浙江專(zhuān)用高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案1014

1、 - 1 - 第第 3 3 講講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 最新考綱 1.能畫(huà)出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0，2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間2，2內(nèi)的單調(diào)性. 知 識(shí) 梳 理 1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖 (1)正弦函數(shù)ysin x，x0，2的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0). (2)余弦函數(shù)ycos x，x0，2的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1). 2.正弦

2、、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中kz z) 函數(shù) ysin x ycos x ytan x 圖象 定義域 r r r r x|xr r，且x k2 值域 1，1 1，1 r r 周期性 2 2 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 遞增區(qū)間 2k2，2k2 2k，2k k2，k2 遞減區(qū)間 2k2，2k32 2k，2k 無(wú) 對(duì)稱(chēng)中心 (k，0) k2，0 k2，0 對(duì)稱(chēng)軸方程 xk2 xk 無(wú) 診 斷 自 測(cè) - 2 - 1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)由 sin623sin 6知，23是正弦函數(shù)ysin x(xr r)的一個(gè)周期.( ) (2)余弦函數(shù)ycos x的對(duì)稱(chēng)軸是y軸.(

3、 ) (3)正切函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù).( ) (4)已知yksin x1，xr r，則y的最大值為k1.( ) (5)ysin|x|是偶函數(shù).( ) 解析 (1)函數(shù)ysin x的周期是 2k(kz z). (2)余弦函數(shù)ycos x的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)窮多條，y軸只是其中的一條. (3)正切函數(shù)ytan x在每一個(gè)區(qū)間k2，k2(kz z)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不是增函數(shù). (4)當(dāng)k0 時(shí)，ymaxk1；當(dāng)k0，xr r)，最小正周期t，則實(shí)數(shù)_，函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)，單調(diào)遞增區(qū)間是_. 解析 由t2，2，f(x)2sin2x6，令 2sin2x60，

4、得 2x6k(kz z)，xk212，對(duì)稱(chēng)中心為k212，0 (kz z)，由 2k22x62k2(kz z)，得k3xk6(kz z)，單調(diào)遞增區(qū)間為k3，k6(kz z). 答案 2 k212，0 (kz z) k3，k6(kz z) 考點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義域及簡(jiǎn)單的三角不等式 【例 1】 (1)函數(shù)f(x)2tan2x6的定義域是( ) a. x|x6 b. x|x12 c. x|xk6（kz z） d. x|xk26（kz z） - 4 - (2)不等式32cos x0 的解集是_. (3)函數(shù)f(x)64x2log2(2sin x1)的定義域是_. 解析 (1)由正切函數(shù)的定義域，得

5、 2x6k2， 即xk26(kz z)，故選 d. (2)由32cos x0，得 cos x32， 由余弦函數(shù)的圖象，得在一個(gè)周期，上， 不等式 cos x32的解集為 x|56x56 ， 故原不等式的解集為 x|562kx562k，kz z . (3)由題意，得64x20，2sin x10， 由得8x8，由得 sin x12，由正弦曲線得62kx562k(kz z). 所以不等式組的解集為116，76 6，56 136，8 . 答案 (1)d (2) x|562kx562k，kz z (3)116，76 6，56136，8 規(guī)律方法 (1)三角函數(shù)定義域的求法 以正切函數(shù)為例，應(yīng)用正切函數(shù)y

6、tan x的定義域求函數(shù)yatan(x)的定義域. 轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單的三角不等式求復(fù)雜函數(shù)的定義域. (2)簡(jiǎn)單三角不等式的解法 利用三角函數(shù)線求解. 利用三角函數(shù)的圖象求解. 【訓(xùn)練 1】 (1)函數(shù)ytan 2x的定義域是( ) a. x|xk4，kz z b. x|xk28，kz z c. x|xk8，kz z d. x|xk24，kz z (2)函數(shù)ysin xcos x的定義域?yàn)開(kāi). 解析 (1)由 2xk2，kz z，得xk24，kz z， - 5 - ytan 2x的定義域?yàn)?x|xk24，kz z . (2)法一 要使函數(shù)有意義，必須使 sin xcos x0.利用圖象，在同一坐

7、標(biāo)系中畫(huà)出0，2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示. 在0，2內(nèi)，滿足 sin xcos x的x為4，54，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是 2，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?x2k4x2k54，kz z . 法二 利用三角函數(shù)線，畫(huà)出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示). 所以定義域?yàn)?x2k4x2k54，kz z . 法三 sin xcos x 2sinx40，將x4視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)ysin x的圖象和性質(zhì)可知 2kx42k(kz z)， 解得 2k4x2k54(kz z). 所以定義域?yàn)?x2k4x2k54，kz z . 答案 (1)d (2) x2k4x2k54，kz z 考點(diǎn)

