2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)選修1-2學(xué)業(yè)分層測評試題16

1、章末綜合測評（三）圓錐曲線與方程（時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 拋物線y= ax2的準(zhǔn)線方程是y 2二0,則a的值是（）A1C1a8b . 8C. 8D . 8【解析】拋物線y= aX的標(biāo)準(zhǔn)方程為x=ay，1 1所以一2,即 a= g.【答案】B2. 如圖1,已知圓O的方程為x2+ y2 = 100，點(diǎn)A（6,0），M為圓O上任意一點(diǎn)，AM的垂直平分線交OM于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是（）A .圓B .拋物線C.橢圓D .兩條直線【解析】IP為AM垂直平分線上的點(diǎn).|PM|= |PA|.又

2、v|OP|+ |PM|= 10，|FA|+ |PO|= 10.故P點(diǎn)的軌跡是以A，O為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓.【答案】C.n3設(shè)AB是橢圓的長軸，點(diǎn)C在橢圓上，且/ CBA=4若AB= 4, BC= 2,則橢圓的焦距為（）VB 236eVD ¥2 2【解析】 如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a2+缶=1（a>b>0）,由題意可知,2a=4, a= 2因為ZCBA=BC二磁，所以C（- 1, 1）.因為點(diǎn)C在橢圓上，所，所以焦距為1 1 2以4+孑=1,所以b =4“ 63【答案】 C4.雙曲線X24y2= 4的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A. ( ± 3, 0)B . (0, 土.

3、 3)C. (0, ± 5)D. ( ± 5, 0)2【解析】 依題意a= 2, b= 1,：c= ,5,又y2= 1焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（± 5, 0）.【答案】D5已知A, B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上， ABM為等腰三角 形，且頂角為120°,則E的離心率為（）A. 5B. 2C. 3D. 2【解析】 結(jié)合圖形，用a表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程得出a, b的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為2 2a2-*= 1(a>0, b>0),則 |BM|= |AB匸 2a,/MBx = 180 -

4、 120 = 60 °'M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2a, 3a).Ml點(diǎn)在雙曲線上，學(xué)3? = 1, a= b,c°c= 2a, e= = 2.故選 D.a【答案】 D2 26.已知雙曲線C1：拿一古=1(a>0, b>0)的離心率為2.若拋物線C2： x2=2py(p> 0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為()A. x2 =瞥C. x2= 8yB. x2=呼y【解析】雙曲線的漸近線方程為y=£x,由于f=2 2a2+ b22 =aD. x2= 16y2,所以b= 3,所以雙曲線的漸近線方程為y=±. 3x拋物線的

5、焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,P所以2 = 2,所以p= 8,所以拋物線方程為x2= 16y.【答案】 D37已知中心在原點(diǎn)的雙曲線 C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率等于2,則C的方程是()2 2B - :- A 12 2A-* = 1A.45 122C.y_52 25,故C的方程為X y =1,選【解析】右焦點(diǎn)為F(3,0)說明兩層含義：雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上且c= 3.又離心率為匚=3,故a = 2, b = c a = 3 2 =a 2B.【答案】 B2 28. 已知橢圓2X5+補(bǔ)=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1( 4,0)，則()A. 9B . 4B. 3D. 2【解析】 由題意得：m2= 25 4

6、2= 9,因為m>0,所以m= 3,故選C.【答案】 C2 29. 設(shè)雙曲線予一語1(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B, C兩點(diǎn)，過B, C分別作AC, AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn) D.若D到直線BC的距離小于a+ a2 + b2,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范 圍是()A. (1,0)U (0,1)B. (", 1)U (1,+x )C. ( 2, 0)U (0, . 2)D. (", ,2)U ( 2,+)【解析】 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和兩直線的位置關(guān)系求解.由題作出圖像如圖所示.易得B c，號，Cc，-羊.b2b2

7、aTkAB=,c a a c aa(a C) -'kCD =.b22kAC = =b，a c a a ca(a c)-kBD = F.lBD： y-嚀(x- c)，即 晉 x+ 皆 + 梟CD : y+弓a a ca a c ac a cb2b4=-b2(x C),即卩y=b2xb2 Ta.：XD = c+ .點(diǎn)D至UBC 的bbb aa a c距離為a (a c)'4 2<a+ ：a2 + b2= a+ c，：b4<a2(c2 a2)= a2b2，a2>b2，0<02<1.-0<b<1 或1<b<0. aa【答案】 A2

8、210. 橢圓字+ *= 1(a>b>0)的焦距為2c，若直線y= 2x與橢圓一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c,則橢圓的離心率等于(C. .3 1D.2 2【解析】 當(dāng)x= c時，由%+餐1,b2得尸音.又交點(diǎn)在y= 2x上，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為c2a 一2 2 2b a c所以 2c=：二二a a2CCq所以 2a= 1孑，即 e + 2e 1 = 0,解得 e= 1 + 2.【答案】D111. 已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為2, E的右焦點(diǎn)與拋物線C： y2= 8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，貝U AB|=（）【導(dǎo)學(xué)號：32550099】A. 3B . 6C. 9D. 1

9、2【解析】根據(jù)已知條件求出橢圓的方程，AB| = 2|yA|,只需求出 麗即可.拋物線y2= 8x的焦點(diǎn)為（2,0）,二橢圓中c= 2，e C 1,222又a=2，；a = 4，b = a c = 12，2 2從而橢圓方程為務(wù)+ 2= 1.拋物線y2= 8x的準(zhǔn)線為x= 2，-XA= XB= 2,將xa= 2代入橢圓方程可得|yA|= 3,由圖像可知AB| = 2|yA|= 6.故選B.【答案】 B12. 探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處.已知燈口的直徑為60 cm，燈深40 cm，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是（）A. y2=象B. y2=45xC. x2= 45yD.

