【三維設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)_(基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練)二次函數(shù)與冪函數(shù)教學(xué)案要點(diǎn)

1、二次函數(shù)與募函數(shù)基礎(chǔ)知膽要打軍1 f C HI U Z H I $ H I ¥ A 0 A L A 0通雙基 固率建得基分I掌捱程度17 / 15知識(shí)能否憶起、常用騫函數(shù)的圖象與性質(zhì)弋?dāng)?shù) 特征y=x2y=x3y=x1 y=x21 y=x圖象r/THVyk/ /o *u定義域RRRx x>0x| xW0值域Ry|y0Ry|y0y|yw。奇偶性奇置奇非奇非偶奇單調(diào)性置(一巴0減(0 , 十刃增埴埴(8, 0)和(0 , 十刃減公共點(diǎn)(1,1)、二次函數(shù)1 .二次函數(shù)的定義形如f (x) = ax2 + bx+ c( aw0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).2 .二次函數(shù)解析式的三種形式(1)

2、一般式：f (x) = ax2+ bx+ c(aw。)；(2)頂點(diǎn)式：f (x) = a(xm)2+ n( aw0)；零點(diǎn)式：f (x) = a(xxi)( x x2)( aw0).3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>0a<0圖象Mb7圖象對(duì)稱軸:x=-;蓋頂點(diǎn)：一堇4ac b2、 4a特點(diǎn)性質(zhì)定義域xC R值域一i_2yeF-，+81/1 244ac b 1y；,4a '奇偶性b= 0時(shí)為偶函數(shù)，bwo時(shí)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性xC8, 211 時(shí)遞減，x - 2a,+ 8時(shí)遞增xe-2a1時(shí)遞增，xe1 , +°0 ;時(shí)遞減1 2a )小題能否全取1 .若f (x)

3、既是哥函數(shù)又是二次函數(shù)，則f (x)可以是()A. f (x) =x2- 1B. f(x) =5x2C. f (x) =- x2D . f (x) =x2解析：選D形如f(x)=x"的函數(shù)是備函數(shù)，其中 “是常數(shù).2 .(教材習(xí)題改編)設(shè)a 1-1, 1, 1, 3 >,則使函數(shù)y=x "的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù) 的所有a值為()A . 1,3B. - 1,1C. - 1,3D. 1,1,3, ，一 ，, 一 ，1解析：選 A 在函數(shù)y= x , y = x, y = x2, y = x中，只有函數(shù) y = x和y = x的te義域 是R,且是奇函數(shù)，故 a = 1,3

4、.3 .(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f (x) =ax2+x+5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是)a I0, 20JC . 5+8a>0,解析：選C由題意知i20a>0,1 20a<0解析：設(shè)備函數(shù)的解析式為4.(教材習(xí)題改編)已知點(diǎn)M騫函數(shù)f (x)的圖象上，則f (x)的表達(dá)式為y= x",貝U 3= %,得 a = - 2.故 y= x 2A<0,2答案：y=x5.如果函數(shù)f(x) =x2+(a+2)x+ b(xCa, b)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則函數(shù)f(x) 的最小值為.解析：由題意知a+22a= 一 4則 f (x) =x2 2x + 6= (x-

5、1)2+5>5.答案：51 .募函數(shù)圖象的特點(diǎn)(1)募函數(shù)的圖象一定會(huì)經(jīng)過第一象限，一定不會(huì)經(jīng)過第四象限，是否經(jīng)過第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性；(2)募函數(shù)的圖象最多只能經(jīng)過兩個(gè)象限內(nèi)；(3)如果募函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).2 .與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題2ta>0,(1)ax + bx+c>0, a wo恒成立的充要條件是 、2。2a<0,(2) ax + bx+c<0, awo恒成立的充要條件是 2 2b 4ac<0.注意當(dāng)題目條件中未說明 awo時(shí)，就要討論a=0和awo兩種情況.電.高頻考點(diǎn)要通關(guān)孤考點(diǎn) 學(xué)技法得竣惠分I拿搜程

