最新數(shù)字信號處理信號的頻率分析

1、 第第4 4章章 信號的頻域分析信號的頻域分析 n傅里葉變換和傅里葉級數(shù)是傅里葉變換和傅里葉級數(shù)是ltilti系統(tǒng)分析與設(shè)計中非常系統(tǒng)分析與設(shè)計中非常有用的工具。有用的工具。n信號的頻域表示信號的頻域表示: : 用正弦信號（或復(fù)指數(shù)信號）作為用正弦信號（或復(fù)指數(shù)信號）作為分量來分解分量來分解( (或表示或表示) )信號。信號。n對周期信號，這種分解稱為傅里葉級數(shù)。對周期信號，這種分解稱為傅里葉級數(shù)。n對有限能量信號，這種分解稱為傅里葉變換。對有限能量信號，這種分解稱為傅里葉變換。nltilti系統(tǒng)的線性性意味著當(dāng)輸入為正弦分量的線性組合系統(tǒng)的線性性意味著當(dāng)輸入為正弦分量的線性組合時，輸出信號在

2、形式上也是正弦信號的線性組合，差時，輸出信號在形式上也是正弦信號的線性組合，差別僅僅在于各分量的幅度和相位有所不同。別僅僅在于各分量的幅度和相位有所不同。nltilti系統(tǒng)的特征表明信號的正弦分解是非常重要的。系統(tǒng)的特征表明信號的正弦分解是非常重要的。第第4 4章章 信號和系統(tǒng)的頻率分析信號和系統(tǒng)的頻率分析 n4.1 4.1 連續(xù)時間信號的頻率分析連續(xù)時間信號的頻率分析 n4.2 4.2 離散時間信號的頻率分析離散時間信號的頻率分析n4.3 4.3 頻域和時域的信號特性頻域和時域的信號特性 n4.4 4.4 離散時間信號傅里葉變換的性質(zhì)離散時間信號傅里葉變換的性質(zhì)n4.5 4.5 小結(jié)和參考文

3、獻小結(jié)和參考文獻4.1 4.1 連續(xù)時間信號的頻率分析連續(xù)時間信號的頻率分析n利用玻璃棱鏡利用玻璃棱鏡(a)(a)分析和分析和(b)(b)綜合白光綜合白光( (太陽光太陽光).1672).1672年年牛牛頓在寫給皇家協(xié)會的論文中用譜這個術(shù)語描述分光頓在寫給皇家協(xié)會的論文中用譜這個術(shù)語描述分光儀產(chǎn)生連續(xù)色帶。儀產(chǎn)生連續(xù)色帶。 joseph ，在測量太陽和，在測量太陽和星體發(fā)射的光線時，發(fā)現(xiàn)星體發(fā)射的光線時，發(fā)現(xiàn)看到的光線的譜包含不同看到的光線的譜包含不同的色光。的色光。19世紀中葉發(fā)現(xiàn)，每種化學(xué)元世紀中葉發(fā)現(xiàn)，每種化學(xué)元素受熱輻射出不同的色光。因素受熱輻射出不同的色光。因此，可以通過化學(xué)元素的光

4、譜此，可以通過化學(xué)元素的光譜來辨識每種化學(xué)元素。來辨識每種化學(xué)元素。頻率分析頻率分析n從物理學(xué)，每一種顏色對應(yīng)一種可見光譜的特定頻從物理學(xué)，每一種顏色對應(yīng)一種可見光譜的特定頻率。因此，從光到顏色的分析就是一種頻率分析。率。因此，從光到顏色的分析就是一種頻率分析。n信號的頻率分析將信號分解成正弦頻率分量。信號的頻率分析將信號分解成正弦頻率分量。不同不同的信號擁有不同的譜，譜是信號的又一種表示的信號擁有不同的譜，譜是信號的又一種表示.n頻率分析的基本目的頻率分析的基本目的: 給出一個分析任意給定信號給出一個分析任意給定信號的頻率分量的數(shù)學(xué)和圖形表示方式。的頻率分量的數(shù)學(xué)和圖形表示方式。n可以證明可

