畢業(yè)論文正文初稿

1、第1章 緒論 薛定諤方程（Schrodinger equation）是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程，也是量子力學的一個基本假定，其正確性只能靠實驗來檢驗。是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程，可描述微觀粒子的運動，每個微觀系統(tǒng)都有一個相應(yīng)的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對應(yīng)的能量，從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì)。1.1薛定諤方程的提出歷史 當法國物理學家德布羅意的“微觀粒子也像光一樣具有波粒二象性”的假說被美國物理學家戴維遜和革末利用“電子的晶體粉末散射實驗”證實后，薛定諤通過類比光譜公式成功地發(fā)現(xiàn)了可以描述微觀粒子運動狀態(tài)的方法薛定諤方程1

2、.2 薛定諤方程的建立 1. 2 .1問題提出 1923年，正當人們對光的波粒二象性仍然感到新奇之際，法國物理學家德布羅意又提出實物粒子也具有波粒二象性。 在愛因斯坦的提議下，實驗物理學家們都積極參與對這一提法的實驗證明。美國實驗物理學家戴維森在對電子束實驗中，證明德布羅意的提法是正確的實物粒子具有波粒二象性，這是物質(zhì)的根本屬性，那么具有波粒二象性的實物粒子 運動的基本規(guī)律是什么?如何從理論上直接得到，是在德布羅意的假設(shè)被肯定之后所面臨的中心問題薛定愕的老師德拜指定他做有關(guān)德布羅意工作的報告。在報告之后，德拜表示不滿向他指出，德布羅意以物質(zhì)具有波動性質(zhì)描述了微觀粒子，但還不曾建立一個以波動來表

3、示微觀粒子運動的動力學方程，研究波動就應(yīng)該先建立一個方程。薛定愕在他的啟示下，深入研究了這個問題，顯然他不是用傳統(tǒng)理論中人們熟悉的邏輯思維解決的。 1.2.2發(fā)散思維(1)建立方程首先要選擇一個狀態(tài)量，那么用什么樣的物理量來描述具有波粒二象性的實物粒子的運動狀態(tài)呢? 這個狀態(tài)量的意義是什么呢? (2)建立方程的形式應(yīng)屬于那一基本類型呢?這個方程的解是什么呢? (3)建立方程中自變量是什么?有幾個呢? (4)被描述的實物粒子所處的環(huán)境又將怎樣描述呢? 1.2.3 聯(lián)想思維 (1)從德布羅意和愛因斯坦那里，薛定諤吸取了關(guān)于電子波動和物質(zhì)具有波動性質(zhì)的思想對應(yīng)波的振幅引入稱之波函數(shù)，從而用波函來描述

4、電子的運動狀態(tài)。（2）受德布羅意把費馬原理與莫培督遠離進行類比方法的啟發(fā)，薛定諤聯(lián)想到了90年前哈密頓發(fā)現(xiàn)幾何光學僅是對無限小波長有效的波動光學的一種特殊情況，同時指明了怎樣從幾何光學的特征方程到波動光學微分方程的過渡。這實際 上是揭示了經(jīng)典力學與幾何光學之間的相似性一從哈密頓的分析力學中悟出經(jīng)典力學與幾何光學類似的思想。(3)由此，薛定諤想到，既然幾何光學僅是對光的一種大體的近似，那么很可能是同樣的原因才使經(jīng)典力學“在很小的軌道大小和很強的軌道彎曲情況下” 失效了， 而這兩者又只是對短波長的近似，這一失效完全類似幾何光學的失效， 一旦“障礙物”或“狹孔”不比實際的有限波長大時就發(fā)生。那樣經(jīng)典