6、度KAOPIA YAaT<)N(.iUA _ II考點(diǎn)一 I哥函數(shù)的圖象與性質(zhì)1典題導(dǎo)入例1已知募函數(shù)f(x) = (m2m-1)x 5m 3在(0, 十°°)上是增函數(shù)，則mi=自主解答,函數(shù)f (x) = (m2m- 1)x 5m1"3是哥函數(shù)，21. m- m-1 = 1,解得 im= 2 或 m= 1.當(dāng)m= 2時(shí)，5m-3=- 13,函數(shù)y = x 13在(0 , +0°)上是減函數(shù)；當(dāng)mi= 1時(shí)，5mv 3=2,函數(shù)y=x2在(0 ,十)上是增函數(shù).m= 1.答案1&由題悟法1 .募函數(shù)y = x"的圖象與性質(zhì)由于

7、a的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考查：(1) a的正負(fù)：a>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和(1,1),在第一象限的圖象上升；a<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降.(2)曲線在第一象限的凹凸性：a>1時(shí)，曲線下凸；0<a<1時(shí)，曲線上凸；a<0時(shí)，曲線下凸.2 .在比較哥值的大小時(shí)，必須結(jié)合哥值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù).借助其單調(diào)性進(jìn)行 比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)哥函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.以題試法1. (1)如圖給出4個(gè)哥函數(shù)大致的圖象，則圖象與函數(shù)對(duì)應(yīng)正確的是(2, 0-1解析：選B由圖知，該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽,當(dāng)x>0時(shí)，圖象是向下凸的，

8、結(jié)合選項(xiàng)知選B.(2)(2013 淄博模擬)若a<0,則下列不等式成立的是()A. 2a>g)>(0.2) aB . (0.2) a>£)>2aC. I1 a>(0.2) a>2aD. 2a>(0.2) a> 1 a2 2解析：選B若a<0,則哥函數(shù)y=xa在(0, +8)上是減函數(shù)，所以(0.2) a。.所以(0.2) a>考點(diǎn)二I求二次函數(shù)的解析式典題導(dǎo)入例2已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和一2,且它有最小值一1.求f (x)解析式；(2)若g(x)與f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求g(x)解析式.自主解答(1)由于

9、f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。和2,所以可設(shè) f (x) = ax(x+2)( aw。),這時(shí) f (x) = ax(x + 2) = a(x + 1)2 a,由于f(x)有最小值一1,a>0,所以必有解得a= 1.-a= - 1,因此 f(x)的解析式是 f (x) =x(x + 2) =x2+2x.(2)設(shè)點(diǎn)P(x, y)是函數(shù)g(x)圖象上任一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P' (x, y)必在f(x)圖象上，所以一y=( x) +2(x),即y= x2- 2x,y = x2 + 2x,故 g(x) = x2+ 2x.&由題悟法求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法.合理選擇解析式的形式，

10、并根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式，把問題轉(zhuǎn)化為方程(組)求解是解決此類問題的基本方法.3以題試法2 .設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng) 0WxW2時(shí)，y = x,當(dāng)x>2時(shí)，y=f(x)的圖象 是頂點(diǎn)為R3,4),且過點(diǎn)A(2,2)的拋物線的一部分.(1)求函數(shù)f (x)在(一00, 2)上的解析式；(2)在下面的直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)f(x)的草圖;(3)寫出函數(shù)f(x)的值域.解：(1)設(shè)頂點(diǎn)為P(3,4)且過點(diǎn)A(2,2)的拋物線的方程為 y=a(x3)2 + 4,將(2,2)代 入可得a=- 2,則 y= 2(x3)2 + 4,2即 x>2 時(shí)，f (x) =

11、 - 2x +12x- 14.當(dāng) x<- 2 時(shí)，即一x>2.又 f (x)為偶函數(shù)，f(x)=f(-x) = -2X( - x)2 - 12x 14,即 f (x) = 2x2- 12x- 14.所以函數(shù)f(x)在(8, 2)上的解析式為 2f (x) = 2x 12x- 14.(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖，(3)由圖象可知，函數(shù) f(x)的值域?yàn)?一8, 4.1考點(diǎn)三1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)土典題導(dǎo)入例 3 已知函數(shù) f(x) =x2+2ax+3, xC4,6.(1)當(dāng)a= 2時(shí)，求f (x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y = f(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù).自主解答(

