13度量空間的可分性與完備性

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案1.3度量空間的可分性與完備性在實數(shù)空間R中，有理數(shù)處處稠密，且全體有理數(shù)是可列的，我們稱此性質(zhì)為實數(shù)空間R的可分性同時，實數(shù)空間R還具有完備性，即R中任何基本列必收斂于某實數(shù)現(xiàn)在我們將這些概念推廣到一般度量空間.度量空間的可分性定義設(shè)X是度量空間，A,B X，如果B中任意點x. B的任何鄰域O(x,j.)內(nèi)都 含有A的點，則稱A在B中稠密.若A B，通常稱A是B的稠密子集.注1 : A在B中稠密并不意味著有 A二B .例如有理數(shù)在無理數(shù)中稠密；有理數(shù)也在實數(shù) 中稠密.無理數(shù)在有理數(shù)中是稠密的，無理數(shù)在實數(shù)中也是稠密的，說明任何兩個不相等的實數(shù)之間必有無限多個有理數(shù)也有無限多個無理

2、數(shù).定理設(shè)(X,d)是度量空間，下列命題等價：(1) A在B中稠密；(2) -x B , XnA，使得 limd(Xn，x)=O ；n(3) B A (其中ArAlJA ； A為A的閉包，A為A的導(dǎo)集(聚點集)；(4) 任取0，有B O(x,、J .即由以A中每一點為中心為半徑的開球組成的集合覆蓋B .證明按照稠密、閉包及聚點等相關(guān)定義易得.定理稠密集的傳遞性設(shè)X是度量空間，代B,C X，若A在B中稠密，B在C中稠密，則A在C中稠密.證明 由定理1.1知B二A ； C二B，而B是包含B的最小閉集，所以 B二B二A，于是 有C A ,即A在C中稠密.口注2：利用維爾特拉斯定理可證得定理(Weie

3、rstrass 多項式逼近定理) 閉區(qū)間a,b上的每一個連續(xù)函數(shù)都可以表示成某一多項式序列的一致收斂極限.(1) 多項式函數(shù)集Pa, b在連續(xù)函數(shù)空間Ca,b中稠密.參考其它資料可知：(2) 連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在有界可測函數(shù)集 Ba,b中稠密.(3) 有界可測函數(shù)集 Ba,b在p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1豈p ：:；). 利用稠密集的傳遞性 定理可得：(4) 連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1 _ p ”：心).因此有 Pa, b Ca,b Ba,bLpa, b.定義設(shè)X是度量空間，A二X，如果存在點列xn二A，且xn在A中稠密， 則稱A是可分點集(或稱可

4、析點集).當(dāng)X本身是可分點集時，稱X是可分的度量空間.注3: X是可分的度量空間是指在X中存在一個稠密的可列子集.例歐氏空間Rn是可分的.坐標(biāo)為有理數(shù)的點組成的子集構(gòu)成Rn的一個可列稠密子集.證明 設(shè)Qn =(1,2,川十)|Q,i =1,2,|H,n為R中的有理數(shù)點集，顯然Qn是可數(shù)集，下 證Qn在Rn中稠密.對于Rn中任意一點x =：區(qū)公2，|,人)，尋找Qn中的點列rk，其中rk =(譏|,)，使得4x(k_. -) 由于有理數(shù)在實數(shù)中稠密，所以對于每一個實數(shù)x ( i =12川，n)，存在有理數(shù)列一；x (k； ：).于是得到Qn中的點列rk，其中rk, k 二1,2川I.現(xiàn)證匚 x(

5、k . 一 ； 0，由 rk _ x(k-. )知，Ki N，當(dāng) k . Ki 時，有I r -x - , i =1,2，i|I,n取 K =maxK1,K2,|,Kn，當(dāng) k>K 時，對于 i =1,2,|, n，都有 rk x £上，因此ind (rk, x)JrikxI2即rk> x(kr )，從而知Qn在Rn中稠密.口例連續(xù)函數(shù)空間 Ca,b是可分的.具有有理系數(shù)的多項式的全體P°a,b在Ca,b中稠密，而Poa,b是可列集.證明 顯然Ra,b是可列集.-x(t)Ca,b，由Weierstrass 多項式逼近定理知，x(t)可表示成一致收斂的多項式的極限