5、以證明: : 實際中大多數(shù)有意義的信號能分解為正實際中大多數(shù)有意義的信號能分解為正弦信號分量和的形式。弦信號分量和的形式。n用基本數(shù)學(xué)工具獲得信號的頻譜的過程稱為頻用基本數(shù)學(xué)工具獲得信號的頻譜的過程稱為頻率或者頻譜分析。率或者頻譜分析。 n在實際中，用信號的測量值來確定信號的譜的在實際中，用信號的測量值來確定信號的譜的過程稱為譜估計。過程稱為譜估計。 n可以把譜估計當(dāng)做從信號源獲取信號的一類譜可以把譜估計當(dāng)做從信號源獲取信號的一類譜分析分析 ( (例如，語音、例如，語音、eegeeg、ecgecg等等) )。n用于獲取信號的譜估計的軟件或者儀器被稱為用于獲取信號的譜估計的軟件或者儀器被稱為頻譜

6、分析儀。頻譜分析儀。n傅里葉分析工具：傅里葉級數(shù)和傅里葉變換代傅里葉分析工具：傅里葉級數(shù)和傅里葉變換代替了棱鏡作用。替了棱鏡作用。 主要內(nèi)容主要內(nèi)容n1 1 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)n2 2 周期信號的功率譜密度周期信號的功率譜密度n3 3 連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換n4 4 非周期信號的能量譜密度非周期信號的能量譜密度1 1 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)n實際中經(jīng)常碰到的周期信號就是方波、矩形實際中經(jīng)常碰到的周期信號就是方波、矩形波、三角波，當(dāng)然包括正弦波和復(fù)指數(shù)。波、三角波，當(dāng)然包括正弦波和復(fù)指數(shù)

7、。n周期信號的基本數(shù)學(xué)表示就是傅里葉級數(shù)，周期信號的基本數(shù)學(xué)表示就是傅里葉級數(shù)，它是諧波相關(guān)正弦信號或者復(fù)指數(shù)信號的線它是諧波相關(guān)正弦信號或者復(fù)指數(shù)信號的線性加權(quán)和。性加權(quán)和。 n復(fù)指數(shù)諧波線性組合復(fù)指數(shù)諧波線性組合 02( )kjkf tkx tc e這是一個周期信號，基本周期為 。 01/ptf02 0, 1, 2, jkf tek基本模塊，只需要適當(dāng)選取基本頻率和系數(shù)，就可基本模塊，只需要適當(dāng)選取基本頻率和系數(shù)，就可由它構(gòu)造出不同類型的周期信號。由它構(gòu)造出不同類型的周期信號。 系數(shù)系數(shù) 的確定的確定:000000000000002222()2()2()0022()( )() ( )ppp

8、pttttjlf tjlf tjkf tkttkttjfk l tktkjfk l tttjfk l ttjkf tkkjf klx t edtec edtcedteedtx tc e0000000, , ppptttttttpttkldtttkl kc00000002221( ) 1( ) ( ) pppttjlf tlttjlf tltpjlf tpltptcxcx t edttx t edcttettdt1 1 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)n綜合方程綜合方程 n分析方程分析方程 n如果信號是周期的且滿足如果信號是周期的且滿足dirichlet條件，則它一定條件

9、，則它一定可以表示為綜合方程的傅里葉級數(shù)，其中系數(shù)由分析可以表示為綜合方程的傅里葉級數(shù)，其中系數(shù)由分析方程確定。方程確定。ndirichletdirichlet條件條件 信號信號 在一個周期內(nèi)不連續(xù)點的個數(shù)有限。在一個周期內(nèi)不連續(xù)點的個數(shù)有限。 信號信號 在一個周期內(nèi)最小點和最大點的個數(shù)有限。在一個周期內(nèi)最小點和最大點的個數(shù)有限。 信號信號 在一個周期內(nèi)絕對可積，即在一個周期內(nèi)絕對可積，即 實際中，感興趣的所有周期信號都滿足這些條件。實際中，感興趣的所有周期信號都滿足這些條件。 02( )jkf tkkx tc e021( )pjkf tktpcx t edtt()ptxtd t ( )x t

10、( )x t( )x tn周期信號為實數(shù)周期信號為實數(shù) n另一種形式展開式另一種形式展開式 n實周期信號傅里葉級數(shù)展開的三種等價形式。實周期信號傅里葉級數(shù)展開的三種等價形式。001( )2cos(2)kkkkjjkkkkkkkcccc ecc ex tcckf t和是復(fù)共軛000100000cos(2)cos 2cossin 2sin 2cos ( )(cos 2sin 2)2sinkkkkkkkkkkkkx taakf tbkf tkf tkf tkf tacacbc2 2 周期信號的功率譜密度周期信號的功率譜密度n平均功率n功率信號的parseval關(guān)系21( )xpptpx tdtt00