12、1)當(dāng) a= 2 時(shí)，f(x) =x2-4x+ 3=(x2)21,由于 xC4,6.所以f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，故f(x)的最小值是f (2) =1,又f (4) =35, f (6) =15,故f(x)的最大值是 35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x=-a,所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有一aw 4或一a>6,即aw6或a>4.故a的取值范圍為(8, 6 U4 , +8).一入多變本例條件不變，求當(dāng)a=1時(shí)，f(| x|)的單調(diào)區(qū)間.解：當(dāng) a=1 時(shí)，f(x) =x2+2x+3,則 f (| x|) = x2+ 2|x| +3

13、,此時(shí)定義域?yàn)?x C 6,6,x2+2x+3, x 6, 且 f (x) = < 2x2-2x+ 3, x -6, 0,故f(| x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6, 單調(diào)遞減區(qū)間是6,0.金由題悟法解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)要注意:(1)拋物線的開口，對(duì)稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論.(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的求法.3以題試法3 . (2012 泰安調(diào)研)已知函數(shù)f(x) = -x2+2ax+1-a在xC 0,1時(shí)有最大值2,則a 的值為.解析：f(x) = (xa)2+a2a+1,當(dāng) a>1

14、 時(shí)，ymax= a；當(dāng) 0Wawi 時(shí)，ymax= a2a+1;K1,a<0,或“1a+1=2- 1-a=2,當(dāng) a v 0 時(shí)，ymax= 1 a.a>1,0<；根據(jù)已知條件i或I2a=2用-解得a= 2或a= - 1.答案：2或1考點(diǎn)四I 二次函數(shù)的綜合問題人典題導(dǎo)入例4 (2012 衡水月考)已知函數(shù)f (x) =x2, g(x)=x1.(1)若存在xC R使f (x)<b g(x),求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)F(x) =f(x) mgx)+1 mr m2,且|F(x)|在0,1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.自主解答(1) ? xC R, f(x)<b

15、g(x)? ? xC R, x2 bx+ b<0? ( b)2 4b>0? b<0 或 b>4.故b的取值范圍為(8, 0)U(4, +8).(2) F( x) = x2 m肝 1 rm,A = m2 4(1 m2) = 5m24.m2<0,則必需 _55當(dāng)A>0,即m<或5m>時(shí),設(shè)方程 F(x) = 0 的根為 X1, X2(X1<X2).5Hm若 2R1,X1 W0,'m m>1即f2F.2_1 m<0X2<0,"m口 32即s2F.2_1 m>02,5? - Kmc - -5.綜上所述,m的

16、取值范圍為-1,0 U2 , +8).由題悟法二次函數(shù)與二次方程、二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們之間有著密切的聯(lián)系，而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體.因此，有關(guān)“三個(gè)二次”的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.3以題試法4,若二次函數(shù) f (x) = aX2+bX+c( aw0)滿足 f (x+1) f ( x) = 2x,且 f (0) =1.(1)求f (x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，不等式f(x)>2x+M值成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.解：(1)由 f (0) = 1,得 c= 1.即 f (x) = ax2+ bx+ 1.

17、又 f (x+ 1) f (x) = 2x,則 a(x+1)2+ b(x+1) +1 (ax2 + bx+1)=2x,即 2ax+ a+ b=2x,所以a=2,a+ b= 0,解得a= 1, |b=- 1.因此，f(x) = x2x+1.(2) f(x)>2x+m等價(jià)于 x2x+1>2x+ 簿 即 x23x+1 n>0,要使此不等式在1,1 上恒成立，只需使函數(shù)g(x) =x23x+1m在-1,1上的最小值大于0即可. g(x) =x23x+1 m在-1,1上單調(diào)遞減，.g(x)min = g(1) =- m- 1,由一m- 1>0 得，n<- 1.因此滿足條件的

18、實(shí)數(shù) m的取值范圍是(一8, 1).解即調(diào)練3E2S效JI E TI XUNL A N YAOx|0 WxW4B.A級(jí)i全員必做題A. x|0<xw 啦C. x|一也<x<解析：選D由f.2(2蘆D.1a =2,即抓規(guī)范 拒絕假鬲手低掌捱制度x| 4< x<4f(x) =x2,故 f(| x|) <2? |x|-<2? |x|<4,故其解集為x| -4<x<4.2.已知函數(shù)y=ax2+bx+c,如果 a>b>c且a+ b+c=0,則它的圖象可能是 ()解析：選D- a>b>c,且 a+b+c=0,a>0,

