初中幾何折疊問題初探3頁

1、初中幾何折疊問題初探湖北孝感肖港初中 唐文折疊問題題型多樣，變化靈活，從考察學生空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題. 考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯. 這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求. 折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折1800，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊，其中“折”是過程，“疊”是結(jié)果. 折疊問題的實質(zhì)是圖形的軸對稱變換，折疊更突出了軸對稱問題的應用. 所以在

2、解決有關(guān)的折疊問題時可以充分運用軸對稱的思想和軸對稱的性質(zhì). 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以得到：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸；互相重合兩點（對稱點）之間的連線必被折痕垂直平分；對稱兩點與對稱軸上任意一點連結(jié)所得的兩條線段相等；對稱線段所在的直線與對稱軸的夾角相等. 在解題過程中要充分運用以上結(jié)論，借助輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等知識來解決有關(guān)折疊問題，可以使得解題思路更加清晰，解題步驟更加簡潔. 1、利用點的對稱   例1. （2006年南京市）已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=

3、1，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合. （1）如果折痕FG分別與AD、AB交于F、G（如圖），AF=，求DE的長； （2）如果折痕FG分別與CD、AB交于F、G（如圖），AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長.  圖中FG是折痕，點A與點E重合，根據(jù)折疊的對稱性,已知線段AF的長,可得到線段EF的長，從而將求線段的長轉(zhuǎn)化到求RtDEF的一條直角邊DE. 圖中，連結(jié)對應點A、E，則折痕FG垂直平分AE，取AD的中點M，連結(jié)MO，則MO=DE，且MOCD，又AE為RtAED的外接圓的直徑，則O為圓心，延長MO交BC于N，則ONBC，M

4、N=AB,又RtAED的外接圓與直線BC相切，所以ON是RtAED的外接圓的半徑，即ON=AE，根據(jù)勾股定理可求出DE=，OE=. 通過RtFEORtAED，求得FO=，從而求出EF的長. 對稱點的連線被對稱軸垂直平分，連結(jié)兩對稱點既可以得到相等的線段，也可以構(gòu)造直角三角形, 本題把折疊問題轉(zhuǎn)化為軸對稱問題，利用勾股定理和相似求出未知線段，最后把所求的線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中去處理. 二、利用線段的對稱性質(zhì) 例2.（新課標人教版數(shù)學八年級下學期P126）數(shù)學活動1：折紙做300、600、150的角  對折矩形紙片ABCD，使A

5、D與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再次折疊紙片，使A點落在折痕EF上的N點處，并使折痕經(jīng)過點B得到折痕BM，同時得到線段BN，觀察所得到的ABM、MBN和NBC，這三個角有什么關(guān)系？（教師用書中給出了這樣的提示：ABMNBC，作NGBC，則直角三角形中NG=BN，從而可得ABM=MBN=NBC=300.）  若這樣證明則要用到：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于300. 這個定理現(xiàn)行教材中沒有涉及到，在這兒用不太合適. 如果直接運用軸對稱思想說理應該比較簡潔明了：連結(jié)AN，則AN=BN，又AB=BN，所以三角形

6、ABN為等邊三角形，所以ABM=MBN=NBC=300. 利用對稱的思想來證明線段的相等比用其他方法快捷而且靈活. 三、利用面對稱的性質(zhì) 例3. (2006年臨安)如圖，OAB是邊長為2的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸的正方向上，將OAB折疊，使點A落在OB上，記為A點，折痕為EF. 此題中第問是：當A點在OB上運動，但不與O、B重合時，能否使AEF為直角三角形？  這一問題需通過分類討論，先確定直角頂點不可能在A處. 當AEF為直角三角形，且直角頂點在F處時，根據(jù)軸對稱性質(zhì)我們可以得到AFE=AFE=900，此時A點與B點重合，與題目中已知相矛盾，所以直角頂點在點F處不成立. 同理可證，直角頂點亦不可能在點E處. 故當A點在OB上運動，若不與O、B重合，則不存在這樣的A點使AEF為直角三角形. 在折疊問題中,利用面的對稱性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積. 解決折疊問題時，首先要對圖形折疊有一準確定位，把握折疊的實質(zhì)，抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從點、線、面三個