11、00*22*22*2222( )( )( ) ( )11( )1 ( )1 1()(ppxpkppppkpjkf tjkf tkkkkpptjkf tktkkkkjkf ttxtkx t xtttx tc ex tc epx tdtdttx tc etcdttdtx t ecpx tdtctn物理含義物理含義 n顯然，顯然， 代表了信號第代表了信號第 個諧波分量的功率。因個諧波分量的功率。因此，周期信號總的平均功率是所有諧波平均功率此，周期信號總的平均功率是所有諧波平均功率的和。的和。 n連續(xù)周期信號的功率譜密度圖連續(xù)周期信號的功率譜密度圖 022( )jkf tkxkx tc epc2kck

12、連續(xù)周期信號的功率譜密度圖連續(xù)周期信號的功率譜密度圖 : , kkjkkkkkkcc eccc 是復(fù)數(shù)復(fù)度譜相位譜22*222220011122kkkkxkkkkkccccpccaabn實周期信號實周期信號幅度譜是偶函數(shù)，幅度譜是偶函數(shù)，相位譜是奇函數(shù)。相位譜是奇函數(shù)。 例例 給出矩形脈沖序列的傅里葉級數(shù)和功率譜密度。給出矩形脈沖序列的傅里葉級數(shù)和功率譜密度。解解: :基本周期: pt/20/2/2/21( )1ppppttpttppx t dttaadtttc000022222220002001, 1, 2, 2sin2sin/jkf tkpjkf tjkfjkfpppcaedttaeaee

13、aktjkfkf tjtkfkfkf 當(dāng) 時，固定脈沖寬度 ，而改變周期 ptpt222200,0sin 1, 2,pkpaktckfaktkf 矩形脈沖串信號的功率譜密度 3 3 連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換n分析方程(正變換)n綜合方程(逆變換)n傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的本質(zhì)區(qū)別在于后者的譜是連續(xù)的，因此，在從非周期信號的頻譜合成非周期信號的過程中，用積分運算代替了求和運算。n傅里葉變換對可以用角頻率變量 表示 2()( )jftx fx t edt2( )()jftx txf edf2 f 1( )()2()( )jtjtx txedxx t edt4 非

14、周期信號的能量譜密度非周期信號的能量譜密度 設(shè)信號 是具有傅里葉變換 的能量有限信號。能量定義:parseval定理:它是信號能量在時域和頻域之間的守恒定理。能量密度譜: 譜一般是復(fù)值的，極坐標(biāo)表示為:是被積函數(shù)，代表了信號能量隨著頻率變化的分布情況, 被稱為信號 的能量密度譜。實信號的能量譜密度是偶對稱的。 ( )x t( )x f*22*22( )( )( )() ()( )()( )jftxjftex t x t dtx t dtxf edfxf dfx t edtx fdfx tdt22( )()xex tdtx fdf()( )( )jfx fx f e2()()xxsfx f( )

15、x t例例4.1.2 確定矩形脈沖信號的傅里葉變換和能量譜密度。解解: 信號是非周期的并且滿足dirichlet條件，因此它的傅 里葉變換存在。應(yīng)用式（4.1.30），得到, /2( )0, /2atx tt/2/2sin( )j ftfx faedtaf 矩形脈沖信號的譜是按 周期性地重復(fù)脈沖所得周期信號的譜線(傅里葉系數(shù))的包絡(luò)， pt 0110( )( )/ ()ppppkpkktttxtcx fkfk tcx kfx的 就是 在處的取樣：時域和頻域之間的不確定性原理: 當(dāng)信號在時域擴展(壓縮)時，則在頻域壓縮(擴展)。4.2 離散時間信號的頻率分析離散時間信號的頻率分析 n1 離散時間

16、周期信號的傅里葉級數(shù)n2 周期信號的功率譜密度n3 離散時間非周期信號的傅里葉變換n4 傅里葉變換的收斂性n5 非周期信號的能量譜密度n6 傅里葉變換與z變換之間的關(guān)系n7 倒譜n8 在單位圓上有極點的信號的傅里葉變換n9 取樣定理的回顧n10 信號的頻域分類： 帶寬的概念n11 一些自然信號的頻率范圍n12 物理和數(shù)學(xué)上的二重性1 1 離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)周期序列 的周期為 ，對所有的 ，有它的傅里葉級數(shù)表示包含 個指數(shù)諧波函數(shù) 綜合方程: 分析方程:綜合方程通常被稱為離散時間傅里葉級數(shù)(dtfs),傅里葉系數(shù) 給出了信號的頻域分析。 ( )x n( )(