6、，即-；0，存在(實系數(shù))多項式P (t)，使得d(x, p)=maf|x (t) p；(t)|：2另外，由有理數(shù)在實數(shù)中的稠密性可知存在有理數(shù)多項式p0(tr P0a,b，使得zd(p ；, P。)=max| p (t) p0(t)卜：2因此,d(x, p°)乞d(x, p ) d(p ；, p°) ： ； , 即卩 p°(t) O(x,;)，在 Ca,b中任意點 x(t)的任意鄰域 內(nèi)必有FOa,b中的點，按照定義知P°a,b在Ca,b中稠密.口例次幕可積函數(shù)空間Lpa,b是可分的.證明 由于P,a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密

7、，便可知可數(shù)集PJa,b在Lpa,b中稠密.口例次幕可和的數(shù)列空間lp是可分的.證明 取Eo二(“2,111,0,川,0,山)山-Q, n N，顯然Eo等價于l Qn，可知E?？蓴?shù)，n=t下面證Eo在lp中稠密.qQ-X =(為公2川l,Xn,l|l) lp，有 7 x p ：-:，因此一；0 , N N，當(dāng) n N 時，1:.PXi|p 巧n出12又因Q在R中稠密，對每個人(1 叮乞N )，存在r三Q，使得P|X7 |PV；N，(i =1,2,3，lll，N)于是得NPv I x -r lpi 22令 x(r1,r2j|,rN,0JH，0JlO E。，則N:丄 .P .P 丄d(xg,x)

8、=('jx-ri |P 工 區(qū) |P) P ： () P -；i ±i -N +22因此Eo在lP中稠密.口例設(shè)X =0,1，則離散度量空間(X,do)是不可分的.證明 假設(shè)(X,d。)是可分的，則必有可列子集燈 X在X中稠密.又知X不是可列集1所以存在X X , x* -'xn.?。?-，則有* 1 * do(X,X ) £ >=xI.2j即O(X*,Q中不含Xn中的點，與Xn在X中稠密相矛盾口思考題：離散度量空間(X,d。)可分的充要條件為 X是可列集.注意：十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)可轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)：乘2取整法，即乘以2取整，順序排列，例如(0.625) 10

9、=(0.101) 20.625 x 2=1.25 取 1; 0.25 x 2=0.50 取 0; 0.5x2=1.00 取 1.二進(jìn)制小數(shù)可轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制小數(shù)，小數(shù)點后第一位為1則加上0.5(即1/2)，第二位為1n 1則加上0.25(1/4)，第三位為1則加上0.125(1/8)以此類推.即(0.淋2川人)2 =- 3。，例 2如111(0.101) 2= =(101)10 =(0.625)10 .2 48因此0,1與子集A=X=(X!,X2 , |,Xn,|)|Xn =0或1對等，由0,1不可數(shù)知A不可列.例有界數(shù)列空間丨：:是不可分的.=x =(為，X2,IH, Xn,l|l)=( x )

10、 I X為有界數(shù)列，對于 x=(Xi) , y=(y).，距離定義為 d(x,y)二sup | X -yi | .i >證明 考慮l '-中的子集 A =x =(X1 ,X2 ,|l|,Xn ,川)斗=0或1，則當(dāng)X, y A, x = y時，有 d(x,y) =1 因為0,1中每一個實數(shù)可用二進(jìn)制表示，所以A與0,1 一一對應(yīng)，故 A不可列.假設(shè)丨：:可分，即存在一個可列稠密子集 A0，以A)中每一點為心，以1為半徑作開球，所3有這樣的開球覆蓋 丨-，也覆蓋A 因A)可列，而A不可列，則必有某開球內(nèi)含有 A的不同的 點，設(shè)x與y是這樣的點，此開球中心為 x0，于是1 1 21

