極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限(1)課件VIP

1、第六節(jié)第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限一一 極限存在的兩個準(zhǔn)則極限存在的兩個準(zhǔn)則二二 兩個重要極限兩個重要極限三三 小結(jié)與思考判斷題小結(jié)與思考判斷題1.夾逼準(zhǔn)則(兩邊夾定理）定理定理 如果數(shù)列nnyx ,及及 nz滿足下列條件: ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列nx的極限存在, , 且axnn lim. . 證,azaynn因為因為使得使得, 0, 0, 021 NN 一 極限存在準(zhǔn)則,1 ayNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取, ayan即即,2 azNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成

2、立上兩式同時成立,恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)則 如果當(dāng))(00 xUx ( (或Mx ) )時,有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末)(lim)(0 xfxxx 存在, 且等于A . . 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則. .

3、II例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM證,1nnxx 顯顯然然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 31

4、33 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx.)n例2(的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列333 nxAC二、兩個重要極限1、1sinlim0 xxxxoBD)20(, xxAOBO圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有.ACO ，得得作作單單位位圓圓的的切切線線,xOAB的的圓圓心心角角為為扇扇形形,BDOAB的的高高為為 ,tansinxxx , 1sincos xxx

5、即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時時當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又10 xxxsinlim24681 0- 0 . 20 . 20 . 40 . 60 . 81- 1 0- 8- 6- 4- 2- 0 . 20 . 20 . 40 . 60 . 81的的圖圖象象xxsin述述極極限限的的一一般般形形式式：利利用用變變量量代代換換可可導(dǎo)導(dǎo)出出上上; 1)()(sinlim0)( xxx 例3 （1 1）.cos1lim20 xxx 求

6、求解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 （2 2）.tanlim0 xxx求求2、exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ,1時時當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxx

7、xxxxx, e .)11(limexxx ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(li

8、m10 . e exxx 10)1(lim述述極極限限的的一一般般形形式式：利利用用變變量量代代換換可可導(dǎo)導(dǎo)出出上上exxx )(10)(1lim （注意這個極限的特征：注意這個極限的特征： 底為兩項之和，第一項為底為兩項之和，第一項為1，第二項，第二項是是 無窮小量，指數(shù)與第二項互為倒數(shù)無窮小量，指數(shù)與第二項互為倒數(shù) 。例4.)11(limxxx 求求解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例5.)23(lim2xxxx 求求解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 1.兩個準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .2.兩個重要極限兩個重要極限; 1sinlim10 某某過過程程.)1(