17、)x nx nnn12/0( )njknnkkx nc e12/10( )njknnknncx n e kc n n2210 0, 1, , 1( ) (1) jkn njkn nnkkkeknx nc ec并且可表示為： 其中是級數(shù)表達式中的系數(shù)。傅里葉系數(shù)的表示式傅里葉系數(shù)的表示式: 21110012n/1112n2 ()00012 ()0,1,0, 2,10,01: ( ),0, , 2, ( )0,jkn nnnnkaknajlnnnnjlnjk l n nknnknjk l n nnnanknnaeaennnx n ec enklnnx n e 其他在(1)式的兩邊乘以從到求和其12

18、 ln/01( ) 0, 1, , 1njnlnncx n eln他信號或者它的譜的任意信號或者它的譜的任意 個連續(xù)的取樣提個連續(xù)的取樣提供了信號在時域或者頻域的完整描述。供了信號在時域或者頻域的完整描述。2/12()/012/0( ), 2/( )() 1 ( )1 ( ),kjkn nkkkknjkn n nknnnjkn nknkjnnsneeknsnsnncx n enx n ecncn因此是周期為的周期信號基本周期為的一個周期序列n2/5160( )0, 1, , 5 jkn nknx nkcen例例4.2.1 確定下列信號( ) ( )cos2 (b) ( )cos/3( ) (

19、)4,( )1,1,0,0ax nnx nnc x nnx n是周期的周期信號 并且0021/2, ff解：（a）由，得到因 不是有理數(shù)，所以,信號是非周期的。因此，不能用傅立葉級數(shù)展開。但是，它確實有頻譜。他的頻譜僅僅包含022/2/2116222/2 (5 )/11023415222(5 6)/( )cos0, , jn njn nnjn njnnjn nx neeeeecccccc(c) 32/ 4n=00123/21112441144( )0, 1, 2, 3, , (1), 0, (1)=(1)jknj kkx nkceccjccje0123012321242444, , 0, 0,

20、 cccccccc 未定義 (b)和(c)中所討論的周期信號的譜 2 周期信號的功率譜密度周期信號的功率譜密度 n周期為 的離散時間周期信號的平均功率:n離散時間周期信號的parseval關(guān)系n信號的平均功率是單個頻率分量的功率之和。n序列 是功率作為頻率的函數(shù)的分布,被稱為周期信號的功率譜密度。n單個周期上的能量 n1201( )nxnnpx n111*2/000111122*2/000011( )( )( )()11 ( )( )nnnjkn nxknnnnnnnjkn nkkknknpx n xnx nc enncx n ecx nnn2 (0, 1, , 1)kckn112200( )

21、nnnknkex nnc例例4.2.2 確定周期方波信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)和功率譜密度。 解解: 2/2/112/2/110012/02/2/1111/( ), 0,1,1,0 (),1,2,1jkl njknnljkn njkn nknnnnljk nnannjkl nj kl nj kl nj kl njk nj k nj k nj k neaneeeeeeeeeal ncx n eaeknkekne2(1)/222(1)/sin(/)sin(/)/0,2,(/)sin(/) /sin(/)/0,2,/,sin(/)/sin(/),kj k lnkj k lnkl nk nal nknna

22、 nkl nknal nknna nceckl nkn其他其他3 離散時間非周期信號的傅里葉變換離散時間非周期信號的傅里葉變換 n綜合方程 (逆變換)n分析方程 (正變換)n離散時間有限能量信號的傅里葉變換和有限能量模擬信號的傅里葉變換之間兩個基本區(qū)別 #連續(xù)時間信號的傅里葉變換的頻率范圍是 。離散時間信號的頻率范圍在 或 上確定。 # #離散時間信號的傅里葉變換涉及到求和項,而不是連續(xù)時間信號情形中的積分。 212( )( )j nx nxed( )( )j nnxx n e (, )(, )(0, 2 )(2)2(2)( ) ( )( )( )jk nnj njknj nnnxkx n e

