第33講圓錐曲線方程及性質

1、普通高中課程標準實驗教科書一數學人教版高三新數學第一輪復習教案(講座33)圓錐曲線方程及性質一課標要求：1了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作 用；2. 經歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質；3了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關性質。二.命題走向本講內容是圓錐曲線的基礎內容，也是高考重點考查的內容，在每年的高考試卷中 一般有23道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內容是圓錐曲線的概 念和性質，從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質。圓錐曲線在高考試題 中占有穩(wěn)定的較大

2、的比例，且選擇題、填空題和解答題都涉及到，客觀題主要考察圓錐 曲線的基本概念、標準方程及幾何性質等基礎知識和處理有關問題的基本技能、基本方 法。對于本講內容來講，預測 07年：(1) 1至2道考察圓錐曲線概念和性質客觀題，主要是求值問題;(2)可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應用，結合三種形式的圓錐曲線的定義。要點精講1.橢圓(1 )橢圓概念平面內與兩個定點 F,、F2的距離的和等于常數(大于 嚇祈2丨)的點的軌跡叫做橢圓。這 兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若M為橢圓上任意一點，則有| M F! | | M F2 |=2a。橢圓的標準方程為:(a b - 0 )(焦點在

3、注：以上方程中2 2x y1 ( a b - 0 )(焦點在a b軸上)。a,b的大小a b 0，其中J二a2x軸上)2b ;置,要分清焦點的位0 , m嚴n )當y軸上的橢圓。 對稱性：在曲線方程里，若以 _y代替y方程不變，所以若點(x, y)在曲線上時， 點(x, _y)也在曲線上，所以曲線關于 x軸對稱，同理，以 _x代替x方程不變，則曲線 關于y軸對稱。若同時以 _x代替x，一y代替y方程也不變，則曲線關于原點對稱。所以，橢圓關于x軸、y軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對 稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心； 頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸

4、的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令 x =0，得y = b，則B1 (0, _b)， B2(0, b)是橢圓與y軸的兩 個交點。同理令y =0得x ，即A(-a,0)， A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點。 所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段a1 A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b， a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為a ；在Rt.lOB2F2中，2 2 2 2 2 2| OB 2|=b ， |OF2|=c， |B2F2| = a，且 |OF2| B 2F 2 | | O B2

5、 |，即 c =a c ；c 離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e叫橢圓的離心率。/ a . c . 0，/. 0 ： e ： 1 ,a且e越接近1 , c就越接近a ,從而b就越小，對應的橢圓越扁；反之， e越接近于0 , c 就越接近于0 ,從而b越接近于a ,這時橢圓越接近于圓。當且僅當a = b時，c = 0 ,兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x 2 范圍：從標準方程 匕-呂=1 ,看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線a bx = ±a的外側。即x2 Xa2 , x即雙曲線在兩條直線 x = ±a的外側。 y2二a2。2雙曲線(1)雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的

6、絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線 (|PFi | -|PF2 | = 2a )。注意：( * )式中是差的絕對值，在 0 : 2a ：| F1F2 |條件下；| PFi | - | PF2 |= 2a 時為雙曲線的一支(含 f2的一支)；|PF2 | PF1 |=2a時為雙曲線的另一支(含 F1的一 支)；當2a =|F1F2 |時，| PF | - | PF2 |=2a表示兩條射線；當 2a |F1F2 |時， | PF1 | - | PF2 |=2a不表示任何圖形；兩定點FF2叫做雙曲線的焦點，|FF2 |叫做焦距。橢圓和雙曲線比較:橢圓雙曲線定義| PF1 | +| PF2 | = 2

7、a(2a >| FR |)| PF1 |一| PF2 |=2a(2a PF1F2 |)方程2 2x +y =1a2b22 21b2a22 2xy=1a2b22 2丄x =1a2b2焦占八'、八、F(±C,0)F (0, 土c)F (土c,0)F (0, 土c)注意：如何有方程確定焦點的位置！(2)雙曲線的性質22 對稱性：雙曲線 冷_與=1關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是a b22 2雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線-1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線2.2a b的中心。2 2 頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線 牛一當=1的方程里，a

8、 2 b2對稱軸是x, y軸，所以令y = 0得x =a，因此雙曲線和x軸有兩個交點2 2X yA （ -a,0）A2（a,0），他們是雙曲線 飛 -=1的頂點。a b令x =0，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1） 注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線 的頂點分別是實軸的兩個端點。2） 實軸：線段 A A?叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段B B 2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱2 2為雙曲線的漸近線。 從圖上看，雙曲線

