第27講正、余弦定理及應(yīng)用

1、a2+ b2 = c2。(勾股定理)A + B= 90°(銳角三角函數(shù)定義)asinA = cosB=,cbcosA= sinB=丄aatanA =普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書一數(shù)學(xué)人教版高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案(講座27)正、余弦定理及應(yīng)用一. 課標(biāo)要求：(1) 通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解 決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題；(2) 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的 實(shí)際問題。二. 命題走向?qū)Ρ局v內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角 函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間

2、角以及解析幾何中的有關(guān)角 等問題。今后高考的命題會(huì)以正弦定理、余弦定理為知識(shí)框架，以三角形為主要依托， 結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也可 能是中、難度的解答題。三. 要點(diǎn)精講1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在 ABC 中，C = 90°, AB = c, AC= b,BC = a。(1 )三邊之間的關(guān)系(2 )銳角之間的關(guān)系(3 )邊角之間的關(guān)系2 .斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在 ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示 A、B、C的對(duì)邊。 (1 )三角形內(nèi)角和： A+ B+ C= n。(2)正弦定理：在一個(gè)三角形

3、中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。=2R。abc_sin A sin B sin C (R為外接圓半徑)(3) 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角 的余弦的積的兩倍。2 2 2 2 2 2 2 2 2a = b + c 2bccosA; b = c + a 2cacosB; c = a + b 2abcosC。3 三角形的面積公式：111 一(1 )= aha=bhb=chc(ha、hb、he分別表示a、b、c上的咼)；2 2 2(2 )=1 1 1absi nC = bcsi nA= acs inB;2 2 22 2b sinCsinA = c sinAs

4、inB2 si n(C A) 2s in (A B) (R為外接圓半徑)2(3)(4) = a sin BsinC =2si n(B+C)2 = 2R sinAsinBsinC。(5) - abc ;4R(6)= Js(s-a)(s-b)(s-c);；(a + b+c)l;2、丿丿(7)= r s。4 解三角形：由三角形的六個(gè)元素(即三條邊和三個(gè)內(nèi)角)中的三個(gè)元素(其中至 少有一個(gè)是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以 包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形 的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三

5、角形； 若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。解斜三角形的主要依據(jù)是：正弦定理余弦定理a _ b _ csi nA s i riB si C2 2 2c = a +b - 2bccosC,=2R (R為外接圓半徑);它們的變形形式有：2 2 2si nAa八 bc - aa = 2R sinA, cos Asin B b2bc2 2 2 2 2 2b = a +c 2accosB, a = b +c 2bccosA;設(shè)厶ABC的三邊為a、b、c,對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為 A、B、C。(1)角與角關(guān)系：A+B+C = n;(2)邊與邊關(guān)系：a + b > c, b + c > a, c

6、+ a > b, a b < c, b c < a, c a >(3)邊與角關(guān)系:5 三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身 的特點(diǎn)。(1 )角的變換因?yàn)樵?AABC 中，A+B+C= n，所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= A B C A B . CtanC。sincos , cossin ;2 2 2 2(2 )三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。面積公式：S = ah4 = |absinC = r * p = p(p-a)(p-b)(p-c)其

7、中r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半。(3)在厶ABC中，熟記并會(huì)證明：/ A，/ B，/ C成等差數(shù)列的充分必要條件是 / B=60 ° ; AABC是正三角形的充分必要條件是/A，/ B ,Z C成等差數(shù)列且 a, b, c成等比數(shù)列。四典例解析題型1 :正、余弦定理例 1 (1)在-ABC 中，已知 A =32.0°, B=81.8° , a =42.9 cm,解三角形；(2)在 ABC中，已知a=20cm, b=28cm, A=40°，解三角形(角度精確到1° ,邊長(zhǎng)精確到1cm)。解析：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C =180