11、=d(x,y) jd(x,xo) d(xo,y):3 33矛盾，因此丨：:不可分.口度量空間的完備性實數(shù)空間R中任何基本列(Cauchy列)必收斂即基本列和收斂列在R中是等價的，現(xiàn)在將這些概念推廣到一般的度量空間.定義基本列設(shè)Xn是度量空間X中的一個點列，若對任意；0 ,存在N，當(dāng)m, n . N時，有d(Xm,Xn);則稱Xn是X中的一個 基本列(或Cauchy 列).定理(基本列的性質(zhì))設(shè)(X,d)是度量空間，則(1) 如果點列Xn收斂，貝U Xn是基本列；(2) 如果點列Xn是基本列，則Xn有界；(3) 若基本列含有一收斂子列，則該基本列收斂，且收斂到該子列的極限點.證明(1)設(shè) Xn二

12、 X , X X，且 Xn r X .則- ； 0 , TN N ,當(dāng) n N 時，d(Xn, x)：2 從而n , m . N時，d(Xn,Xm)切(人兇 d(X,Xj：2 2即得Xn是基本列.(2) 設(shè)Xn為一基本列，則對；T，存在N，當(dāng)n N時，有d(xN 1 x )：:;- 1,記M =maxd (x ,x 十),d X ,X+ DJ d X X1 ),1,那么對任意的 m,n，均有d(Xn,Xm)空 d(Xn,XN 1) d(Xm,XN 1)：M M =2M ,即Xn有界.(3) 設(shè)Xn為一基本列，且Xj是Xn的收斂子列，Xnk > X( ：).于是，-； 0, N ,1時，址

13、曲葛；N2 N，當(dāng)k N2時，嘰小石.取 N = maxN! g ,則當(dāng)n N , k N時，nk -k N，從而有d(Xn, X)玄d(Xn,Xnk) d(Xnk, X)：；二；，故 xn r x( nr ) .口注4:上述定理表明收斂列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收斂列嗎?例設(shè)X =(0,1) , -x, r X，定義d(x,y)二x-y，那么度量空間(X,d)的點列1Xn= 是X的基本列，卻不是 X的收斂列.n 1證明 對于任意的；.0,存在N. N，使得N丄，那么對于 m=N中a,b N ，有11a _bN +b 十1N +a +1(N +a+1)(N +b+1)d(X

14、n，Xm)二人Xm 二max a, ba +b：(N a 1)(N b 1) ： Na Nb N1即得 Xn是基本列顯然lim0 y X，故Xn不是X的收斂列.Tn +1,當(dāng)n, m N時有就可以判斷它是1或者利用焉 =丄是R上的基本列，可知-；.0 , N N于是可知 Xn二n +1'也是X上的基本列.口U+1J如果一個空間中的基本列都收斂，那么在此空間中不必找出序列的極限,否收斂，哪一類度量空間具有此良好性質(zhì)呢？是完備的度量空間.定義完備性如果度量空間X中的任何基本列都在 X中收斂，則稱X是完備的度量空間 例維歐氏空間Rn是完備的度量空間.證明 由Rn中的點列收斂對應(yīng)于點的各坐標(biāo)收

15、斂，以及R的完備性易得.口例連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間.(距離的定義：d(f,g)=max| f(t)-g(t)i)證明設(shè)Xn是Ca,b中的基本列，即任給；0,存在N，當(dāng)m,n N時，d(Xm,Xn)：；即max Xm(t) _Xn(t) I <故對所有的t a,b, Xm(t) -Xn(t):;，由一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則，知存在連續(xù)函數(shù)x(t)，使Xn(t)在a,b上一致收斂于 X(t)，即 d(Xm,x) > 0(n； ；：),且 x Ca,b.因此 Ca,b完備口例 設(shè) X =C0,1 ,f(t),g(t)EX，定義 4(f ,g) =(| f(t)g(t)0t

16、，那么(X,dJ 不是完備的度量空間.(注意到例結(jié)論(X,d)完備)證明設(shè)0fn(t) =2n(t -1)210 <t <2+_t _1精彩文檔fn(t) - C0,1的圖形如圖所示.顯然fn(t)C0,1 , n =1,2,3,川.因為ddfm,fn)是下面右圖中的三角形面積，所以71N ，當(dāng)m, n N時，有S；0|fm(t)-fn(t)|dXfn(t) C0,1圖像及有關(guān)積分示意圖于是fn是X的基本列.下面證 fn在X中不收斂.若存在f(t X，使得d1( fn, f 0( n r ).111 -I11由于 ddfn,f) =fn(t) f (t)|dt 二 01 f(t)|