9、罕=1的各支向外延伸時， 與這兩條直線逐a b漸接近。 等軸雙曲線：1） 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a =b ；2） 等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：y=x ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3） 注意到等軸雙曲線的特征 a =b，則等軸雙曲線可以設為：x2 -y2二（，=0）， 當二0時交點在x軸，當 0時焦點在y軸上。2 2 2 2xyyx 注意1與1的區(qū)別：三個量a,b,c中a, b不同（互換）c相1699 16同，還有焦點所在的坐標軸也變了。3. 拋物線（1

10、）拋物線的概念平面內與一定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線I上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線 I叫做拋物線的準線。方程y2 =2px p 0叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是 F （ ,0 ）,它的準線2方程是x = - E ；2(2)拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：y2 - _2px ， x2 =2py，x2 - -2 py .這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表:標準方程2小y =2 px(P >0)

11、2y = -2 px(P >0)2x = 2 py(P >0)X2 = -2 py(P >0)圖形Jokl-x'x焦點坐標p(匕,0)2(-匕,0)2(0,-)2(0, -B)2準線方程2px =2y，2y2范圍x工0x蘭0y K0y蘭0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(0, 0)(0, 0)(0, 0)(0, 0)離心率e =1e =1e =1e = 1說明：(1)通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；(2)拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸 近線；(3)注意強調p的幾何意義：是焦點到準線的距離。四典例解析題型

12、1:橢圓的概念及標準方程例1 .求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1 )兩個焦點的坐標分別是 (-4, 0)、(4, 0),橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10 ；35(2) 兩個焦點的坐標分別是 (0, -2)、(0, 2)，并且橢圓經過點(-一，一);2 2(3) 焦點在 x軸上，a:b=2:1 , c-、b ;(4) 焦點在y軸上，a2 b2 =5，且過點(7：2,0);(5) 焦距為 b , a -b =1 ;(6) 橢圓經過兩點(-L , (.3,、. 5)。2 22 2解析：(1) 橢圓的焦點在x軸上，故設橢圓的標準方程為 x2 y2 1 ( a b 0 ), a b2 2 22

13、a 10 , c =4 ,. b a - - c 9 ,2 2所以，橢圓的標準方程為=1 O2592 20 ),(2)橢圓焦點在y軸上，故設橢圓的標準方程為當冷=1 ( a . ba b由橢圓的定義知，3 252 I 3 252 3 i 1 /-2a = ：- )(一-2)«(- )( -2) = . 10 、.10 =2 . 10V 22V 2222a =10，又 c=2 b 2所以，橢圓方程為=1. =a2c2 =104=6 ,所以，橢圓的標準方程為10 6(10 6 ) c=-、6 ,. a - b =c =6 ,又由a : b =2:1代入得4 b - b ? =6 ,.b2

14、 = 2 , . a2 =8，又焦點在x軸上，2 2所以，橢圓的標準方程為=1 O8 22 2(4) 設橢圓方程為冬二",a b.22.=1，b 2 ,b2 2 2又a b 5，a 3 ,2 2所以，橢圓的標準方程為 =1.32(5) 焦距為 6 ,. c =3 ,2 2 2.a b c 9，又 a -b =1 ,. a =5 , b =4 ,所以，橢圓的標準方程為(6)設橢圓方程為2 2 2 2x y . y x1或251625162 2乞ym=1 ( m, n 0 ), n=15 2 () 亠n=6, n =10 ,點評：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素

15、與橢圓方 程間的關系。例2 . (1) ( 06山東)已知橢圓中心在原點，一個焦點為F ( 2品,0),且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 。(2) ( 06天津理，8 )橢圓的中心為點E(_1,0)，它的一個焦點為F (_3,0)，相應于焦點F的準線方程為x，則這個橢圓的方程是(2A.22( x -1)2122y13B.2 22(x1) 2y 321C.2(x-1)5D.2(x 1)5ja = 2 b, c =2'3已知二.:a2 _ b2 = c2a2 =16F (-2 3,0)(2)橢圓的中心為點E(_1,0),它的一個焦點為解析：(1)2£-1621為所求;