8、6;-(A B) =180°(32.0° 81.8°) =66.2° ；根據(jù)正弦定理，b= si nA根據(jù)正弦定理，sin32.°°c/sinC42.9sin66.2° ：-74.1(cm).sinA 一 sin32. °(2 )根據(jù)正弦定理，.r bsinA 28sin40si nBa因?yàn)?0° v B v 180° ,°-08999.2°所以 B 64°，或 B116°.當(dāng)B 64°時(shí),C =18°° -(A B) ： 1

9、8°° -(4°° 64°) =76°，c=竺哄週準(zhǔn)，3°（cm）.si nA 一 sin40°當(dāng)B 116°時(shí)，asinB 42.9sin81.8° ：.80.1(cm);°°°°° asi nC 20si n24°C =180 -(A B) 180 -(40116)=24 , c°13(cm).解法一：cosA = b!=（22匚（62）2二（2此12bc2 2 - 2 ( 6 2)-2， A=60°.si nA

10、 一 sin 40°點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有 兩解的情形；（2 ）對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例 2.( 1)在：ABC中，已知 a=23 , c= 6 2 , B =6°°，求 b 及 A;(2)在:ABC中，已知 a =134.6cm， b =87.8cm， c=161.7cm，解三角形 解析：(1ba2 c2 -2accosB=(2 3)2、2)2 -2 2 3( 6 .2) cos 45°=12 (、2)2 -4.3( 3 1) b=2.2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法

11、二：sin AsinBsin45°, b 22又 . 6. 2 > 2.4 1.4 =3.8, 2、3 V 2 1.8 =3.6,二 a v C ,即 00 < A< 90°, A =600(2 )由余弦定理的推論得：87.82 161.72 -134.62 C cr c 仏r ".5543, 2漢87.8匯161.72 2 2 A b +c a cosA二飛廠A：56020 ；2 2 2 r c 七一b cos B2caB ： 32053 ；134.62 1 61.72 _87.82 ,0.8398,2 134.6 161.7C =180

12、76; (A B) ： 180° -(56°20 32°53)=90047：點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用余弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定 題型2:三角形面積A的取值范圍。例 3 .在二 ABC 中，si nA cos A =2,AC = 2 , AB = 3，求 a A 的值和衛(wèi)ABC的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。si nA cos A 二 2 cos(A - 45 )=鼻2% 1cos(A -45 ).2又 0 :：: A < 180 , . A-45 =60,A=105.二 tan A = tan( 45 和 60 = - = -2-43,1-V3.2 山：6si

13、nA =sin105 =sin(4560 ) =sin45 cos60 cos45 sin60 =1 1十3/tS Abc 二一AC AB si nA 二一2 3 一=(.2.6)。2 244解法二：由si nA，cosA計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式 sin A cos A的值。si nA cosA 22.(sin A cos A).2sin A cos A 二20: A： 180,. sin A 0,cos A : 0.(sin A cosA)2 =1 2sin AcosA2.sinAcosA62+得sinA=，6。4co/s6。4從而tanA 二沁cosA以下解法略去。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變

14、形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查 運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢？例4. (06年湖南)已知 ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B. C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為1 ,恵J2且有 si nA-si nC cos(A C。(1 )求 A、B. C 的大?。?2)求厶 ABC 的的面積。解析： A+B+C=180 °且 2B=A+C ,二 B=60 ° , A+C=120 ° , C=120 ° - A。 2 , 2t sinAsinCcos(AC)=2 2fffsin A cos A 2 1 ，2sin ?( a

15、60°)=,2 2 2 2lV2.sin (A-60°)1 - 2si n( A - 60°) = 0,. sin (A 60°)=0 或 sin (A60°)2又/ 0° <A<180 °,. A=60?；?A=105 ° ,當(dāng) A=60。時(shí)，B=60 ° , C=60 ° ,1 12303 3此時(shí) Sacsin B4R sin 60;2 24當(dāng) A=105。時(shí)，B=60 ° , C=15 ° ,11遠(yuǎn)此時(shí) S：acsinBp 4R sin105 sin15si

