平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(5)課件

1、平面向量的數(shù)積及運(yùn)算率【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識理解平面向量數(shù)量積的含義及物理意義，體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。2.掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，熟練地應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算。自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)【問題導(dǎo)學(xué)問題導(dǎo)學(xué)】閱讀課本P103P105，回答下列問題1向量數(shù)量積的定義是什么？先看一個(gè)物理問題先看一個(gè)物理問題 一個(gè)物體在力一個(gè)物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力，那么力F 所做的功所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？sF其中其中是是 F 與與 s 的夾角的夾角 .W = |F|s| cos從力所做的功出發(fā)，我們引入向量數(shù)量積的概念。從力所做

2、的功出發(fā)，我們引入向量數(shù)量積的概念。先看一個(gè)概念先看一個(gè)概念-向量的夾角向量的夾角 兩個(gè)非零向量兩個(gè)非零向量a 和和b ，作，作 ， ，則，則 叫做向量叫做向量a 和和b 的的夾角夾角aOA bOB AOB)1800( OABab OABba當(dāng)當(dāng) ，0 OABba當(dāng)當(dāng) ，180 OABab 當(dāng)當(dāng) ，90 ba 記作記作已知已知a 與與b 同向；同向；a 與與b 反向；反向；a 與與b 垂直垂直.平面向量的數(shù)量積的定義平面向量的數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a 和和b ，它們的夾角為，它們的夾角為 ，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 叫做叫做a 與與b 的的數(shù)量積數(shù)量積（或（或內(nèi)積內(nèi)積），

3、記作），記作a b ，即，即 cos|ba cos|baba 規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即即 0 0a （1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號由）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定夾角決定. （3） 在運(yùn)用在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍是范圍是 0，180（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法，它與，它與數(shù)的乘法是有區(qū)別的，數(shù)的乘法是有區(qū)別的， a b不能寫成不能寫成 ab 或或 ab .說明：說明：？方向上的投影是指

4、什么在ba方向上的投影呢？在ab2. 垂直于直線垂直于直線OA，垂足為，垂足為 B1，則，則bOBaOA ，作作，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作BB1如圖如圖OABab 1B 1OB| b | cos| b | cos叫向量叫向量 b 在在 a 方向上的投影方向上的投影| a| cos叫向量叫向量 a在在 b方向上的投影方向上的投影B3向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?？什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？什么時(shí)候?yàn)榱悖?cos|baba OABab 1BOABab )(1BBOAab 1B為銳角時(shí)，為銳角時(shí)，| b | cos0為鈍角時(shí)，為鈍角時(shí)，| b | cos0為直角時(shí)，為直角時(shí)，| b | cos=0數(shù)量積的物

5、理意義：數(shù)量積的物理意義：數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義：1Bcos|babBAObaa|abacos|b等于等于的長度的長度與與在在的方向上的投影的方向上的投影的乘積。的乘積。sF W=F s=|F|s|coscos|baba4向量數(shù)量積的幾何意義是什么？ （1 1）e a=a e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判斷兩向量垂直的依據(jù)判斷兩向量垂直的依據(jù)) ) （3 3）當(dāng)當(dāng)a 與與b 同向時(shí)，同向時(shí)，a b =| a | | b |，當(dāng)，當(dāng)a 與與b 反向反向時(shí)，時(shí)， a b =| a | | b | 特別地特別地aaaaaa |2或或（4）|cosbaba 由數(shù)

6、量積的定義，可得以下重要性質(zhì)由數(shù)量積的定義，可得以下重要性質(zhì): 設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則5.向量的數(shù)量積有那些性質(zhì)？為什么？請你證明ba|ba|ba|ba|ba(5)(5)，即，即數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：abba)()()(bababacbcacba )(交換律：交換律：對數(shù)乘的結(jié)合律：對數(shù)乘的結(jié)合律：分配律：分配律：則，和實(shí)數(shù)、已知向量cba6向量數(shù)量積滿足那些運(yùn)算律？如何證明？)()()(bababa數(shù)乘的結(jié)合律：數(shù)乘的結(jié)合律：證明：.的夾角為與設(shè)ba，時(shí)）當(dāng)（01等式顯然成立等式顯然成立 .，時(shí)）當(dāng)（02的夾角都為與，與babacos|

7、)(babacos|ba)(bacos|)(babacos|ba)(ba. )()()(bababa.，時(shí)）當(dāng)（03的夾角都為與，與baba.180)180cos(|)(babacos|ba)180cos(|)(babacos|ba. )()()(bababacos|ba)(bacos|ba)(ba綜上所述：綜上所述：)()()(bababacbcacba )(分配律：分配律：.OCAA1Bab12證明：.cOCbABaOAO，作，任取一點(diǎn)，如圖方向上的投影等于在即cOBba)(即，方向上的投影的和在、cbacos|ba21cos|cos|ba21cos|cos|cos|bcacbacbcac