5、力學就是幾何光學的完全相似物，因而需要尋找一種“波動的力學”，而最接近的尋找途徑就是哈密頓模型的波動理論。 (4)從玻爾理論里得到了能量是分立的，薛定諤又注意到數(shù)學中偏微分方程的本征值玻爾的分立能級或許就是波動方程的本征值。 (5)實物粒子一定要處于一個環(huán)境之中，因此，描述實物粒子環(huán)境應(yīng)是經(jīng)典力學中粒子在所處場中的勢能。1.2.4 再造想象經(jīng)過上面的聯(lián)想，薛定諤對所要建立方程的思路基本成熟，總括起來，薛定諤的思想大概是從以下4個前提下得出來的： (1)原子領(lǐng)域中電子的能量是分立的 (2)在一定的邊界條件下，波動方程的振動頻率只能取一系列分裂的本征頻率； (3)哈密頓雅可比方程不僅可用于描述粒子

6、的運動，也可用于描述光波； (4)最關(guān)鍵的是愛因斯坦和德布羅意關(guān)于波粒二象性的思想電子可以看成是一種波，其能量E和動量P可用德布羅意公式與波長A和頻率聯(lián)系在一起.波動力學形式簡單明了偏微分方程： 這就是學過量子力學的人都知道的定態(tài)薛定諤方程，到此，已經(jīng)完成定態(tài)薛定諤方程建立 1.2.5 得出結(jié)論 定態(tài)薛定諤方程是否合理，需接受實踐和理論的檢驗，經(jīng)檢驗薛定諤方程是正確的，即： (1)從這個方程得到的解正是氫原子的能級公式。這樣，量子化就成了薛定諤方程的自然結(jié)果，而不是象玻爾和索未菲那樣需要人為規(guī)定某些量子化條件 (2)從這個方程得到了諧振子的能級和定態(tài)波函數(shù)， 結(jié)果與海森伯的矩陣力學所得相同 (

7、3)該方程還處理了普朗克諧振子和雙原子分子等問題 (4)從這個方程可計算氫原子的斯塔克效應(yīng)，結(jié)果與實驗符合得很好 (5)利用這個方程含時間的微擾理論，解決色散等問題.1.3 薛定諤方程的重要內(nèi)容要建立微觀粒子的運動方程，應(yīng)包含時間及空間變量。這個方程還應(yīng)滿足以下兩個條件：（1）方程是線性的，即如果y1和y2都是這方程的解，那么y1和y2的線性迭加（ay1 +by2）也應(yīng)是方程的解。這是由態(tài)迭加原理(干涉現(xiàn)象）決定的；（2）這個方程的系數(shù)不應(yīng)包含狀態(tài)的參量，如動量、能量等。否則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，不能被各種可能的狀態(tài)所滿足。首先看平面波的波動方程： 利用復數(shù)計算公式： 上式可記為：

8、1.3.1自由粒子的薛定諤方程動量為P、質(zhì)量為m、能量為E的自由粒子，沿x軸運動的波函數(shù)為： 對時間求微商，得到：上式兩邊都乘得：對x求二階偏導得：上式兩邊都乘以得： 把對t求導的式子寫在下面：當粒子速度遠小于光速時c時（v<<c）自由粒子的動量和動能滿足以下關(guān)系式： 利用上面兩個公式消去P和E得： 這就是一維空間自由粒子的薛定諤方程的公式。1.3.2 薛定諤方程的一般形勢若粒子不是自由的，而是在某力場中運動，其勢能函數(shù)為EPV(x,t)，則粒子的總能量應(yīng)為：將上式作用于波函數(shù)上，此時的薛定諤方程為： 由此可知，粒子的動能E和動量P與下列作用在波函數(shù)上的算符相當： 寫成式子：引入哈