19、 c<0.圖象開口向上與 y軸交于負(fù)半軸.3.A.“a)”亦f a<f bB.f a<fb<f(b)<f(a)，1 4，一，一一已知f(x)=x2,若0<a<b<1,則下列各式中正確的是 (c f<f(b)<f b<f aD. f 1<f(a)<f 1 <f(b) ab1 1,一 ,一一1 ,i 一一一1 1,解析：選 C 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)=x二在(0 , 十°°)上是增函數(shù) 又0<a<b<；<一,故2baf(a)<f(b)<f b<f a.4 .

20、已知 f(x) =x2 + bx+c且 f( 1) = f(3),則()A.f(3)<c<fC.(3)<c解析：選D由已知可得二次函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f(3)=f(5) , c= f(0)= f(2),二次函數(shù)在區(qū)間(1, +8)上單調(diào)遞增，故有 f( -3) =f(5)> f!>f(2) =f(0)=c.5 .設(shè)二次函數(shù)f (x) = ax22ax+c在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f( m) < f (0),則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是()A.(巴 0B. 2 , +oo)C.(巴 0 U 2 , +8 )d. 0,2解析：選 D 二次函數(shù)f (x) =

21、 ax22ax+ c在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則 aw0, f' (x) = 2a(x-1)<0, xC0,1,所以a>0,即函數(shù)圖象的開口向上，對(duì)稱軸是直線x=1.所以 f(0) =f(2),則當(dāng) f(m)<f(0)時(shí)，有 0w me2.6 .若方程x22m桿4 = 0的兩根滿足一根大于1, 一根小于1,則m的取值范圍是()A.8, 一 5)B. g +8 )C. (-OO, 2) U (2 , +oo)D. -1, +8 ；解析：選B設(shè)f(x)=x22m刈4,則題設(shè)條件等價(jià)于f(1)<0 ,即1 -2m 4<0,解得5 m>2.7 .對(duì)于函數(shù)y=x

22、2, y = x2有下列說法:兩個(gè)函數(shù)都是募函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；它們的圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱；兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)、(1,1);兩個(gè)函數(shù)的圖象都是拋物線型.其中正確的有.解析：從兩個(gè)函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)去進(jìn)行比較.答案：8 . (2012 北京西城二模)已知函數(shù)f(x) = x2+bx+1是R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) b = ,不等式f(x1)<x的解集為.解析：因?yàn)閒(x)=x2+bx+1是R上的偶函數(shù)，所以 b=0,則f(x)=x2+1,解不等式 (x1)2+1<x,即 x23x+2<0 得 1<x<2.答

23、案：0 x1<x<29 .若x>0, y>0,且x+2y=1,那么2x + 3y2的最小值為 .1解析：由 x>0, y>0, x= 1 2y>0 知 0W yW/,令 t =2x+3y2=3y2-4y+ 2,則 t =3'y-| 2+2.3 3在I" 2 (遞減，當(dāng)y = 2'時(shí)，t取到最小值，tmin=73答案：二410.如果哥函數(shù)f (x) = x |p2+p+|( pC Z)是偶函數(shù)，且在(0, +8)上是增函數(shù).求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式.解：: f(x)在(0 , +8)上是增函數(shù)，1 23 一 r

24、r 2 一 一一2p + p + 2>0,即 p 2p 3<0. 1<p<3.又f (x)是偶函數(shù)且pCZ,p= 1,故 f (x) =x2.11.已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn) A( 1,0)、B(3,0)、Q1 , 8).(1)求f (x)的解析式；(2)求f(x)在xC 0,3上的最值；(3)求不等式f (x) >0的解集.解：(1)由題意可設(shè) f (x) = a(x+ 1)( x- 3),將 C(1, 8)代入得一8=a(1+1)(1 3),得 a=2.即 f (x) =2(x+1)( x3) = 2x24x 6. (2) f(x)=2(x 1)28,當(dāng)x

