高等數(shù)學(xué)：第6節(jié) 高階線性微分方程（新）

1、1高階線性微分方程7.6 一、二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)2 二階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)()()(xfyxQdxdyxPdxyd22時(shí)，當(dāng)0)(xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n 階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 一、二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)一、二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)( )0f x 當(dāng)時(shí)，3 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)12.CC其中，、也是方為任程的解，意常數(shù)12( )( )y xyx若函數(shù)，是二階線性

2、齊次方程定定理理1 1( )( )0yP x yQ x y的兩個(gè)解，則1122( )( )yC y xC yx412( ),( ),( )ny xyxyIxn設(shè)是定義在區(qū)間 上的 個(gè)函數(shù).1122( )( )( )0nnk y xk yxk yx則稱這 n 個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)線性相關(guān) ， 否則稱為線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). 函數(shù)組的線性相關(guān)性函數(shù)組的線性相關(guān)性12,0,nk kkxI若存在不全為 的常數(shù)使得當(dāng)時(shí)，有5如如 ，xx22sin,cos,1在 ( , ) 上都有0sincos122xx故，在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān)線性相關(guān) ;又如又如 ,12xx若在某區(qū)間 I 上21230.kk

3、 xk x根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn)可知：2.1, ,x xI故，在任何間 上都線性無(wú)關(guān)區(qū)123,0.k kk 必需全為612( )( )y xyx函數(shù)和線性相關(guān)12112200.kkk yk yxI 不全為 的和使，1221( ).( )y xkxIyxk ，10k (無(wú)妨設(shè))1122( )( )( )( ).y xy xyxyx函數(shù)和線性無(wú)關(guān)常數(shù)1212( )( )( )( )0y xyxy xyx若中有一個(gè)恒為 ，則 必線相關(guān).和和性注注釋釋： I 區(qū)間 上兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的判別方法7121122( )( )( )( )0( )( ).y xyxyP x yQ x yyC y xC

4、 yx若和是二階線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，的則是通解定定理理2 20yy如，方程有特解12cossinyxyx，21tanyxy且常數(shù)12cossinyCxCx則該方程的通解為：812( )(1)11122( ),( ),( )( )( )0( )( )( )nnnnnny xyxyxyP x yP x yyC y xxnC yxnC y設(shè)是 階線性非齊次方程的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則是該方程的通解.推推論論92221214(42)0(0)0(0)2.xxyxyxyyeyxeyy例已知有兩個(gè)特解，求該方程滿足，的特解:解解2212xxyeyxe，是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 方程的通解2212

5、xxyC eC xe(0)0(0)2yy又，22xyxe得特解：10)()(xQyxPy其通解為yxdxPe)(CxdexQxdxP)()(xdxPe)(xdexQxdxP)()(xdxPeC)(Y線性齊次方程通解y線性非齊次方程特解二、二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)回顧：一階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)11*( )( )( )( ).( )yxyP x yQ x yf xY x設(shè)是二階線性非齊次方程的一個(gè)特解，是相應(yīng)的線性齊次方程的通解定定理理3 3( ).*( )yY xyx則是線性非齊次方程的通解*yyxyx如，方程有特解，xCxCYsincos210yy對(duì)應(yīng)的線性齊

6、次方程有通解12cossinyCxCxx故，該方程的通解為：1212( )(1)1( ),( ),( )( )( )0nnnny xyxyxyP x yP x yn設(shè)是對(duì)應(yīng)線性齊次方程 的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則線性非齊次方程的通解為：)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn( )(1)1( )( )( )*( ).nnnyP x yPyf xnxyx的一個(gè)特給定 階線性非方程解齊次定定理理 4 4)(xY)(* xy13*( )kyx設(shè)分別是二階線性微分方程定定理理5 5( )( )( )(1,2, )kyP x yQ x yfxkn*1nkkyy的特解，則是二階線性微分方程的特

7、解.)()()(1xfyxQyxPynkk 14212211( )( )( )(1)1)(2( )( )( )( )( )( )( )( )0yyxyxyP x yQ x yxf xyP x yQyxyyxyxx設(shè)是二階線性非齊次方程的兩個(gè)特解，則是相應(yīng)的線性齊次方程的特解.是的特解，其中，0和其1.推推論論15.3)0(1)0(,)()()(22321的特解，求此方程滿足初始條件的有三個(gè)解，若方程例 yyeyeyxyxfyxQyxPyxx解解:程的兩個(gè)特解是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方與1312yyyy常數(shù)xexeyyyyxx21312.1312線性無(wú)關(guān)與故，yyyy.)()(221xxeCxeCyxx原方程通解為：2, 121CC代入初始條件得：xeyx22特解為：16123123,( )( )( ),y yyyP x yQ x yf xC C例設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)都是二階線性非齊次方程的解，為任意的常數(shù)，則該方程的通解是( )112231122123(1);(2)();C yC yyC yC yCCy1122123(3)(1);C yC yCCy1122123(4)(1);C yC yCCy(4)正確提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次