8、二 三角函數(shù)的值域 【例 2】 (1)函數(shù)y2sin x1，x76，136 的值域是( ) a.3，1 b.2，1 c.(3，1 d.(2，1 (2)(2016全國(guó)卷)函數(shù)f(x)cos 2x6cos2x的最大值為( ) a.4 b.5 c.6 d.7 (3)函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域?yàn)開(kāi). 解析 (1)由正弦曲線知ysin x在76，136 上，1sin x12，所以函數(shù)y2sin x1，x76，136 的值域是(2，1. (2)由f(x)cos 2x6cos2x12sin2x6sin x2sin x322112，所以當(dāng) sin x1 時(shí)函數(shù)的最大值為 5，故選 b

9、. - 6 - (3)設(shè)tsin xcos x， 則t2sin2xcos2x2sin xcos x， sin xcos x1t22，且2t2. yt22t1212(t1)21. 當(dāng)t1 時(shí)，ymax1； 當(dāng)t2時(shí)，ymin122. 函數(shù)的值域?yàn)?2 2，1 . 答案 (1)d (2)b (3)12 2，1 規(guī)律方法 求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)到以下幾種類(lèi)型： (1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yasin(x)c的形式，再求值域(最值)； (2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè) sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)； (3)形如yasin xc

10、os xb(sin xcos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin xcos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值). 【訓(xùn)練 2】 (1)(2017杭州調(diào)研)函數(shù)y2sin6x3(0 x9)的最大值與最小值之和為( ) a.23 b.0 c.1 d.13 (2)(2017金華檢測(cè))函數(shù)y2cos12x31 的最大值是_， 此時(shí)x的取值集合為_(kāi). 解析 (1)因?yàn)?0 x9，所以36x376， 所以 sin6x332，1 . 所以y3，2， 所以ymaxymin2 3.選 a. (2)ymax2(1)13， 此時(shí)，12x32k， - 7 - 即x4k83(kz z). 答案 (1)a (2)3 x

11、|x4k83，kz z 考點(diǎn)三 三角函數(shù)的性質(zhì)(多維探究) 命題角度一 三角函數(shù)的奇偶性與周期性 【例 31】 (1)(2017寧波調(diào)研)函數(shù)y2cos2x41 是( ) a.最小正周期為的奇函數(shù) b.最小正周期為的偶函數(shù) c.最小正周期為2的奇函數(shù) d.最小正周期為2的偶函數(shù) (2)(2017衡水中學(xué)金卷)設(shè)函數(shù)f(x)sin12x3cos12x|2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則( ) a.6 b.6 c.3 d.3 解析 (1)y2cos2x41 cos2x4cos2x2 cos22xsin 2x， 則函數(shù)為最小正周期為的奇函數(shù). (2)f(x)sin12x3cos12x 2sin12x3，由題意

12、可得f(0)2sin32，即 sin31，32k(kz z)，56k(kz z)，|0)在區(qū)間2，23上是增函數(shù)，則的取值范圍是_. 解析 (1)由已知可得函數(shù)為ysin2x3，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求ysin2x3的單調(diào)增區(qū)間. 由 2k22x32k2，kz z， 得k12xk512，kz z. 故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為k12，k512(kz z). (2)法一 由 2k2x2k2，kz z， 得f(x)的增區(qū)間是2k2，2k2(kz z). 因?yàn)閒(x)在2，23上是增函數(shù)， 所以2，232，2. 所以22且232，所以0，34. 法二 因?yàn)閤2，23，0. 所以x2，23， 又f(

13、x)在區(qū)間2，23上是增函數(shù)， 所以2，232，2，則22，232，又0，得 00，得 034. 答案 (1)k12，k512(kz z) (2)0，34 規(guī)律方法 (1)求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成yasin(x)形式，再求yasin(x)的單調(diào)區(qū)間，只需把x看作一個(gè)整體代入ysin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可， 注意要先把化為正數(shù).(2)對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)的范圍的問(wèn)題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷. 命題角度三 三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸

14、或?qū)ΨQ(chēng)中心 【例 33】 (1)(2017浙江適應(yīng)性測(cè)試)若函數(shù)f(x)2sin(4x)(0，|2，x4為f(x)的零點(diǎn)，x4為yf(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且f(x)在18，536上單調(diào)，則的最大值為( ) a.11 b.9 c.7 d.5 解析 (1)由題可得，4242k，kz z，3k，kz z，0，函數(shù)f(x)cosx4在2， 上單調(diào)遞增，則的取值范圍是( ) a.12，54 b.12，74 c.34，94 d.32，74 解析 (1)因?yàn)閒(x)cos2x52cos22xsin 2x，f(x)sin(2x)sin 2xf(x)，所以f(x)sin 2x是奇函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故選 a. (2)函數(shù)ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k，2k，kz z， 則242k，42k(kz z)， 解得 4k522k14，kz z， 又由 4k522k140，kz z 且 2k140，kz z， 得k1，所以32，74. 答案 (1)a (2)d 思想方法