電磁場(chǎng)與電磁波_第四版_第一章

1、第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波1第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波2本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 常用正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系常用正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波31. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。：一個(gè)

2、只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線(xiàn)段來(lái)表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線(xiàn)段來(lái)表示 注意：注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波4zzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcosco

3、scos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示zAxAAyAzxy第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波5（1）矢量的加減法）矢量的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn), ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直

4、角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波6（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/ A BAB第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波7（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzy

5、xBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫(xiě)成行列式形式為寫(xiě)成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波8（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波9 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線(xiàn)的交

6、點(diǎn)來(lái)三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線(xiàn)的交點(diǎn)來(lái)確定。確定。1.21.2 三種常用的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系三種常用的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系 在電磁場(chǎng)與波理論中，在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系為：直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。 三條正交曲線(xiàn)組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱(chēng)為三條正交曲線(xiàn)組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱(chēng)為正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系；三條正交曲線(xiàn)稱(chēng)為；三條正交曲線(xiàn)稱(chēng)為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱(chēng)；描述坐標(biāo)軸的量稱(chēng)為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波101、直角坐標(biāo)系

7、、直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線(xiàn)元矢量線(xiàn)元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee, 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第

8、1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波112、圓柱面坐標(biāo)系、圓柱面坐標(biāo)系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線(xiàn)元矢量線(xiàn)元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波12ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3、球面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線(xiàn)元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線(xiàn)元、面元和體積元, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量

9、坐標(biāo)單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線(xiàn)元矢量線(xiàn)元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波134、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ereeecossincossinsincos0直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)

10、系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 oxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 xeyeeezeeree第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波141.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度q 如果物理量是標(biāo)量，稱(chēng)該場(chǎng)為如果物理量是標(biāo)量，稱(chēng)該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。 例如例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。q 如果物理量是矢量，稱(chēng)該場(chǎng)為如果物理量是矢量，稱(chēng)該場(chǎng)為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)。 例如例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。q 如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱(chēng)為如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱(chēng)為靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)，反之

11、為，反之為時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 、),(tzyxu),(tzyxF 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)在該區(qū)域上定義了一個(gè)該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)、),(zyxu),(zyxF靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波15標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值線(xiàn)標(biāo)量場(chǎng)的等值線(xiàn)( (面面) )等值面等值

12、面: : 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿(mǎn)場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿(mǎn)場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波162. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場(chǎng)

13、沿某方向的空間變化率：方向性導(dǎo)數(shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。coscoscoslim|00zuyuxulululM概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減小；方向減?。?l0ul u(M)沿沿 方向無(wú)變化。方向無(wú)變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點(diǎn)特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)。方向有關(guān)。問(wèn)題問(wèn)題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁

14、場(chǎng)與電磁波17梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：zueueueuz1圓柱面坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系 ureurerueursin11球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系z(mì)ueyuexueuzyx直角面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系 3、標(biāo)量場(chǎng)的梯度（、標(biāo)量場(chǎng)的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標(biāo)量：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuel第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波18標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化

15、最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波19 例例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：試求

16、： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；位矢量； (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量 el= ex cos60 ey cos45 ez cos60 方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。 解解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為點(diǎn)的梯度為(1,1,1)(22)22xyzxyzxyeeeeee22()()xyzPPxyzyxze+e+e第1章 矢量分析

17、電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波20表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)Х较虻姆较驅(qū)?shù)為數(shù)為211(22) ()222122lxyzxyzeexeyeeeelxy 對(duì)于給定的對(duì)于給定的P P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為(1,1,1)1221222Pxyl第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波21而該點(diǎn)的梯度值為而該點(diǎn)的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )

18、( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl 第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波221.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 1、矢量線(xiàn)、矢量線(xiàn) 意義意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量線(xiàn)方程矢量線(xiàn)方程：概念概念：矢量線(xiàn)是這樣的曲線(xiàn)，其上每一矢量線(xiàn)是這樣的曲線(xiàn)，其上每一 點(diǎn)的切線(xiàn)方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)點(diǎn)的切線(xiàn)方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。

19、的方向。矢量線(xiàn)矢量線(xiàn)oM Fdrrrdr第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波232、矢量場(chǎng)的通量、矢量場(chǎng)的通量 問(wèn)題問(wèn)題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大小？如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSddnF e S穿過(guò)面積元穿過(guò)面積元 的通量；的通量； 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：ddnSSFSF

20、 eS),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波240通過(guò)閉合曲面有通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線(xiàn)穿出凈的矢量線(xiàn)穿出0有凈的矢有凈的矢量線(xiàn)進(jìn)入量線(xiàn)進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線(xiàn)相等面的矢量線(xiàn)相等矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義通量的物理意義第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波253、矢量場(chǎng)的散度、矢量場(chǎng)的散度0(

21、, , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱(chēng)為矢量場(chǎng)的稱(chēng)為矢量場(chǎng)的散度散度。 散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。F第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波26柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系)(sin1)(sin

22、sin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系z(mì)FyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波274、散度定理、散度定理VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即

23、散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波281.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類(lèi)不同于通量不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類(lèi)不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線(xiàn)是閉合的，它對(duì)于任何閉源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線(xiàn)是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間

24、中閉合路徑的積分不為零。零。 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線(xiàn)的積分與通過(guò)閉合曲線(xiàn)所圍曲面的電如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線(xiàn)的積分與通過(guò)閉合曲線(xiàn)所圍曲面的電流成正比，即：流成正比，即：SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波29q 如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱(chēng)該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱(chēng)該矢量場(chǎng)為無(wú)無(wú)旋場(chǎng)旋場(chǎng)，又稱(chēng)為，又稱(chēng)為保守場(chǎng)保守場(chǎng)。q 如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線(xiàn)的環(huán)流不為零，稱(chēng)該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線(xiàn)的環(huán)流不為零，稱(chēng)該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)有旋矢量場(chǎng)

25、，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱(chēng)為，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱(chēng)為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。磁場(chǎng)的旋渦源。ClzyxFd),(環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線(xiàn)矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線(xiàn)C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線(xiàn)的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線(xiàn)C 的的線(xiàn)積分，即線(xiàn)積分，即第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波30zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的計(jì)算公式旋度的計(jì)算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系2、矢量場(chǎng)的旋度、矢量

26、場(chǎng)的旋度（ ） F 第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波31旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：0()()()()()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波32SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是閉合曲線(xiàn)積定理是閉合曲線(xiàn)積分與曲面積分之間的一個(gè)變換分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消

27、從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線(xiàn)的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線(xiàn)的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線(xiàn)所圍的曲面的通量，即流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線(xiàn)所圍的曲面的通量，即第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波331、矢量場(chǎng)的源、矢量場(chǎng)的源散度源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；場(chǎng)在該點(diǎn)的散度； 旋度源旋

28、度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過(guò)一曲面：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過(guò)一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波342、矢量場(chǎng)按源的分類(lèi)、矢量場(chǎng)按源的分類(lèi)（1）無(wú)旋場(chǎng)）無(wú)旋場(chǎng)0dClF性質(zhì)性質(zhì)：，線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。，線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，0F無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)例如：靜電場(chǎng)0EEuF()0Fu 第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波35（2）無(wú)散場(chǎng)）無(wú)散場(chǎng) 僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)，即，即性質(zhì)性質(zhì)：0dSSF0 F無(wú)散場(chǎng)可