10、 x2=- %則點(diǎn)P滿足的P、Q兩點(diǎn)，0=(xi，y2=4x，得 y2+ 4y-4 = 0, |yi-y2|= .'42 + 42 = 4.2i，Szpoq=2l°F|yi【解析】如果設(shè)拋物線的方程為y=1(mn0)的離心率為2,有一個焦點(diǎn)與拋物線y2= 4x的 = 2px(p>0)，則拋物線過點(diǎn)(40,30),則302 = 2pX 40,2p =學(xué)，所以所求的拋物線方程應(yīng)為y2=x，所給選項中沒有=養(yǎng)，同理若設(shè)x2= 2py，則拋物線過點(diǎn)(30， 40)，求得拋物線方程為x245=gy.故選 c.【答案】 C、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分把答案填在題

11、中的橫線上)213. 已知點(diǎn) A( 2,0)，B(3,0)，動點(diǎn) P(x，y)滿足PA PB = x，方程為.【解析】PA= ( 2 x， y)，PB= (3 x， y)，2/.FA PB= ( 2 x， y) (3 x， y) = x2.22即(2 x)(3 x) + (y)(y) = x，即 y = x+ 6.【答案】y2 = x+ 614. 過拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)，作傾斜角為匸0的直線交拋線于為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 POQ的面積等于【解析】設(shè)P(xi，yi)，Q(x2, y2)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，由2 22 15雙曲線myn【答案】焦點(diǎn)重合，則mn的值為.【解析】 拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)為

12、(1,0),2 2二雙曲線爲(wèi)= 1的焦點(diǎn)在x軸上.m>0, n>0, a = m, b= n,= ：m+ n= 1,1m+ ne=m=4,3n=4,3【答案】32 216. 平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C仁拿一b2= 1(a>0, b>0)的漸近線與拋物線C2： x2= 2py(p>0)交于點(diǎn)O, A, B若 OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，貝U O的離心率為.【導(dǎo)學(xué)號：32550100】【解析】 利用三角形垂心的性質(zhì)建立關(guān)于 a, b, c的等式求離心率.雙曲線的兩條漸近線方程為y = ±：x ,與拋物線方程聯(lián)立得交點(diǎn)a拋物線焦點(diǎn)為F 0, 2 ,由三角形

13、垂心的性質(zhì)，得BF丄OA,即kBF koA= 1, p2pb2 a a bbja b'b亦b2 5 , 占又 kBF二4b a, kOA= b,所以有 4b aa=即產(chǎn)4 故 C1 的離a心率 * a 二；1+a2 二+a i【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或 演算步驟)2 217. (本小題滿分10分)已知橢圓C: a2+容=1(a>b>0)的離心率為軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 3,求橢圓C的方程.【解】 設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意知c=£a 3 'a= , 3,a= 3,c= 22b2二1,A所求橢圓方程為X3

14、 + y2二1.18. (本小題滿分12分)若雙曲線的一條準(zhǔn)線為x= 4,其相應(yīng)的焦點(diǎn)為(10,0),離心率為2,求此雙曲線的方程.【解】 設(shè)P(x, y)是所求雙曲線上的任一點(diǎn),由雙曲線的第二定義，得X- 10 ?+ y2X-4|化簡整理，得爺&-48二1.19. (本小題滿分12分)直線I: y= kx+ 1,拋物線C: y2 = 4x,當(dāng)k為何值時, l與C: (1)相切；(2)相交；(3)相離.y= kx+ 1,y2 = 4x,【解】將直線I和拋物線C的方程聯(lián)立，得將代入，并整理，得k2x2 + 2(k-2)x+ 1 = 0.當(dāng) k= 0 時，x=4 y= 1,得交點(diǎn) A 4，

15、1 .當(dāng) 山0時，方程為一元二次方程，所以二16(1 - k).(1)當(dāng)二0,即k= 1時，l與C相切;當(dāng)>0,艮卩kv 1且kM0時，I與C相交;當(dāng)<0,即k> 1時，I與C相離.綜上(1)k= 1時相切；(2)k<1且k= 0時相交；(3)k>1時相離.20. (本小題滿分12分)求以(1, -1)為中點(diǎn)的拋物線y2 = 8x的弦所在直線的方程.解設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1, y1), B(x2, y2),y2 = 8x1, 則2 Qy2 = 8x2,X1 + X2X1+ X2 = 2, 得y1 + y2y1 + y2二一2,y2y1-kAB=. X2 X1由一，得(y2 + y1)(y2 y"= 8(X2 x”,y2 y1X