中，有 消去后，有 該方程有非零解的條件是 這就是多自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動的廣義特征方程，是自然圓頻率，對應(yīng)的頻率為。如果將特征向量

8、用來表示，很顯然滿足方程 在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，稱為結(jié)構(gòu)的振型或模態(tài)。在求出系統(tǒng)的各階自然圓頻率后，再將某一階固有頻率代入方程中，可求出對應(yīng)的特征向量。2.2主振型的正交性在多自由度系統(tǒng)中，各階主振型之間存在著正交性。設(shè)維向量是相應(yīng)于自由度系統(tǒng)自振頻率的兩個振型，且。顯然，可以證明 和 式和式表明了固有振型關(guān)于質(zhì)量陣與剛度陣的正交性。對于自由度系統(tǒng)，每一自振頻率和振型都應(yīng)能滿足式，把它們依次寫出來，有 這個式子可以合并寫成如下矩陣形式： 其中 稱為特征值矩陣。用左乘式的兩端，可得 或記為 其中 稱為主坐標(biāo)剛度矩陣； 稱為主坐標(biāo)質(zhì)量矩陣?？梢钥闯?，分別為對角矩陣。2.3 模態(tài)分析法模態(tài)分析法，就是應(yīng)用

9、由系統(tǒng)各階主振型組成的模態(tài)矩陣作為變換矩陣，對系統(tǒng)原運動方程進行坐標(biāo)變換，使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都同時對角化，得到一組獨立的、互不耦合的模態(tài)方程，因而可以應(yīng)用單自由度系統(tǒng)的方法分別求解每一個方程，從而求得多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)的整個過程?，F(xiàn)應(yīng)用模態(tài)分析法來計算多自由度系統(tǒng)在外力作用下的響應(yīng)，為了使問題簡化，忽略系統(tǒng)阻尼，則系統(tǒng)的運動方程為 用模態(tài)分析法解上述方程的步驟如下：1) 解出系統(tǒng)的各階固有頻率和相應(yīng)的主振型，并由此求出模態(tài)矩陣。2) 用模態(tài)矩陣，對原方程作如下的坐標(biāo)變換： 且原方程變換為模態(tài)方程為 3）按單自由度系統(tǒng)的方法分別求解模態(tài)方程中個互相獨立的方程，求得，而即是以模態(tài)坐標(biāo)表示的系統(tǒng)對

10、外力的響應(yīng)。4）應(yīng)用的線性變換，將模態(tài)坐標(biāo)或正則坐標(biāo)變?yōu)槲锢碜鴺?biāo)（即系統(tǒng)原來的廣義坐標(biāo)）。最后求得的這一組物理坐標(biāo)就是系統(tǒng)運動方程的解。2.3.1 無阻尼強迫振動無阻尼多自由度系統(tǒng)的運動方程為 一個多自由度系統(tǒng)，在外力激勵下的響應(yīng)主要由其較低的一部分振型決定，則可以將位移向量用前階振型的組合來表示，即 其中 是廣義位移向量，而振型矩陣 是一個矩陣。式表明，原坐標(biāo)系統(tǒng)中描述的位移通過振型矩陣轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)系中的廣義位移，將式代入方程，可得 將式等式左右兩端分別左乘矩陣，可得 由振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性可知 則式可改寫為 它展開為如下個獨立的方程 或 式或式表示個互不耦合的二階線性常微分

11、方程，可以由第一章介紹的方法求解，即 將式代入式，得 式等號右端第一項是運動方程的齊次通解，第二項是方程的特解。下面討論如何由初始條件和計算。將式等號左右兩端分別左乘，有 利用振型關(guān)于質(zhì)量陣的正交性，則式變換為 則 由式和式，有 則 將初始條件代入式和式，可得到 2.3.2 有阻尼強迫振動考慮阻尼的多自由度系統(tǒng)，其在外力作用下的運動方程為 將位移向量用前階振型的組合來表示，即 將式代入方程，可得 將式等式左右兩端分別左乘矩陣，可得 或 式中仍如式()和式()所示，為對角陣。而 在求解強迫振動方程和之前，首先研究一下系統(tǒng)的阻尼問題。當(dāng)采用振型疊加法計算系統(tǒng)動力響應(yīng)，在將系統(tǒng)的響應(yīng)從物理坐標(biāo)變換為

12、模態(tài)坐標(biāo)之后，阻尼矩陣能夠轉(zhuǎn)化為對角陣。為了形成非耦合阻尼矩陣，需要引入進一步的假定，現(xiàn)介紹工程中最常用的瑞利阻尼系統(tǒng)。瑞利假定阻尼矩陣為 式中為常數(shù)。將式代入式，得 其中 方程可展開為如下個獨立的方程 或 方程和方程表示個互不耦合的二階線性常微分方程，其解仍可寫成式，待定常數(shù)仍可由式和式確定。三、結(jié)構(gòu)振動的有限元計算在前兩節(jié)中，討論了具有單自由度系統(tǒng)和多自由系統(tǒng)的振動問題。在實踐中，大多數(shù)工程振動系統(tǒng)，無論是它的質(zhì)量還是剛度都具有分布特性，在理論上都是無限多自由度系統(tǒng)，即為彈性體。但由于機械系統(tǒng)的復(fù)雜性，若按無限多自由度來處理，在數(shù)學(xué)上至目前為止還無法解決。因此將系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)用一些離散的結(jié)構(gòu)來

13、理想化是可取的，從而使無限多自由度問題簡化成有限的多自由度問題。這樣既能較為精確地反映機械系統(tǒng)的動態(tài)特性，又能便于數(shù)學(xué)上的求解。3.1振動的基本方程基本變量三大類變量、和是坐標(biāo)位置和時間的函數(shù)，一般將其記為?；痉匠?1) 平衡方程利用達(dá)朗貝爾原理將慣性力和阻尼力等效到靜力平衡方程中，有 其中為密度，為阻尼系數(shù)。(2) 幾何方程 (3) 物理方程 其中為彈性系數(shù)矩陣。(4) 邊界和初始條件位移邊界條件為 力的邊界條件為 初始條件 3.2 虛功原理基于上述基本方程，可以寫出平衡方程及力邊界條件下的等效積分形式 對該方程右端第一項進行分部積分，并應(yīng)用高斯-格林公式，整理得 3.3 結(jié)構(gòu)振動的有限元分析列式單元的節(jié)點位移列陣為 單元