23、x n eex n ex4 傅里葉變換的收斂性傅里葉變換的收斂性 n如果信號 絕對可和， 肯定一致收斂。n放松一致收斂的條件,定義有限能量序列的傅里葉變換，強加均方收斂的條件,這樣，存在傅里葉變換的信號中就可以包括有限能量的信號。( )x n( ) x( )( ) ( )limsup( )( )0 ( )( )( )( )nj nnnnnnj nnnnnxx n exxxxxx nn ex n 假定當(dāng)時，一致收斂到，即，對于每一個 ，都有： 。22( )( ) ( )( ) ( ) lim( )( )000nnxnnnxxxxex nxxd 從而保證誤差的能量接近于 ，但沒有必要趨于 。一個有

24、限能量信號的例題一個有限能量信號的例題 12sin1212sin( )( ) ( ), 0 0, (0),0 ( ) ,00( ) ccccj nj ncccccccnnnnxxx nedednnxdnx nnnx n的逆變換可得：如果因此，可得：(2)有時候，在當(dāng)時，/ 的條件下，(2)中的系列可表示為： ( )sin/ ( sin)/(0)ccx nnnnnnx (3)不是一個連續(xù)信號，lhospital準(zhǔn)則不適用于確定強調(diào)：。( )21, ( ) 10,ccxx例：是一個以為周期的周期信號，它的一個周期為：（）(1)式和(2)式的變換對如何確定序列如何確定序列的傅里葉變換的傅里葉變換 s

25、insin( ) ( ) (4)( )/(2)( )( )j nj nnnxcnj nnnnccnnnnx nx n eex nexxe序列不是絕對可和的。于是，對所有的 ，不是一致收斂的。然而，的且為。所以，在均方意義下，(4)中的求和一定收斂到式中的。 有限項的和： 能量有限考慮sin( ) cnnx nn 的示意圖在 處有一個明顯的震蕩尖峰，而且它與 的值無關(guān)。隨著 增加，震蕩變得更快，但波紋的大小相同。當(dāng) ，震蕩收斂到不連續(xù)點 處，但它們的幅度不會趨近于0。然而， 在均方意義上收斂于 。 ( ) nx cnnn c( )x( )nx( )( )( )nxxx在不連續(xù)點處，逼近函數(shù)gi的

26、震bb蕩性被稱為s現(xiàn)象。連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)被截斷時，就可以看到類似的效果。5 非周期信號的能量譜密度非周期信號的能量譜密度 n離散時間信號的能量定義n用譜特征 來表示能量 具有有限能量的離散時間非周期信號的parseval關(guān)系。 n 的能量譜密度n假定 是實數(shù)2( )xnex n ( )x xe*222*12121122( )( )( )() ()( )()(jnnnjnnnxxex n xnx nxedxxex nn edxdxd ( )xxs( )x n2()( )( )( )( ) ()( )jxxxxxxxxesxss， ( )x n*( )()( )()( )xxxxxx

27、），例4.2.4 確定序列的傅里葉變換和能量譜密度。 1020(/2)(1)211sin(/2)sin(/2)sin(/2)sin(/2)sin(/2)sin(1) ( ) ( ) ,0 ( ), ( )j ljlnnxj nnjleellllx nal aea lxaeaaea lxaxa 解：其他(/2), 01( )0, anlx n其他15al和常數(shù)幅度脈沖和周期方波的傅里葉變換之間的關(guān)系 (1)/212/1sin(/)0sin(/)(/2)(1)() (1) sin (/)sin (/)sin(/2)sin(/2)/0,2,( )(1),( )20,1,1( )2() j k lnn

28、njkn nkl nknannk njlkjk ln kln klal nknncx n eexaekknxnxkaen其他在處，計算可得 122 () 0,1, (2),1kxkncknn比較式（ ）和式（ ），可得：6 傅里葉變換與傅里葉變換與z 變換之間的關(guān)系變換之間的關(guān)系 21( )( ) :nnx zx n zroc rzrjzre( )|( )jnj nnz rex zx n re( )|( )( )jj nnz rex zxx n e( ) (1)nnx n r sin( ) cnnx nn 1,( )0,ccx7 倒譜倒譜 n假定 是一個穩(wěn)定序列，它的 變換為 ，定義 n.n在

