概率論第二章1-3節(jié)

1、第二章第二章 一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布第一節(jié) 隨機變量第二節(jié) 離散型隨機變量及其分布律第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其概率密度第五節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布例例1 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲3次次. 以以X記三次拋擲中出現(xiàn)記三次拋擲中出現(xiàn)H的總數(shù)的總數(shù), 則對樣本空間則對樣本空間S=e中的每一個樣本點中的每一個樣本點e, X都有一個數(shù)與之對應都有一個數(shù)與之對應, 即有即有樣樣本本點點HHHHHTHTHTHHHTTTHT TTH TTTX的的值值322211101 隨機變量定義定義 設設X X (e e )是定義在樣本空間是定義在樣本空間S S上的實上的實值函

2、數(shù)，稱值函數(shù)，稱X X (e e )為隨機變量為隨機變量. .隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，.等等表示表示S1e2e3ex例例1 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲3次次. 以以X記三次拋擲中出現(xiàn)記三次拋擲中出現(xiàn)H的次數(shù)的次數(shù), 則對樣本空間則對樣本空間S=e中的每一個樣本點中的每一個樣本點e, X都有一個數(shù)與之對應都有一個數(shù)與之對應, 即有即有樣樣本本點點HHHHHTHTHTHHHTTTHT TTH TTTX的的值值32221110例例1 1 一射手對目標進行射擊，擊中目標記為一射手對目標進行射擊，擊中目標記為1分，分，未中目標記為未中目標記為0分分.設設X表示該射手

3、在一次射擊中的得表示該射手在一次射擊中的得分，它是一個隨機變量，可以表示為分，它是一個隨機變量，可以表示為 ., 0, 1未中擊中；X例例2 2 觀察一個電話交換臺在一段時間（觀察一個電話交換臺在一段時間（0，T）內接）內接到的呼叫次數(shù)到的呼叫次數(shù)如果用如果用X表示呼叫次數(shù)，表示呼叫次數(shù)，那么那么 表示一隨機事件，表示一隨機事件，顯然顯然 也表示一隨機事件也表示一隨機事件), 2 , 1 , 0(kkX), 2 , 1 , 0(kkX 有些隨機變量有些隨機變量, 它全部可能取到的值它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個是有限個或可列無限多個, 這種隨機變量這種隨機變量稱為稱為離散型隨機變量離

4、散型隨機變量. 2 2 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律 記記X為擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為擲骰子出現(xiàn)的點數(shù); 記記Y為燈泡的壽命為燈泡的壽命. 要掌握一個離散型隨機變量要掌握一個離散型隨機變量X的統(tǒng)計規(guī)律的統(tǒng)計規(guī)律, 必須且只需知道必須且只需知道X的所有可能取的值及取每的所有可能取的值及取每一個可能值的概率一個可能值的概率. 設設X所有可能取的值為所有可能取的值為xk(k=1,2,.), 而而PX=xk=pk, k=1,2,.(2.1) pk滿足如下兩個條件滿足如下兩個條件) 3 . 2(. 1, 2)2 . 2( ;, 2 , 1, 0, 11kkkpkp稱稱(2.1)式為離散型隨

5、機變量式為離散型隨機變量X的分布律的分布律. 分布律也可用表格的形式來表示分布律也可用表格的形式來表示:Xx1x2.xn.pkp1p2.pn.(2.4)v擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點數(shù)擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點數(shù)X為為一個離散型隨機變量，其分布律為一個離散型隨機變量，其分布律為vP(X=k)=1/6 k=1,2,6X123456pk1/61/61/61/61/61/6例例1 設一汽車在開往目的地的道路上需經過設一汽車在開往目的地的道路上需經過四組信號燈四組信號燈, 每組信號燈以每組信號燈以p=1/2概率禁止汽概率禁止汽車通過車通過. 以以X表示汽車首次停下時表示汽車首次停下時, 它已通過它已通過的信

6、號燈組數(shù)的信號燈組數(shù)(設各組信號燈的工作是相互獨設各組信號燈的工作是相互獨立的立的), 求求X的分布律的分布律.PX=k=(1-p)kp, k=0,1,2,3, PX=4=(1-p)4. X 01234pkp (1- -p)p(1- -p)2p(1- -p)3p(1- -p)4列表法列表法列式法列式法(一一) (0-1) (0-1)分布分布 設隨機變量設隨機變量X只可能取只可能取0與與1 兩個值兩個值, 它的分布律是它的分布律是 P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1(0p0是常數(shù)是常數(shù). 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松的泊松分布分布, 記為記為X p p( ).泊松分布的背

7、景及應用泊松分布的背景及應用二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質放出的粒子個數(shù)的情況時與分析放射性物質放出的粒子個數(shù)的情況時, ,他他們做了們做了2608次觀察次觀察( (每次時間為每次時間為7.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射發(fā)現(xiàn)放射性物質在規(guī)定的一段時間內性物質在規(guī)定的一段時間內, , 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震地震火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水泊松定理泊松定理 設設 0是一個常數(shù)是一個常數(shù), n是任意正整數(shù)是任意正整數(shù),

8、設設npn= , 則對于任一固定的非負整數(shù)則對于任一固定的非負整數(shù)k, 有有22上述定理表明當上述定理表明當n很大很大, p很小很小(np= )時有以時有以下近似式下近似式例例5 計算機硬件公司制造某種特殊計算機硬件公司制造某種特殊型號的微型芯片型號的微型芯片,次品率達次品率達1%, 各芯各芯片成為次品相互獨立片成為次品相互獨立. 求在求在1000只產只產品中至少有品中至少有2只次品的概率只次品的概率. 解：解： 以以X記產品中的次品數(shù)記產品中的次品數(shù), Xb(1000, 0.001).23二項分布的泊松逼近！二項分布的泊松逼近！定義定義 設設X是一個隨機變量是一個隨機變量, x是是任意實數(shù)任

9、意實數(shù). 函數(shù)函數(shù)F(x)= PX x,稱為稱為X的分布函數(shù)的分布函數(shù).3 3 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)具有以下的基本性質具有以下的基本性質: 1. F(x)是一個不減函數(shù)是一個不減函數(shù). 1)(lim)(, 0)(lim)(-xFFxFFxx 3. F(x+0)=F(x), 即即F(x)是右連續(xù)的是右連續(xù)的.2. 0 F(x) 1, 且且xX例例1 設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為X- -123pk1/41/21/4求求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。結果結果432141,1時當-x,21時當-x)(xXPxFx-12)(xXPxF1-XP;41xxi

10、ip)(xXPxFxxiip1-XP2XP; 0,32時當 x3,3時當x)(xXPxFx-123xxiip1-XP2XP3XP1212141-. 3, 132, 4/3, 21, 4/ 1, 1, 0)(xxxxxF-1O123x1 F(x) 一般一般, 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X的分布律為的分布律為PX=xk=pk, k=1,2,.則則X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)2 . 3(,)(, )(xxkxxkkkpxFxXPxXPxF即 分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)在在x=xk(k=1,2,.)處有跳處有跳躍躍, 其跳躍值為其跳躍值為pk=PX=xk.例例2 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2米的圓盤米的圓盤, 設擊設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比圓盤的面積成正比, 并設射擊都能中靶并設射擊都能中靶, 以以X表示彈著點與圓心的距離表示彈著點與圓心的距離. 試求隨機試求隨機變量變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù). 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxF. 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxFx1231/2