16、4半焦距c =2，相應于焦點F的準線方程為F (-3, 0),7x = .2, 2(x 1)y 1，選 D。5 al _5 c 2 '點評：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎知識就可以。 題型2 :橢圓的性質a2 =5,b2 =1，則這個橢圓的方程是例3. (1) ( 06山東理，7)在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為、2，焦點到相應準線的距離為1,則該橢圓的離心率為()(A)、2(2(B)-2(C)2(D) 4(2) (1999全國，15)設橢圓2x+2a2y丁 =1 (a > b> 0)的右焦點為bF1，右準線為丨1,若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1

17、到11的距離，則橢圓的離心率是據此求出e=，選Bo21(2);解析：由題意知過2F i且垂直于x軸的弦長為2b2a2 2.2b a c . 21 c 1 二 一c，二，二, a ca c a 2點評：本題重點考查了橢圓的基本性質。例4. (1) (2000京皖春，9)橢圓短軸長是 準線距離是()即 e=1 o22,長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其3 A.4B.4、553(2) (1998全國理,2 22)橢圓 =1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上如果線123段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的(A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍2解析：(1) D ;由題意知a-2, b=1, c

18、= . 3，準線方程為x= ±,c橢圓中心到準線距離為(2) A;不妨設 F1 ( 3, 0) , F2 ( 3 , 0)由條件得 P (3，土上),即 |PF2| ,2 2|PF1|=1472，因此 |PF1|=7|PF2|，故選 A o點評：本題主要考查橢圓的定義及數形結合思想，具有較強的思辨性，是高考命題 的方向。題型3:雙曲線的方程例5. ( 1)已知焦點F1(5, 0), F2(-5, 0),雙曲線上的一點P到F-F2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程;(3,2x2 a2x2 a2y2 a2 2(2)求與橢圓 二二=1共焦點且過點(32 , .2 )的雙曲線的方程;

19、55(3 )已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點p, P2坐標分別為_4、_2), (9,5)，求雙曲線的標準方程。4解析：(1 )因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為2y 丁 = 1 (a 0 1?.0,)b2 a 二 6, 2c 二 10，a 二 3,c 二 5 ,2 2916所以所求雙曲線的方程為2 2(2)橢圓=155. 2 2 2-b =5 316 °的焦點為(25 , 0 )廠(.25 ,0 )可以設雙曲線的方程為21，則 a 2 - b =20 ° b又.過點(3,丿2 )，二 T - z - 1 °b綜上得，a2=20-2、10,

20、b2=2、一 10，所以20 -2 価 2、10點評：雙曲線的定義；方程確定焦點的方法；基本量 a,b,c之間的關系。(3 )因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為2x =1(a0,b0)；bT點P2在雙曲線上，.點 p, P2的坐標適合方程。將(3,5)分別代入方程中，得方程組:4(tC)2a925(4).a2 b21和看著整體，解得 b丄2a1_丄16123b2a：b“6即雙曲線的標準方程為=992 21 °169點評：本題只要解得a2,b2即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出a,b的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。例6. （06上海卷）已知雙

21、曲線中心在原點，一個頂點的坐標為（3, 0）,且焦距與虛軸長之比為5:4，則雙曲線的標準方程是 .解析：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為（3, 0）,則焦點在x軸上，且a=3,焦距與虛軸長之比為5:4 ,即c:b=5:4,解得c =5,b = 4 ,則雙曲線的標準方程是2 2x y .1 ;916點評：本題主要考查雙曲線的基礎知識以及綜合運用知識解決問題的能力。充分挖 掘雙曲線幾何性質，數形結合，更為直觀簡捷。題型4:雙曲線的性質2x 例7. （1） （ 06福建卷）已知雙曲線 a2y-=1 （a>0,b<0）的右焦點為 F，若過點F b且傾斜角為60°的直線與雙曲線的

22、右支有且只有一個交點, 是（）A.（ 1,2）則此雙曲線離心率的取值范圍B. (1,2)C.2,+ g D.(2,+ g（2） （06湖南卷）過雙曲線M: x2與=1的左頂點bA作斜率為1的直線l ,若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、A. ,10C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是（）105C.D.322（3） （06陜西卷）已知雙曲線X2a2y_2=1（a>.;'2）的兩條漸近線的夾角為 n ,則雙曲線的離心3率為（）A.2B.2.6C盲2 3d."T2 2= 1(a0,b0）的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60o解析：（1）雙曲線J斗a b的直線與雙