29、語音信號處理中，(實)倒譜已用于從語音信號音調(diào)頻率中分離以及估計語音信號的成份。n實際中，復(fù)倒譜可以分離卷積后的信號。分離兩個卷積信號的過程稱為反卷積，用復(fù)倒譜實現(xiàn)這個過程的方法稱為同態(tài)反卷積。 ( )x n( )x z( )ln( )xczx zz倒譜倒譜 (b)在該收斂域內(nèi)， 可以用laurent 級數(shù)表示為n如果 可以表示為冪級數(shù),則 是穩(wěn)定的。如果復(fù)倒譜存在，則在單位圓上收斂，可得：)(zcx112( )ln( )( )( )ln( )nnxxxcnjczx zc n zc nx z zdz，其中 )(zcx)(ncx() ( )ln( )( )( )ln( )1 ( )ln( )2(

30、 )( )ln( )ln( )( )1( )ln( )( )211( )ln( ) ( )22j nxxnxj nxjj nxj njmcxc n ec nxc nxedxxexxjc nxjedcnxedce 其中是從的逆傅里葉變換nd8 在單位圓上有極點的信號的傅里葉變換在單位圓上有極點的信號的傅里葉變換 n如果單位圓在 的收斂域內(nèi)，則序列 的傅里葉變換可以通過計算它的 變換在單位圓上的值得到。否則，傅里葉變換不存在。n有些非周期序列，既不是絕對可和，又不是平方可和，因而它們的傅里葉變換不存在。n延伸傅里葉變換的表示很有用。通過允許信號譜中出現(xiàn)沖激，就可以將傅里葉變換延伸到那些既不能絕對可

31、和也不能平方可和的序列。 ( )x z( )x nz9 取樣定理的回顧取樣定理的回顧 n.n如果模擬信號的譜能夠從離散時間信號的譜中完全恢復(fù)，那么就沒有損失信息。n通過尋找模擬信號的譜和離散時間信號的譜之間的關(guān)系來研究取樣過程。n如果 是非周期且能量有限的信號 n從 取樣得到離散時間信號 ( )() ax nxntn )(txa22( )( ) ( )( )jftjftaaaaxfx t edtx txf edf)(txa)(nx21 221 2( )( ) ( )( )1( )( )( )2j njfnnnj njfnxx n ex fx n ex nxedx f edf或周期性取樣在離散時

32、間信號的頻率變量 和模擬信號的頻率變量 之間建立聯(lián)系： 22/2/2(1 2)2/2/(1 2)11112222(2/(1 2)1( )( )( )( )() ()( ) () ( )ssssssssssssfjnf fjnf ffaffkfjnf fjnf faakfkssassaskjnf fakffxedfxf edfxf edfxf edfkfkfxfffxfkfxf edf在頻率，內(nèi)的與在頻率(,)內(nèi)的一致，故有：1 2)22/222/22()2() () (/)() ( )( )ssssssssssssasffjnf fasfksaskfjnafkf fkksjn f kffjnf

33、 fxfkf edfxfkfedfx f ffxfkfx ffxfk fee fsf/sff f例如，假定一個帶限模擬信號的譜如圖 (a)所示。當(dāng) 時，譜為0。如果 ，則離散時間信號的譜 將如圖(b)所示，清晰可見。 1/ 2,()/ 2.ssffff 此時 沒有混疊離散時間信號的譜等于 比例因子內(nèi) 在基本頻率范圍或內(nèi)的模擬信號的譜2sfbbf )/(sffx2 , ()( ) 2ssassfffbxf xfff如果 則2sfb2sfb離散時間信號的譜包含了模擬信號譜的混疊頻率分量，最終使得無法從取樣中恢復(fù)出原始信號。 n當(dāng)不存在混疊時 1( ), 2( )0, 2sssasfffxffx f

34、ff2222()()( ) ( )()sssjfn fxfjftaasfsffxfxx n extxf edf222222222()2sin(/)()(/)()11( )()( ) () ( )ssssssssffjfn fjftjftaasffkfjf t n ffnansstt nttt ntffx txf edfx n eedfx nxedfnt( )(), 1/1/2 (2 )assx nxnttfbfb其中 假定in(/)sin 2( )(/)2st tbtg tt tbt用取樣信號重構(gòu)原始模擬信號的內(nèi)插公式 內(nèi)插函數(shù) n利用理想內(nèi)插公式重構(gòu)連續(xù)時間信號利用理想內(nèi)插公式重構(gòu)連續(xù)時間信