9、密頓算符 則這就是薛定諤方程的一般形式 1.4 建立薛定諤方程的一般方法（1）找出粒子動能E與動量P的關(guān)系式；（2）把關(guān)系式中的E和P算符化；（3）把經(jīng)算符化后的關(guān)系式分別作用于Y上，即可得到所需的薛定諤方程.1.4.1 定態(tài)薛定諤方程 如果粒子的勢能并不隨時間的變化，即V=V（x,y,z），它不包含時間。在經(jīng)典力學中這相應(yīng)于粒子機械能守恒的情況，在這種情況下可以用分離變量法把波函數(shù)寫成空間坐標函數(shù)和時間函數(shù)的乘積，即代入得：兩邊除以可得：很明顯，上式右邊只是矢徑 的函數(shù)，而左邊只是時間t的函數(shù)，為了使上式成立，必須兩邊恒等于一個常數(shù)，設(shè)以E表示則有：方程（1）的解為：（c為任意常數(shù)）將代入并

10、把常數(shù)包含在中，這樣就得到薛定諤方程的特解為 定態(tài)波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為定態(tài)。方程稱為定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程的每一個解表示粒子的穩(wěn)定狀態(tài)，并且由其解所得的粒子在空間的幾率密度與時間無關(guān)：將與自由粒子的波函數(shù)表達式比較可知： 常數(shù)E其實是微觀粒子的總能量，所以定態(tài)也就是微觀粒子能量不隨時間變化的量子態(tài).1.4.2 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋薛定諤方程的解稱為波函數(shù)，波函數(shù)本身并不表示微觀粒子運動軌跡，也不表示粒子的波動狀態(tài)（粒子運動沒有振幅） 。實際上波函數(shù)本身并沒有物理意義。對于波函數(shù)，有意義是波函數(shù)可以描述粒子的量子狀態(tài)。波恩首先提出的波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：波函數(shù)在空間某一點的強度（波函數(shù)振幅的平方

11、）與在該點找到粒子的幾率成正比。粒子在處的幾率對于平面波 表示自由粒子在空間出現(xiàn)的幾率處處相等。1.4.3 應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程解決實際問題的一般步驟(1)找出問題中勢能函數(shù)的具體形式，代入相應(yīng)的薛定諤方程；(2)用分離變量法求解波函數(shù)；(3)由波函數(shù)歸一化條件和連續(xù)性條件，確定積分常數(shù)；(4)求概率密度并討論物理意義.第2章 薛定諤方程的應(yīng)用2.1 一維無線深勢阱考慮在一維空間中運動的粒子，它的勢能在一定區(qū)域內(nèi)（x=0到x=a）為零，而在此區(qū)域外勢能為無限大，即：粒子只能在寬為 a 的兩個無限高勢壁間運動，這種勢稱為一維無限深方勢阱。2.1.1 薛定諤方程的建立 由于勢能與時間無關(guān)，所以本題是

12、定態(tài)問題。在阱外（x 0,x a）,定態(tài)薛定諤方程為： 式中根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足連續(xù)性和有限性的條件，只有當Y=0時，方程才有意義，所以有：在阱內(nèi)（0<x<a），薛定諤方程為：在阱內(nèi)粒子的勢能為零，滿足令 ，則方程可化為：該方程就是波動方程，其通解為：根據(jù)波函數(shù)的標準化條件，在邊界上： 代入方程得：由此得：B=0; Asin(ka)=0 若取A=0，則Y=0，表示粒子不在勢阱出現(xiàn)，這違反粒子在勢阱內(nèi)運動的已知條件,所以有：sin（ka)=0 即，, (n=1,2,3)n不能取零，否則無意義。再由歸一化條件確定常數(shù)A：于是：一維無限深方形勢阱中運動的粒子的波函： 2.2 勢壘貫穿 設(shè)一個

13、質(zhì)量為m的粒子，沿x軸正方向運動，其勢能為這種勢能分布稱為一維勢壘。 粒子在 x < 0 區(qū)域里，若其能量小于勢壘高度，經(jīng)典物理來看是不能越過勢壘達到 x > a的區(qū)域。在量子力學中情況又是如何尼？為了討論方便，我們把空間分為三個區(qū)域在各個域的波函數(shù)分別為：Y1、Y2、Y3令：三個空間的薛定諤方程簡化為：方程的通解為：將上面的三個式子乘以因子：，可知： 三式方程的右邊第一項表示沿x軸方向傳播的平面波，第二項表示沿x負方向傳播的平面波。Y1右邊的第一項表示射向勢壘的入射波，第二項表示被“界面（x=0）”反射的反射波。Y2右邊的第一項表示穿入勢壘的透射波，第二項表示被“界面（x=a）”