23、曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的 斜率b ,ab > .3，離心率a(2)過雙曲線M : x與雙曲線M的兩條漸近線2 2 22 c a b”小e =4， e2，選C。a a2* =1的左頂點A (1 , 0)作斜率為1的直線l : y=x 1,若l b2滅2-卑=0分別相交于點B(X!, y!), C (x2 , y2),聯(lián)立方程組b2代入消元得(b 2Xy例8. (1) (06江西卷)P是雙曲線一=1的右支上一點，M、N分別是圓(X916 -1)x2 2x -0 ,2X Xb, X1+X2 =2x1X2,| 1XI X1 b又| AB |=| BC |

24、 ,則B為AC中點，2xi=1+x2,代入解得1X :41，X2、一 22(3)雙曲線X2a2y2=1 (a>72)的兩條漸近線的夾角為扌，則2 “an竺,3 a63 b2=9，雙曲線 M的離心率e=- = .10，選Ao a+ 5) 2+ y2= 4 和(X 5) 2+ y2= 1 上的點，貝U |PM| - |PN|的最大值為()A. 6B.7C.8D.9(2) ( 06全國卷I)雙曲線mx2 y2 =1的虛軸長是實軸長的B.C.(3) (06天津卷)如果雙曲線的兩個焦點分別為F2(3,0), 條漸近線a2 =6，雙曲線的離心率為 r"，選D o3a,b,c三元素之間的關系

25、。點評：高考題以離心率為考察點的題目較多，主要實現D. 10)與F2 ( 5, 0),則這兩點正好是方程為y二、2x，那么它的兩條準線間的距離是(A. 6、. 3B. 4C. 2解析：(1)設雙曲線的兩個焦點分別是F1 ( 5,兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大,此時 |PM| - |PN| =(2)雙曲線2x 2y =1 ,4(|PF1| -2)-( |PF2|- 1 )= 10- 1 = 9 故選 Bomx2 y2 1的虛軸長是實軸長的2倍， m<0，且雙曲線方程為(3 )如果雙曲線1 m= ，選 A。4的兩個焦點分別為F, ( -3,0

26、)、F2 (3,0), 一條漸近線方程為y - .2x ,-2 2-|-a - b 9a22二 3，所以它的兩條準線間的距離是=6b廠，解得； 一 =Q2bl. a點評：關于雙曲線漸近線、準線及許多距離問題也是考察的重點。 題型5 :拋物線方程例9. (1)焦點到準線的距離是(2)已知拋物線的焦點坐標是解析：(1) y2 =4x, y2 = - 4x,因為焦點在弗楨半軸上并且*二2, p二4,所以它的標準2；F(0, 2),求它的標準方程。x2 =4y , x2 = - 4y;方程是x2 = 8y。點評：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數p,因此只要給出確定 p的一個

27、條件，就可以求出拋物線的標準方程。當拋物線的焦點坐標或準 線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給 定，則所求的標準方程就會有多解。題型6:拋物線的性質10. ( 1) (06安徽卷)若拋物線= 2px的焦點與橢圓2 2-1的右焦點重2合，則A.p的值為()-2B(2)(浙江卷)拋物線=8x的準線方程是()(B)x = 4(C) y =2(D)(3) (06上海春)拋物線 (A) (0, 1).解析：(1)橢圓(B)2 2匚丄6 2y 2 =4x的焦點坐標為(1, 0).)(C) (0, 2).(D)(2, 0)=1的右焦點為(2,0)，所以拋物線=2 px

28、的焦點為(2,0)，則p =4 ,故選D;(2) 2p= 8, p= 4,故準線方程為 x=-2,選A;(3)(直接計算法)因為 p=2，所以拋物線y2=4x的焦點坐標為應選B。點評：考察拋物線幾何要素如焦點坐標、準線方程的題目根據定義直接計算機即可。例11. （1）（全國卷I）拋物線y =x2上的點到直線4x 3y -0距離的最小值是（）4A.-3（2）（2002全國文, 焦點在y軸上； 焦點在x軸上； 拋物線上橫坐標為 拋物線的通徑的長為78B.C.5516）對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件:1的點到焦點的距離等于6;5； 由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（3）（2001廣東、河南，10）對于拋物線2, 1）。2y =4x上任意一點 Q,點P （a, 0）都滿A. (s,0)B. (s,2 C. 0, 2能使這拋物線方程