數(shù)值分析課后部分習(xí)題答案

1、.習(xí)題一（P.14）1. 下列各近似值均有4個(gè)有效數(shù)字,試指出它們的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差限.解 有4個(gè)有效數(shù)，即，由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得絕對(duì)誤差限為，由有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系得相對(duì)誤差限為 ；有4個(gè)有效數(shù)，即，由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得絕對(duì)誤差限為，由有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系得相對(duì)誤差限為 ；有4個(gè)有效數(shù)，即，由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得絕對(duì)誤差限為，由有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系得相對(duì)誤差限為 .2下列各近似值的絕對(duì)誤差限都是,試指出它們各有幾位有效數(shù)字. 解 ，即由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得 ，即 ，所以，；，即由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得 ，即 ，所以，；，即由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)

2、系得 ，即 ，所以，.4.設(shè)有近似數(shù)且都有3位有效數(shù)字，試計(jì)算，問(wèn)有幾位有效數(shù)字.解 方法一因都有3位有效數(shù)字，即，則，又 ，此時(shí)，從而得.方法一因都有3位有效數(shù)字，即，則，由有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系得.5.序列有遞推公式若（三位有效數(shù)字），問(wèn)計(jì)算的誤差有多大，這個(gè)計(jì)算公式穩(wěn)定嗎？解 用表示的誤差，由，得，由遞推公式 ，知計(jì)算的誤差為，因?yàn)槌跏颊`差在計(jì)算的過(guò)程中被逐漸的放大，這個(gè)計(jì)算公式不穩(wěn)定.習(xí)題2 ( P.84)3.證明 ，對(duì)所有的其中為L(zhǎng)agrange插值奇函數(shù). 證明 令，則，從而 ，又 ，可得 ，從而 .4. 求出在和3處函數(shù)的插值多項(xiàng)式.解 方法一 因?yàn)榻o出的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，而從而余

3、項(xiàng)，于是 （n次插值多項(xiàng)式對(duì)次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式精確成立）.方法二 因?yàn)槎?，從而 .5. 設(shè)且，求證.證明 因，則，從而 ，由極值知識(shí)得 6. 證明 .證明 由差分的定義 或著 7. 證明 n階差商有下列性質(zhì)(a) 如果，則.(b) 如果，則.證明 由差商的定義 (a) 如果，則.(b) 如果，則 8. 設(shè)，求，.解 由P.35定理7的結(jié)論(2)，得7階差商 (的最高次方項(xiàng)的系數(shù))，8階差商 (8階以上的差商均等與0).9. 求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)4次的多項(xiàng)式，使它滿足：，.解 方法一 先求滿足插值條件，的二次插值多項(xiàng)式 (L-插值基函數(shù)或待定系數(shù)法)，設(shè)從而，再由插值條件，得所以 ，即 .方法

4、二 設(shè)，則 由插值條件，得解得 ，從而 .方法三 利用埃爾米特插值基函數(shù)方法構(gòu)造.10. 下述函數(shù)在上是3次樣條函數(shù)嗎？解 因?yàn)?，而 ，又是三次函數(shù)，所以函數(shù)在上是3次樣條函數(shù).補(bǔ) 設(shè)f(x)=x4，試?yán)肔-余項(xiàng)定理寫出以-1,0,1,2為插值節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式.解 因?yàn)?，從而 習(xí)題3 ( P.159) 1設(shè)為上具有權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式組且為首項(xiàng)系數(shù)為1的次的多項(xiàng)式，則于線性無(wú)關(guān).解 方法一 因?yàn)闉樯暇哂袡?quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式組,則其Gram行列式不等于零，采用反證法：若于線性相關(guān)，于是，存在不全為零使 上式兩邊與作內(nèi)積得到 由于不全為零，說(shuō)明以上的齊次方程組有非零解故系數(shù)矩陣的行列式為零，

5、即與假設(shè)矛盾.方法二 因?yàn)闉樯暇哂袡?quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式組,則其Gram行列式不等于零，由( P.95)定理2得于線性無(wú)關(guān). 2選擇，使下述積分取得最小值 解 ，令 ，得.令 ，得.3設(shè)試用求一次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解 取權(quán)函數(shù)為(為了計(jì)算簡(jiǎn)便)，則, ，得法方程 ，解得，所以的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式. 8什么常數(shù)C能使得以下表達(dá)式最小？ 解 ，令 ，得.14用最小二乘法求解矛盾方程組.解 方法一 方程組可變形為 ，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在已知三組離散數(shù)據(jù)下求一次最小二乘逼近函數(shù)(x與y為一次函數(shù)的系數(shù)，t為自變量)，取基,求解法方程,即 ，得到矛盾方程組的解為.方法二 方程組可變形為 ，令，令 ， 得 ，

6、解之得矛盾方程組的解為.習(xí)題47. 對(duì)列表函數(shù) 求解 一階微商用兩點(diǎn)公式(中點(diǎn)公式),得二階微商用三點(diǎn)公式(中點(diǎn)公式),首先用插值法求 ,由得一次插值函數(shù)從而 ,于是, 8. 導(dǎo)出數(shù)值數(shù)分公式并給出余項(xiàng)級(jí)數(shù)展開的主部.解 由二階微商的三點(diǎn)公式(中點(diǎn)公式),得,從而 將分別在處展開,得 (1)(2)×3 +(3)×3(4), 得,即余項(xiàng)主部為習(xí) 題 5 (P. 299)3. 設(shè)為對(duì)稱矩陣，且，經(jīng)高斯消去法一步后，A約化為，試證明亦是對(duì)稱矩陣.證明 設(shè)，其中，則經(jīng)高斯消去法一步后，A約化為，因而，若為對(duì)稱矩陣，則為對(duì)稱矩陣，且，易知為對(duì)稱矩陣.13. 設(shè) (1) 計(jì)算；(2)

7、計(jì)算，及.解 (1) 計(jì)算,，其特征值為，又為對(duì)稱矩陣，則的特征值為，因此；(2) ，所以，為對(duì)稱矩陣，其特征值為，則的特征值為，因此 所以 15. 設(shè)，求證（1）；(2) .證明 (2) 由（1），得， 則 ，從而 ，由算子范數(shù)的定義 ，得 .17. 設(shè)為非奇異陣，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義，求證：是上向量的一種范數(shù)（稱為向量的W一范數(shù)）.證明 正定性，因?yàn)橐幌蛄?，下證 ，若即，由向量范數(shù)的正定性得，為非奇異陣，所以； 若，則，由向量范數(shù)的正定性得即. 齊次性，任意實(shí)數(shù)有，由向量范數(shù)的齊次性，得； 三角不等式，任意實(shí)數(shù)，有，再由向量范數(shù)的三角不等式，得.習(xí) 題 6 (P.347)1. 設(shè)有方程組(b) ，考查用Jacobi迭代法,G-S迭代法解此方程組的收斂性.解 系數(shù)矩陣分裂如下, Jacobi迭代矩陣為，J的特征方程為 ，展開得 ，即，所以用Jacobi迭代法解此方程組是收斂的.G-S迭代矩陣為，G的特征方程為 ，展開得 ，即或，由迭代基本定理得用G-S迭代法解此方程組是不收斂的.4. 設(shè)有方程組，其中為對(duì)稱正定陣，且有迭代公式 ()，試證明當(dāng)時(shí)，上述迭代法收斂(其中的特征值滿足).證明 為對(duì)稱正定陣， 的特征值滿足，且，則又迭代公式可變形為 ()，從而迭代矩陣 ，迭代矩陣的特征值為，且滿足