概率論第二章1-3節(jié)

1、第二章第二章 一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 隨機(jī)變量第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第五節(jié) 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例例1 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲3次次. 以以X記三次拋擲中出現(xiàn)記三次拋擲中出現(xiàn)H的總數(shù)的總數(shù), 則對(duì)樣本空間則對(duì)樣本空間S=e中的每一個(gè)樣本點(diǎn)中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e, X都有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)都有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng), 即有即有樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)HHHHHTHTHTHHHTTTHT TTH TTTX的的值值322211101 隨機(jī)變量定義定義 設(shè)設(shè)X X (e e )是定義在樣本空間是定義在樣本空間S S上的實(shí)上的實(shí)值函

2、數(shù)，稱值函數(shù)，稱X X (e e )為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量. .隨機(jī)變量通常用大寫字母隨機(jī)變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，.等等表示表示S1e2e3ex例例1 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲3次次. 以以X記三次拋擲中出現(xiàn)記三次拋擲中出現(xiàn)H的次數(shù)的次數(shù), 則對(duì)樣本空間則對(duì)樣本空間S=e中的每一個(gè)樣本點(diǎn)中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e, X都有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)都有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng), 即有即有樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)HHHHHTHTHTHHHTTTHT TTH TTTX的的值值32221110例例1 1 一射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)記為一射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)記為1分，分，未中目標(biāo)記為未中目標(biāo)記為0分分.設(shè)設(shè)X表示該射手

3、在一次射擊中的得表示該射手在一次射擊中的得分，它是一個(gè)隨機(jī)變量，可以表示為分，它是一個(gè)隨機(jī)變量，可以表示為 ., 0, 1未中擊中；X例例2 2 觀察一個(gè)電話交換臺(tái)在一段時(shí)間（觀察一個(gè)電話交換臺(tái)在一段時(shí)間（0，T）內(nèi)接）內(nèi)接到的呼叫次數(shù)到的呼叫次數(shù)如果用如果用X表示呼叫次數(shù)，表示呼叫次數(shù)，那么那么 表示一隨機(jī)事件，表示一隨機(jī)事件，顯然顯然 也表示一隨機(jī)事件也表示一隨機(jī)事件), 2 , 1 , 0(kkX), 2 , 1 , 0(kkX 有些隨機(jī)變量有些隨機(jī)變量, 它全部可能取到的值它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè), 這種隨機(jī)變量這種隨機(jī)變量稱為稱為離散型隨機(jī)變量離

4、散型隨機(jī)變量. 2 2 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律 記記X為擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù); 記記Y為燈泡的壽命為燈泡的壽命. 要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的統(tǒng)計(jì)規(guī)律, 必須且只需知道必須且只需知道X的所有可能取的值及取每的所有可能取的值及取每一個(gè)可能值的概率一個(gè)可能值的概率. 設(shè)設(shè)X所有可能取的值為所有可能取的值為xk(k=1,2,.), 而而PX=xk=pk, k=1,2,.(2.1) pk滿足如下兩個(gè)條件滿足如下兩個(gè)條件) 3 . 2(. 1, 2)2 . 2( ;, 2 , 1, 0, 11kkkpkp稱稱(2.1)式為離散型隨

5、機(jī)變量式為離散型隨機(jī)變量X的分布律的分布律. 分布律也可用表格的形式來(lái)表示分布律也可用表格的形式來(lái)表示:Xx1x2.xn.pkp1p2.pn.(2.4)v擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X為為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布律為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布律為vP(X=k)=1/6 k=1,2,6X123456pk1/61/61/61/61/61/6例例1 設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四組信號(hào)燈四組信號(hào)燈, 每組信號(hào)燈以每組信號(hào)燈以p=1/2概率禁止汽概率禁止汽車通過(guò)車通過(guò). 以以X表示汽車首次停下時(shí)表示汽車首次停下時(shí), 它已通過(guò)它已通過(guò)的信

6、號(hào)燈組數(shù)的信號(hào)燈組數(shù)(設(shè)各組信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)設(shè)各組信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的立的), 求求X的分布律的分布律.PX=k=(1-p)kp, k=0,1,2,3, PX=4=(1-p)4. X 01234pkp (1- -p)p(1- -p)2p(1- -p)3p(1- -p)4列表法列表法列式法列式法(一一) (0-1) (0-1)分布分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X只可能取只可能取0與與1 兩個(gè)值兩個(gè)值, 它的分布律是它的分布律是 P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1(0p0是常數(shù)是常數(shù). 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松的泊松分布分布, 記為記為X p p( ).泊松分布的背

7、景及應(yīng)用泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí)與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí), ,他他們做了們做了2608次觀察次觀察( (每次時(shí)間為每次時(shí)間為7.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), , 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震地震火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水泊松定理泊松定理 設(shè)設(shè) 0是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù), n是任意正整數(shù)是任意正整數(shù),

8、設(shè)設(shè)npn= , 則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k, 有有22上述定理表明當(dāng)上述定理表明當(dāng)n很大很大, p很小很小(np= )時(shí)有以時(shí)有以下近似式下近似式例例5 計(jì)算機(jī)硬件公司制造某種特殊計(jì)算機(jī)硬件公司制造某種特殊型號(hào)的微型芯片型號(hào)的微型芯片,次品率達(dá)次品率達(dá)1%, 各芯各芯片成為次品相互獨(dú)立片成為次品相互獨(dú)立. 求在求在1000只產(chǎn)只產(chǎn)品中至少有品中至少有2只次品的概率只次品的概率. 解：解： 以以X記產(chǎn)品中的次品數(shù)記產(chǎn)品中的次品數(shù), Xb(1000, 0.001).23二項(xiàng)分布的泊松逼近！二項(xiàng)分布的泊松逼近！定義定義 設(shè)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, x是是任意實(shí)數(shù)任

9、意實(shí)數(shù). 函數(shù)函數(shù)F(x)= PX x,稱為稱為X的分布函數(shù)的分布函數(shù).3 3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)具有以下的基本性質(zhì)具有以下的基本性質(zhì): 1. F(x)是一個(gè)不減函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù). 1)(lim)(, 0)(lim)(-xFFxFFxx 3. F(x+0)=F(x), 即即F(x)是右連續(xù)的是右連續(xù)的.2. 0 F(x) 1, 且且xX例例1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為X- -123pk1/41/21/4求求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。結(jié)果結(jié)果432141,1時(shí)當(dāng)-x,21時(shí)當(dāng)-x)(xXPxFx-12)(xXPxF1-XP;41xxi

10、ip)(xXPxFxxiip1-XP2XP; 0,32時(shí)當(dāng) x3,3時(shí)當(dāng)x)(xXPxFx-123xxiip1-XP2XP3XP1212141-. 3, 132, 4/3, 21, 4/ 1, 1, 0)(xxxxxF-1O123x1 F(x) 一般一般, 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為PX=xk=pk, k=1,2,.則則X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)2 . 3(,)(, )(xxkxxkkkpxFxXPxXPxF即 分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)在在x=xk(k=1,2,.)處有跳處有跳躍躍, 其跳躍值為其跳躍值為pk=PX=xk.例例2 一個(gè)靶子是半徑為一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤米的圓盤, 設(shè)擊設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比圓盤的面積成正比, 并設(shè)射擊都能中靶并設(shè)射擊都能中靶, 以以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離表示彈著點(diǎn)與圓心的距離. 試求隨機(jī)試求隨機(jī)變量變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù). 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxF. 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxFx1231/2