16、n60 =4-點(diǎn)評(píng)：要善于借助三角形內(nèi)的部分變形條件，同時(shí)兼顧三角形的面積公式求得結(jié)果。 題型3:與三角形邊角相關(guān)的問題2例 5. ( 1) (2005 江蘇 5) ABC 中,A盲BC"貝仏ABC的周長(zhǎng)為(43sin(B g 34.3si n(B ) 33n6sin( B) 33JID.6sin(B i) 32 75(2) (06 年全國(guó) 2 文，17)在 ABC中，.B =45 , AC = 10,COSC 二“，求5(1) BC二？ (2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線 CD勺長(zhǎng)度。解析：(1)答案：DAC 3l解析：在. ABC中，由正弦定理得：d 3 ,化簡(jiǎn)得AC=2、3sin

17、B,sin B 32ABTtsin二-(B )332 1，化簡(jiǎn)得AB= 2、3sin( J .332-B)，所以三角形的周長(zhǎng)為：3+AC+AB=3+ 2 3sinB + 2、3sin( - B)3ji=3+ 3 3 sin B 3 cos B = 6 sin( B )3.。故選 D。2.55得 sin C =，5523 10(cosC sin C)二2 10(2)解：(1)由 cosC =sin A =sin(180 -45 -C)BC= AC 由正弦定理知BC sin B.A 尿3怖o -sin A3 2逅 10，AC70 J5ABsi nC21（2）sin B25， BD AB =1。2由

18、余弦定理知:CD 二 BD2 BC2 -2BD BCcosB1 18 2 1 3 2 2 二 13 2點(diǎn)評(píng)：本題考查了在三角形正弦定理的的運(yùn)用，以及三角公式恒等變形、化簡(jiǎn)等知 識(shí)的運(yùn)用。例6.在銳角 ABC中，角A B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c ,已知sin A =,3（1）求 tan2- si n2 的值；（2 ）若 a =2 , S ABC2，求 b 的值。2 2Q /qA解析：（1）因?yàn)殇J角厶 ABC 中，A + B + C=?., sinA=-，所以 cosA =,33i 2 B + C丄 2 B + C 十.2 A sin十 2 Atan+ sin =+ sin222 B +

19、 Ccos 2=1 cos（B + C）+ 1（1-cosA）1 + cos （B + C）21 + cosA 丄 17十1 cosA 33（2）因?yàn)?Sabc= 2,又 SABC = bcsi nA2= bc£，則 bc= 3。2313將a= 2, cosA =, c= 代入余弦定理:3b2 2 2a = b + c 2bccosA 中,得 b4 6b2+9 = 0 解得 b=3。點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果 即可。題型4:三角形中求值問題B +C例7.二ABC的三個(gè)內(nèi)角為 A、B C，求當(dāng)A為何值時(shí)，cosA ' 2cos取得最

20、大值，并求出這個(gè)最大值。2B+C n解析：由A+B+C= n，得22A，所以有cosBC2 2A=sin"2。B+CcosA+2cos一2AA2 =cosA+2sin =1 2sin + 2sinq= 2(sin/A 1 232 2)+ 2；當(dāng)sinA2 = 2，即A= 時(shí)，cosA+2cos B；C取得最大值為3°22322點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通 過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。例8 （06四川文，18）已知A、B C是 ABC三內(nèi)角，向量m = (-1廠.3) n 二(cosA,sin A)，且 m.n = 1, (i)求角

21、A； (n)若1 si n2B2223,求tanC。cos B -sin B解析：（i）： m n =11,、3 cos A,si nA = 1,即.3s in A cosA = 1 ,2 si nA 些一 cosA 丄=1，I 22丿sin A 丄-I 6丿2二 5 :ji t 0 A ：二, A，二 A6 6 6 61 2sin BcosB6，a=t(n)由題知 _23 ,cos B -sin B整理得 sin2 B - sin B cos B - 2cos2 B = 0 cs B 02.tan B - tan B - 2 = 0 ；22tan B =2 或 tan B = -1，而 ta