8、bac)(.)(cbcacbaB1c實(shí)數(shù)運(yùn)算與平面向量的數(shù)量積的區(qū)別實(shí)數(shù)運(yùn)算與平面向量的數(shù)量積的區(qū)別baba在實(shí)數(shù)運(yùn)算中有：. 1嗎？在向量中，有babababa0, 0, 0. 2bbaa則在實(shí)數(shù)運(yùn)算中有：嗎？，則，在向量中，有000bbaa不一定0, 0. 3中至少有一個(gè)為則在實(shí)數(shù)運(yùn)算中有：baba嗎？中至少有一個(gè)為則在向量中：有0, 0baba不一定cbcabaa則在實(shí)數(shù)運(yùn)算中有：, 0. 4嗎？則在向量中：有cbcabaa, 0不一定 向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律 .說明：說明：，共線的向量表示一個(gè)與ccba )(，共線的向量表示一個(gè)與而acba)( ，不一定共線與而a

9、c)()(cbacba嗎？在向量中有)()(cbacba)()(. 5cbacba在實(shí)數(shù)運(yùn)算中有：不一定練習(xí)1：判斷下列命題正確與否：（1）若 a =0 ，則對任一向量 b ，有有 ab=0 。 （2）若 a 0 ，則對任一非零向量 b ，有有 ab0。（3）若 a 0 ，ab = 0 ，則 b = 0 。（4）若 ab = 0 ，則 a、b 中至少有一個(gè)為0 。（5）若 a 0 ，ab= ac ，則 b = c 。（6）若 ab= ac ，則 bc， 當(dāng)且僅當(dāng)a =0 時(shí)成立。（7）對任意向量 a，有，有 a2 = |a|2。（）（X）（X）（X）（X）（X）（）bca練習(xí)練習(xí)2：1、有四個(gè)

10、式子：有四個(gè)式子：其中正確的個(gè)數(shù)為（其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A A、4 4個(gè)個(gè)B B、3 3個(gè)個(gè)C C、2 2個(gè)個(gè)D D、1 1個(gè)個(gè)2、已知、都是單位向量，下列結(jié)論正確的是（已知、都是單位向量，下列結(jié)論正確的是（ ）A A、B B、C C、 D D、3、有下列四個(gè)關(guān)系式：有下列四個(gè)關(guān)系式：，其中正確的個(gè)數(shù)是（），其中正確的個(gè)數(shù)是（）A A、1 1B B、2 2C C、3 3D D、4 400a00 a|babaab1ba22ba abab0ba000)()(cbacbaabba00 acbcabaD DB BA A【合作、探究、展示】合作探究bababababa)3(/213513, 2,. 1

11、0）（）（下求，分別在下列條件，的夾角為已知向量例解解(1):135cos32)22(32.23cosbaba(2):ba/有兩種情況：001800或時(shí)，當(dāng)00cosbaba0cos326時(shí)，當(dāng)0180cosbaba180cos326,a bR22222)2,()()abaabbab abab（, ,a b 例2我們知道，對任意恒有.對任意向量是否也有下面類似的結(jié)論？；2222)() 1 (bbaaba.)()()2(22bababa證明：)()()() 1 (2babababbabbaaa；222bbaa)()()2(bababbabbaaa.22ba 作為公式作為公式所以有上述類似的結(jié)論所

12、以有上述類似的結(jié)論3例，的夾角為與，已知605|4|baba. )23()32(baba求解：. )23()32(bababbbaaa65622|65|6bbaa22|6cos|5|6bbaa225660cos54546.44解：互相垂直與bkabka0)()(bkabka0222bka即，9322a16422b01692k43 k，時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)43k.互相垂直與bkabka4例，不共線與且，已知baba4|3|，為何值時(shí)k？互相垂直與向量bkabka【課堂小結(jié)課堂小結(jié)】1理解平面向量數(shù)量積的含義及物理意義，平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。2掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，熟練地應(yīng)用平面向

13、量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算。【達(dá)標(biāo)檢測【達(dá)標(biāo)檢測】教材P106練習(xí)1,2,3 P108 A組 1,2,3 B組 1.2549|12|. 1的夾角與，求，設(shè)補(bǔ)例bababa解：|cosbaba91225422，又1800.135已已 知知 是非零向量，且是非零向量，且 與與 ba、ba3垂直，垂直，ba57ba4與與 垂直，垂直，ba27求求 的夾角。的夾角。ba與）b5（7）b3由(aa0573）（）得：（baba）b2（7）b4由(aa又0274）（）得：（baba030801615722baba7baba22即：babacos60,夾角baba 2b2化簡得：ba212122bb180,0又例例2 2：代入代入得得解：解： 補(bǔ)例補(bǔ)例3、如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，中，已知， ， ， 求：求：（1） ；（；（2） ； （3）4|AB3|AD60DABBCADCDABDAABB