14、反射的反射波。Y3右邊的第一項表示穿出勢壘的透射波， Y3的第二項為零，因為在x>a區(qū)域不可能存在反射波(C/=0)。 利用波函數(shù)“單值、有限、連續(xù)”的標準條件，可得：2.3 薛定諤方程在化學中的應(yīng)用化學最核心的內(nèi)容就是要弄清楚核外電子的運動狀態(tài)，薛定諤方程就是描述核外電子運動狀態(tài)的一個數(shù)學方程。因此，了解薛定諤方程的來歷，明確薛定諤方程的解法，掌握方程的解析結(jié)果對于化學科學是十分重要的。1992年由奧地利科學家薛定諤通過類比方法，把德布羅意關(guān)系引入駐波方程，建立了一個能夠描述電子波粒二象性的數(shù)學方程，由此奠定了量子力學的邏輯基礎(chǔ)。薛定諤的類比方法是： 1.光具有波粒二象性，可以用波動方

15、程來描述；電子也具有波粒二象性，所以也可以用波動方程來描述。 2.核外電子的能量是量子化 的，而且電子的運動被束縛在原子體系當中。只有駐波才滿足這些條件， 所以描述核外電子的運動狀態(tài)的波動方程應(yīng)該是駐波方程。 3.通用的駐波方程是一種二階偏微分方程： （1）其中，是波的振幅，A是波長，x、y和z是直角坐標系的三個坐標，電子是在核外的三維空間當中運動。 把德布羅意關(guān)系 代入方程得：其中是電子的動能，它等于電子的總能量E減去電子的勢能,即 由此（1）式就可變?yōu)?（2）這就是描述核外電子運動狀態(tài)的波動方程，后來被稱為薛定諤方程。薛定諤方程能夠全面的反映電子的運動特點-波粒二象性。其中代表電子的波動性

16、，m 、E代表電子的粒子性。由于原子中的電子在核外的球形對稱場中運動，因此，把直角坐標轉(zhuǎn)換為球極坐標，計算起來更為方便。 所以，又常把直角坐標轉(zhuǎn)換成為球極坐標： （3） 是方程的解，但它不是具體的數(shù)值，而仍然是一個函數(shù)，通常稱為波函數(shù)。 顯然，如果能夠得知的解析圖象，則對于掌握核外電子的運動情況是十分有利的。 遺憾的是是三個變量的函數(shù)，在三維空間中無法直接描摹出來解析圖象。為了獲得波函數(shù) 的解析圖象，人們采取了分離變量的方法：R(r)稱為徑向分布函數(shù)，Y()稱為角度分布函數(shù)。顯然，這兩個函數(shù)都能夠得到解析圖像。如果把這兩個函數(shù)的解析圖像綜合起來，則原則上就可以組合出來的解析圖像。為了使得薛定諤

17、方程的解趨于合理，人們又引入了n、f、m三個量子數(shù)。R(r)由主量子數(shù) n 和角量子數(shù) z 決定由角量子數(shù) 1 和磁量子數(shù) m決定， 于是上式可以寫為：由于波函數(shù) 可以描述電子的運動狀態(tài)，所以習慣上把它叫做原子軌道。波函數(shù)的每一組解 n,l，m代表電子的一個空間狀態(tài)。為了解釋后來發(fā)現(xiàn)的原子光譜的精細結(jié)構(gòu)，考慮到這可能是電子自旋所為，后來又引進 了第四個量子數(shù) 自旋量子數(shù)m。四個量子數(shù)的意義分別是：主量子數(shù)n，n=1,2,3，決定原子中電子的能量和離核的遠近；角量子數(shù)，Z=0,1,2,(n-1)，決定電子繞核運動的角動量的大小，即原子軌道的形狀；磁量子數(shù)m，m =0,±1,±