35、號 (1 )axt(2 )axt(4 )axt( )()aatktx txkt在計算得到的就是取樣值在所有其他時刻，可以通過內(nèi)插函數(shù)的時移形式的加權(quán)求和準(zhǔn)確得到 。 ( )ax t取樣定理取樣定理 n最高頻率(帶寬)為 的連續(xù)時間帶限信號，當(dāng)取樣率 時，可以從它的取樣信號惟一恢復(fù)出原始信號。n根據(jù)取樣定理和重構(gòu)公式, 從取樣恢復(fù)模擬信號需要無限個取樣。n僅關(guān)心從有限個取樣恢復(fù)有限時寬的信號。n如果取樣率太低，則出現(xiàn)混疊，該效果可以用模擬信號的頻率變量在頻率軸上多重折疊來描述。 bhz2ssffb滿足時域和頻域函數(shù)之間的關(guān)系 假定模擬信號是帶限的并且對其進行取樣的取樣率等于或者高于nyquist

36、率。 實際中，在取樣之前都要做抗混疊預(yù)濾波 由混疊所引起的失真可通過提高取樣率來有效地減輕 10 10 信號的頻域分類：帶寬的概念信號的頻域分類：帶寬的概念低頻信號: 信號的功率(或能量)譜密度集中在零頻率附近。 高頻信號 :如果信號功率(能量)譜密度集中在高頻。 中頻信號(或帶通信號):信號的功率（能量）譜密度集中在低頻和高頻之間很寬的范圍內(nèi)的某處。 n功率或能量集中分布的頻率范圍的定量表示被稱為信號的帶寬。例如，假定一個連續(xù)時間信號的功率(或能量譜密度)的 集中在頻率范圍 ，那么這個信號的 的帶寬就是 。n對于帶通信號，如果信號的帶寬與中頻相比很小，則信號就被稱為窄帶信號。反之，是寬帶信號

37、。n如果一個信號的譜在 的頻率范圍之外都為0，那么它是帶限信號。n.n沒有一個信號既是時限的，同時又是帶限的。進而，一個信號的時寬和頻寬之間存在互為互易的關(guān)系。 95%12fff95%21fffb0: ( )0 : ( )0 2 (): ( )0 : ( )0 ()pppx ttxttttx nnnx nnnnn為基周期性時限信號周期性時限信本周時限信號期為基號時信號本周期限11 一些自然信號的頻率范圍一些自然信號的頻率范圍 n一般地，為了從觀測信號提取信息，要對信號作頻率分析。n為了測量參數(shù)或者提取其他類型的信息，在信號處理時，我們必須大致知道獲取信號的頻率范圍。 12 物理和數(shù)學(xué)上的二重性

38、物理和數(shù)學(xué)上的二重性 n已經(jīng)介紹過的頻率分析工具有： n時域的兩種特征時域的兩種特征( (時間變量是連續(xù)還是離散以及時間變量是連續(xù)還是離散以及信號是周期還是非周期信號是周期還是非周期) )決定了信號頻譜的類型決定了信號頻譜的類型n連續(xù)信號具有非周期譜連續(xù)信號具有非周期譜n離散時間信號具有周期譜離散時間信號具有周期譜n周期信號具有離散譜周期信號具有離散譜n能量有限的非周期信號具有連續(xù)譜能量有限的非周期信號具有連續(xù)譜 n在一個域的具有周期為在一個域的具有周期為 的周期性自然地意味著在另一的周期性自然地意味著在另一個域中具有間隔為個域中具有間隔為 的離散性，反之亦然。的離散性，反之亦然。n. .n.

39、 . a1/a4.3 離散時間信號傅里葉變換的性質(zhì)n1 1 傅里葉變換的對稱性傅里葉變換的對稱性n2 2 傅里葉變換定理和性質(zhì)傅里葉變換定理和性質(zhì)1 1 傅里葉變換的對稱性傅里葉變換的對稱性n變換(分析式)和逆變換(綜合式)n對稱性分析可以簡化傅里葉變換和傅里葉逆變換公式.n 1212( ) ( )( )( )( )( )j nnj nxf x nx n ex nfxxed( )( )fx nx ( )( )( )( )( )( )ririx nxnjxnxxjxcossinjej22()( )cos( )sin()( )sin( )cos1( )()cos()sin21( )()sin()c