17、dt ； n| fn(t) f (t)|dt ； ； |1 一 f (t) | dt ,顯然上式右邊的三個積分均非負(fù)，因此d!(fn，f).0時，每個積分均趨于零.推得f (t)t 0,另(1,1可見f(t)不連續(xù)，故 fn在X中不收斂，即C0,1在距離a下不完備.口表常用空間的可分性與完備性n維歐氏空間(Rn,d)d(x,y)電x -y)2VV離散度量空間(X,d°)X可數(shù)d° (x, y)：0當(dāng)x = y時VVX不可數(shù)1當(dāng)xy時XV連續(xù)函數(shù)空間Ca,bd(f,g)二雋If(t)-g(t)lVVd1(f,g)二= (|f (x)g(x) dxVX有界數(shù)列空間嚴(yán)d(x, y

18、) =sup| x yi |i>XVp次幕可和的數(shù)列空間l Pdp(x,y)1(閃=£ |x-y |p | jVVp次幕可積函數(shù)空間(Lpa,b,d)d(f,g)=(1L|f(t)-g(t) |p 亦VV度量空間距離可分性完備性由于有理數(shù)系數(shù)的多項式函數(shù)集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知閉區(qū)間a,b上多項式函數(shù)集Pa,b、連續(xù)函數(shù)集Ca,b、有界可測函數(shù)集Ba,b、p次幕可積函數(shù)集 Lpa,b均是可分的.前面的例子說明n維歐氏空間Rn以及p 次幕可和的數(shù)列空間lp也是可分空間，而有界數(shù)列空間丨：:和不可數(shù)集X對應(yīng)的離散度

19、量空間(X,d°)是不可分的.從上面的例子及證明可知，n維歐氏空間Rn是完備的度量空間，但是按照歐氏距離X =(0,1)卻不是完備的；連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間，但是在積分定義的距離1di(f,g)|f(t)g(t)dt下，C0,1卻不完備由于離散度量空間中的任何一個基本列只是同一個元素的無限重復(fù)組成的點列，所以它是完備的.我們還可以證明p次幕可和的數(shù)列空間lp是完備的度量空間，p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b(p _1)是完備的度量空間，有界數(shù)列空間的完 備性.通常所涉及到的空間可分性與完備性如表所示.在度量空間中也有類似于表示實數(shù)完備性的區(qū)間套定理，就是下述的閉球套定理.定

20、理(閉球套定理)設(shè)(X,d)是完備的度量空間，& =O(xn,、n)是一套閉球:B1 二 B2 二| 二 Bn 二| qQ如果球的半徑,n . 0(nr -')，那么存在唯一的點 x|Bn 證明 (1)球心組成的點列Xn為X的基本列.當(dāng)m n時，有Xm BmBn( =O(Xn,、：n)，可得d(Xm,Xn) Jn (2.4)八0 ,取N，當(dāng)nN時，使得、；n ：；,于是當(dāng)m,n . N時，有d(Xm X)_、：n ：；,所以 Xn為X的基本列.(2) x的存在性.由于(X,d)是完備的度量空間，所以存在點X，X，使得 艸_人=x .令(2.4) 式中的mr，,可得d(x,人)蘭

21、卷即知Bn, n =1,2,3,川，因此xn三qQ(3) x的唯一性設(shè)還存在y X，滿足y |Bn，那么對于任意的nN，有x,yB.,n吐從而 d(x,y)二d(x,xn) d(xn,y) ：S2、：n r 0 (n“ -')，于是 x=y .口注4:完備度量空間的另一種刻畫： 設(shè)(X,d)是一度量空間，那么X是完備的當(dāng)且僅當(dāng)對于X中的任何一套閉球：x BnnWB1 _占2二III二Bn二III，其中Bn =6(Xn,、n)，當(dāng)半徑5 ；心)，必存在唯一的點大家知道lim(1)n =e，可見有理數(shù)空間是不完備的，但添加一些點以后得到的實數(shù)空間是完備的，而完備的實數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間不可比擬的好的性質(zhì)與廣泛的應(yīng)用.對于一般的度量空間也是一樣，完備性在許多方面起著重要作用.那么是否對于任一不完備的度量空間都可以添加一些點使之成為完備的度量空間呢