18、2,，±,決定電子繞核運動的角動量在外磁場中的取向，即原子軌道的空間伸展方向；自旋量子數(shù) ,=+，決定電子自旋角動量在外磁場中的取向，它不是解薛定諤方程引入的，只是為了表示電子的兩種自旋狀態(tài)而引進的。一組 n,m, 四個具體的量子數(shù)確定電子的一個運動狀態(tài)。 薛定諤方程是量子力學的基本方程,它蘊涵了量子力學的基本原理。 雖然它不是經(jīng)過數(shù)學推導出來的,而是一個類比方程,但應(yīng)用于原子核外電子的描述、分子中的化學鍵的描述都能和事實相符，因此逐漸被人們接受并一直在應(yīng)用。后來經(jīng)過迪拉克進行相對論性的改造,更加確立了薛定諤方程在量子力學中的獨尊地位。今天我們學習薛定諤方程，不僅要掌握方程的應(yīng)用，更

19、重要的是應(yīng)該認真領(lǐng)悟薛定諤的思想方法.因為“科學給人知識,科學的歷史可以給人智慧” 。 結(jié) 論 量子力學中求解粒子問題常歸結(jié)為解薛定諤方程或定態(tài)薛定諤方程。薛定諤方程廣泛地用于原子物理、核物理和固體物理，對于原子、分子、核、固體等一系列問題中求解的結(jié)果都與實際符合得很好。 薛定諤方程僅適用于速度不太大的非相對論粒子，其中也沒有包含關(guān)于粒子自旋的描述。當涉及相對論效應(yīng)時，薛定諤方程由相對論量子力學方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。 薛定諤提出的量子力學基本方程 。建立于 1926年。它是一個非相對論的波動方程。它反映了描述微觀粒子的狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，它在量子力學中的地位相當于牛頓定律對于

20、經(jīng)典力學一樣，是量子力學的基本假設(shè)之一。設(shè)描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)為（r,t)，質(zhì)量為m的微觀粒子在勢場V（r,t）中運動的薛定諤方程為。在給定初始條件和邊界條件以及波函數(shù)所滿足的單值、有限、連續(xù)的條件下，可解出波函數(shù)（r,t）。由此可計算粒子的分布概率和任何可能實驗的平均值（期望值）。當勢函數(shù)V不依賴于時間t時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)時的波函數(shù)可寫成式中（r）稱為定態(tài)波函數(shù)，滿足定態(tài)薛定諤方程，這一方程在數(shù)學上稱為本征方程，式中E為本征值，是定態(tài)能量，（r）又稱為屬于本征值E的本征函數(shù)。 薛定諤方程是量子力學的基本方程，它揭示了微觀物理世界物質(zhì)運動的基本規(guī)律，就像牛頓定

21、律在經(jīng)典力學中所起的作用一樣，它是原子物理學中處理一切非相對論問題的有力工具，在原子、分子、固體物理、核物理、化學等領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。致 謝非常感謝張躍林老師在我大學的最后學習階段畢業(yè)設(shè)計階段給自己的指導，從最初的定題，到資料收集，到寫作、修改，到論文定稿，他給了我耐心的指導和無私的幫助。為了指導我們的畢業(yè)論文，他放棄了自己的休息時間，他的這種無私奉獻的敬業(yè)精神令人欽佩，在此我向他表示我誠摯的謝意。同時，感謝所有任課老師和所有同學在這四年來給自己的指導和幫助，是他們教會了我專業(yè)知識，教會了我如何學習，教會了我如何做人。正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進步，在此向他們表示我由衷的謝意，并祝所有的老師培養(yǎng)出越來越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下！ 通過這一階段的努力，我的畢業(yè)論文薛定諤方