40、os2rrixirixrriirixxnnxnnxxnnxnnxnxnxn dxnxnxn d n實信號實信號 ( )( )cos( )( ) ( ) ( )0( )( )sinrnriinxx nnxnx nx nxnxx nn 如果是實信號()( )cos()cossin()si( )( )(n()()(rrriiixxxxnnnnxxjxx 譜具有hermitian對稱性。 221( )( )( )( )( )tan( )riirxxxxxx( )() () ()( ) () xxxx 偶奇01( )( )cos( )sinrix nxnxn dn實偶信號實偶信號n實奇信號實奇信號 01

41、1( )( )cos( )( )( )0 ( )( )sin()( )( )( )cos () ( )sin ()( )(0)2( )cos ( )( )cos0 ( ) rrnriinrnixx nnx nx nx nxx nnxnx nx nnx nxnxxxnndxnnxx n 偶奇偶)如果是實偶信號實偶信號的譜是實偶函數(shù) 0( )0 ( )2( )sin1( )( )sinrinixxx nnx nxnd 實奇信號的譜是純虛值的，而且是頻率變量的奇函數(shù)。 n純虛信號純虛信號 0( )( )sin ( )0( )( )( )( )cos 1( )( )sin( )cosrinriiini

42、rixxnnxnx njxnxxnnxnxnxn d（奇）（偶）110( )2( )sin () ( )01( )( )sin () ( )riniiirxx nnxx nxn dxnx n 奇如果10( )0( )(0)2( )cos1( )( )cos () ( ) riiiiniiixxxx nnx nxn dxnx n如果*12*12 ( )( )( )( )() ( )(: )( )( )()eeeriooorix nxnjxnx nxnx nxnjxnx nxn定義( ):( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )rieoeorriieox nx nxnjxnxnx

43、nj xnxnx nxn則任一復(fù)值信號可分解為( )() ()( )eeoox nxnxnx n 傅里葉變換對稱性總結(jié)傅里葉變換對稱性總結(jié) 2221(1)(1)1coscos1 2 cos ( ) 1cos ( ) 12 cossin ( )12 cosrijjjaeaeaeajaaaxaxaaaxaa 解:1() 111(),(),()()jriixaaexxxx例4.3.1 的和221211( )( )( ) 12 cos( )( )tan( )sin tan1cosriirxxxaaxxxaa 2 傅里葉變換定理和性質(zhì)傅里葉變換定理和性質(zhì) n線性性線性性n時移性時移性 n時域反轉(zhuǎn)時域反轉(zhuǎn)

44、n卷積定理卷積定理n相關(guān)定理相關(guān)定理 nwiener-khintchine定理定理n頻移性頻移性n調(diào)制定理調(diào)制定理nparseval定理定理n兩個序列的乘積兩個序列的乘積(加窗定理加窗定理)n周期卷積n頻域微分頻域微分線性性線性性n傅里葉變換是對信號的一種運算，它是一個線傅里葉變換是對信號的一種運算，它是一個線性變換性變換. .n若若則有則有1 1221122( )( )( )( )fa x na x na xa x 1122( )( ) ( )( )ffx nxx nx 時移性時移性n若若則有則有()( )fj kx nkex ( )( )fx nx 時域反轉(zhuǎn)時域反轉(zhuǎn)n若若則有則有( )(

45、)fx nx ()()fxnx 卷積定理卷積定理n若若則有則有1212( )( )( )( )( )( )fx nx nx nxxx 1122( )( ) ( )( )ffx nxx nx 例例4.3.2 確定信號的傅里葉變換。 1 ()( )( )sin(1/2)( )( )(1cos)sin(2)( )sin(1/2)( ) sin(2)0,( )0( ),( )0mrnxnx nx nmxxanaxmxaxxx解：因，所以，是實偶信號，可得：因是實函數(shù)，所以，幅度譜和相位譜分別為：當(dāng)時當(dāng)時,( )0,amnmx n其他124.3.4 ( )( )1, 1, 1 x nx n例求 的卷積1122122()(0)2( )cos ()0()()12cos()()()(12cos) 34cos2cos2 32()()rinjjjjxxx nnxxxxxxeeee解12( )( )*( )1, 2, 3, 2, 1x nx nx n卷積性質(zhì)的圖形解釋卷積性質(zhì)的圖形解釋 相關(guān)定理相關(guān)定理 若若則有則有1 21 212122112( )( ) ( )() ( )() ( )( )( k nj nnj nnkj nknknjxkxjx xsrx kn en ex k x kn ex kx knxexexk 12)kj k