25、C0,3時(shí)，由二次函數(shù)圖象知,f(x)min=f(1) = 8, f ( x) max= f (3) = 0. f (x) >0 的解集為x|xW 1,或 x>3.12.已知函數(shù) f (x) = ax22ax+2+b(aw0),若 f (x)在區(qū)間2,3上有最大值5,最小值2.(1)求a, b的值;(2)若b<1, g(x)=f(x)mx在2,4上單調(diào)，求 m的取值范圍.解：(1) f(x) = a(x1)2+2+ba.當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在2,3上為增函數(shù),5,9a-6a+2 + b=5,?.2,4a-4a+2 + b=2,a= 1, ,b= 0.當(dāng)a<0時(shí)，

26、f (x)在2,3上為減函數(shù)，f2,9a-6a+2 + b=2,故V? ”f5,4a-4a+2 + b=5,a= - 1,b= 3.(2) b<1,a= 1, b=0,即 f(x) = x22x+2.g( x) = x2 2x+ 2 mx= x2 (2 + n) x+ 2,. g( x)在2,4上單調(diào),2+m m 2卜2<2 或一2 >4 . .-.mC2 或 m>6.B級(jí)重點(diǎn)選做題1.已知 y=f(x)是偶函數(shù)，當(dāng) x>0 時(shí)，f (x) = (x1)2,若當(dāng) xC 1一2, 一2 時(shí)，nwf(x)wm恒成立，則m- n的最小值為()1A. 一 31B. 一 2

27、3C.D. 14解析：選 D 當(dāng) x<0 時(shí)，一x>0, f (x) =f ( -x) =(x+1)2,- x |-2, -2 !f ( x) min = f ( 1) =0, f ( x) max= f ( 2) = 1 ,. rn> 1, n<0, m- n>1.2. (2012 青島質(zhì)檢)設(shè)*)與g(x)是定義在同一區(qū)間a, b上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù) y= f(x)g(x)在xCa, b上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱 f(x)和g(x)在a, b上是“關(guān)聯(lián)函 數(shù)”，區(qū)間a, b稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”. 若f(x)=x23x + 4與g(x)=2x+m在0,3上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)

28、”，則m的取值范圍為.解析：由題意知，y=f (x) g(x) =x25x+4 m在0,3上有兩個(gè)不 同的零點(diǎn).在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=m與y = x25x+4(xC 0,3)的故當(dāng)me94'圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x 2,3時(shí)，y = x -5x+4 2 時(shí)，函數(shù) y= m y = x2 5x+ 4( xC 0,3)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).答案：4, 213. (2013 濱州模擬)已知函數(shù) f (x) =ax2+bx+c(a>0, bC R, cCR).f xx>0,(1)若函數(shù)f (x)的最小值是f ( 1) =0,且c=1, Rx)="求F(2)f xx

29、<0,+ F( 2)的值；(2)若a=1, c=0,且|f(x)| <1在區(qū)間(0,1上恒成立，試求 b的取值范圍.解：(1)由已知得 c=1, a- b+c = 0, = = 1,2a解得 a=1, b=2.則 f(x) = (x+1)2.則 F(x) = "x+12, x>0,x+12, x<0.1即 b<x-故 F(2) +F( -2) = (2 + 1)2+ -(-2+1)2 =8.(2)由題意得f (x) = x2+ bx,原命題等價(jià)于1 < x2+ bx< 1在(0,1上恒成立,x且b> x在(0,1上恒成立. x又當(dāng)xC(0,1時(shí)，1 x的最小值為0, 1 x的最大值為一2, xx故2W b<0.|教際備遺孤1 .比較下列各組中數(shù)值的大小.(1)3 0.8,30.7 ; (2)0.21 3,0.23 3;(3)4.1 |, 3.8 -|, (-1.4) 3; (4)0.2 0', 0.4 0". 555解：(1)函數(shù)y=3x是增函數(shù)，故30.8>30.7.2 2) y = x3是增函數(shù)，故 0.21 3<0.23 3.(3)4.1 5>1,0<3.8 -f(x)=ab-a)+1-a，<1,而(1.4)3<0,故 4.12>3.8 2>