復(fù)變函數(shù)課件3-4原函數(shù)與不定積分課件

1、1第四節(jié) 原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題三、小結(jié)與思考2一、主要定理和定義一、主要定理和定義定理一定理一 . d)( , )( 無關(guān)無關(guān)線線與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路那末積分那末積分內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)CzzfBzfC 由定理一可知由定理一可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)和終點(diǎn)有關(guān), (如下頁圖如下頁圖)1. 兩個(gè)主要定理兩個(gè)主要定理:3BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz終點(diǎn)為終點(diǎn)為如果起點(diǎn)為如果起點(diǎn)為 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(z

2、zzzf , , , 110zzBzz 并并令令內(nèi)內(nèi)變變動(dòng)動(dòng)在在讓讓如如果果固固定定 .d)()( 0 zzfzFB 內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)便可確定便可確定4 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并并且且析析函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)解解必必為為那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù) 定理二定理二證證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.B , 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為設(shè)設(shè)Bz z, KBz小圓小圓內(nèi)的內(nèi)的為中心作一含于為中心作一含于以以K5B zK , 內(nèi)內(nèi)在在充分小使充分小使取取Kzzz zz )()(zFzzF zz

3、zzzff00d)(d)( 由于積分與路線無關(guān)由于積分與路線無關(guān), , d)(00zzfzzz到到的的積積分分路路線線可可先先取取 , zzz 沿沿直直線線到到然然后后從從 0z ) d)( :(0路路線線相相同同的的這這一一段段與與注注意意 zzf , )( 的的定定義義由由zF6 )()( zFzzF于于是是,d)( zzzf zzzzf d)( 因?yàn)橐驗(yàn)?zzzzf d)(,)(zzf B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF 所所以以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz 7B zKzz 0z , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在因?yàn)橐驗(yàn)锽zf , )( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在

4、在所所以以Bzf, 0, 0 故故 , 內(nèi)內(nèi)都都在在的的一一切切使使得得滿滿足足Kz , 時(shí)時(shí)即即 z,)()( zff總總有有由積分的估值性質(zhì)由積分的估值性質(zhì),)()()( zfzzFzzF 8)()()( zfzzFzzF d)()(1zffzzzz d| )()(|1zffzzzz .1 zz, 0)()()(lim 0 zfzzFzzFz于于是是).()( zfzF 即即 此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似定理完全類似.證畢證畢92. 原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義:. )( )( , )()( , )( )( 的原函數(shù)的原函數(shù)內(nèi)內(nèi)在區(qū)域

5、在區(qū)域?yàn)闉槟悄┓Q那末稱即即內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是顯然顯然zffzFzz 原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系: : . )(一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差zf證證 , )( )( )( 的的任任何何兩兩個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是和和設(shè)設(shè)zfzHzG10 )()()()( zHzGzHzG 那那末末0)()( zfzf .)()( czHzG 于是于是) ( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)c , )( )( zFBzf內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù)那

6、末它就有無窮多個(gè)原函數(shù), . )()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)一一般般表表達(dá)達(dá)式式為為cczF 根據(jù)以上討論可知根據(jù)以上討論可知:證畢證畢113. 不定積分的定義不定積分的定義: .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 記作記作的不定積分的不定積分為為為任意常數(shù)為任意常數(shù)的原函數(shù)的一般表達(dá)式的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱稱定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為域域這這里里那那末末的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (類似于牛頓

7、類似于牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )12證證 , )( d)( 0的的原原函函數(shù)數(shù)也也是是因因?yàn)闉閦fzzfzz ,)( d)( 0czGzzfzz 所所以以 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zz 根據(jù)柯西根據(jù)柯西-古薩基本定理古薩基本定理, , )( 0zGc 得得 , )()( d)( 00zGzGzzfzz 所所以以 . )()( d)( 0110zGzGzzfzz 或或證畢證畢說明說明: : 有了以上定理有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.13二、典型例題二、典型例題例例1 1解解 . d 10的的值值求求 zz

8、zz , 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?z ,21 2z它的原函數(shù)是它的原函數(shù)是由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知, 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 14例例2 2. dcos 02的的值值求求 izzz解解 izzz02dcos2220011cosdcos d22izzz z201sin2z)sin(212 .sin212 (使用了微積分學(xué)中的使用了微積分學(xué)中的“湊微分湊微分”法法)15例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsinizzz0cossin . 11 e此方法使用了微

9、積分中此方法使用了微積分中“分部積分法分部積分法”16例例4 4. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部積分法可得利用分部積分法可得 ,)1( zzezze 的一個(gè)原函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)為 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 課堂練習(xí)課堂練習(xí). dsin 10的值的值求求 zzz答案答案10sin dsin1 cos1.zz z 17例例5 5. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的值的值求求內(nèi)的圓弧內(nèi)的圓弧試沿區(qū)域試沿區(qū)域 izzzzzz解解 , 1)1ln( 在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析函數(shù)函數(shù) zz ,2)1(ln 2

10、z它它的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 18例例6 6).cos1(),sin(:20 . d)182( 2 ayaxaCzzzC的的擺擺線線到到是是連連接接其其中中的的值值求求解解 , 182 2在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) zz所以積分與路線無關(guān)所以積分與路線無關(guān), 根據(jù)牛根據(jù)牛萊公式萊公式: Czzzd)182(2 azzz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 19三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 本課介

11、紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式. 在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與高等數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與高等數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合相結(jié)合, 更好的理解本課內(nèi)容更好的理解本課內(nèi)容. d)()( 0 zzfzF )(d)(czFzzf )()(d )(0110zGzGzzfzz 20思考題思考題 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓萊布尼萊布尼茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓萊布尼茲公式有萊布尼茲公式有何異同何異同?21思考題答案思考題答案兩者的提法和結(jié)果是類似的兩者的提法和結(jié)果是類似的.; , , , )( 0都是復(fù)數(shù)