22、n B = -1 使 cos B -sin B = 0，舍去;.tan B =2。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函 數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。題型5:三角形中的三角恒等變換問題例9 .在 ABC中，a、b、c分別是/A、/ B、/ C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比bsinB的值。 cb、c之間的等量關(guān)系，要求/數(shù)列，且a2 c2=ac be,求/ A的大小及分析：因給出的是a、A,需找/ A與三邊的關(guān)系，故遜旦的值。c、 2 b2可用余弦定理。由 b =ac可變形為 一=a，再用正弦定理可求c解法一：T a、b、c成等比數(shù)列，.b2

23、 = ac。2 2 2 2 2乂 a c =ac be,. b +c a =bc。在厶ABC中，由余弦定理得:.b2 +c2 _a2 cosA=2bcbc =12bc 2/ A=60°。在厶 ABC 中，由正弦定理得 sinB= bsin A，： b2=ac，/ A=60°, absinB b2 sin 60o 、. 3 =sin60 =。cac2解法二：在 ABC中，由面積公式得 bcsinA= acs in B。2 222b =ac,Z A=60°,. bcsinA=b sinB。.bsin B,3=si nA=。c評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余

24、弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例10. （ 2002京皖春，17 ）在厶 ABC中， 已知 A、B、C 成等差數(shù)列，求ACACtan tan3ta n tan 的值。2222解析：因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又 A + B+ C = 180°,所以A+ C = 120 ° ,A +CA +C r從而=60°,故tan3 .由兩角和的正切公式，2 2Actan tan22 A* C1 - tan tan2 2所以tanA聞+ 彳時(shí)tanCtan A tanC3 tan Atan C 二 3。2 2 2 2點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本

25、公式，將未知角變換為已知角求解，同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。題型6 :正、余弦定理判斷三角形形狀例11. （2002上海春，14）在厶ABC中，若2cosBsinA = si門6則厶ABC的形狀一定 是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB= sin （A+ B） + sin （A B）又：2sinAcosB= sinC,sin （ A B） = 0 ,. A= B點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和 變形方向，通暢解題途徑。例12. （06安徽理，11）如果：A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于

26、.a2b2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（）a. AABG和也A B2C2都是銳角三角形b. AABG和 A B2C2都是鈍角三角形c. AABG是鈍角三角形，AA2B2C2是銳角三角形d. AABG是銳角三角形，aa2B2C2是鈍角三角形解析：的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于 o,則 A1B1C1是銳角三角形,sin A2 = cos A右A2B2C2是銳角三角形，由«sin B2 =cosB1ji=si n(A,)2jiA2sin C2 = cosC1= sin(-B1) , 得2兀=sin( -C1)2B2C2JIjiB1，jiji那么，A2 B2 C 3 ,所以 A2B2C2是鈍角三角形

27、。故選 Do點(diǎn)評(píng)：解決此類問題時(shí)要結(jié)合三角形內(nèi)角和的取值問題，同時(shí)注意實(shí)施關(guān)于三角形 內(nèi)角的一些變形公式。題型7 :正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例13 . （06上海理，18）如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處B有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援， 同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的 方向沿直線前往 B處救援（角度精確到 1 '）?解析：連接BC,由余弦定理得 BC2=202+102A.MAG =-，由正弦定理6GMnsin6得GMsin（二一：一）6，貝U S1=1GM GA 怡in :=2sin -兀12si( + -)同理可求得S2=兀12sin（： 一）62X2OX1OCOS120 =700.于是,BC=10 . 7。. sinACB 戸12。，.罰 cb= 3 ,2010、77/ACB<90° ,./ACB=41°。乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往 B處救援。點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)