格林公式及其應(yīng)用(15)課件

1、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積10.3 格林公式及其應(yīng)用上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、格林公式v單連通與復(fù)連通區(qū)域 單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域 設(shè)D為平面區(qū)域 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D 則稱D為平面單連通區(qū)域 否則稱為復(fù)連通區(qū)域 邊界曲線的正向邊界曲線的正向: : 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域區(qū)域D總總在他的左邊在他的左邊.上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Ins

2、titute of Chemical Technology 設(shè)空間區(qū)域G, 如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G, 則稱G是空間二維單連通域; 如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面, 則稱G為空間一維單連通區(qū)域.GGG一維單連通二維單連通一維單連通二維不連通一維不連通二維單連通上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv定理1 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有 其中L是D的取正向的邊界曲線 格林公式 定理證明應(yīng)注意的問(wèn)題: 對(duì)復(fù)連通區(qū)域D 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D

3、的全部邊界的曲線積分 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來(lái)說(shuō)都是正向 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線L的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.2LD1L2L1LD上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology),()(),(21bxaxyxyxD 證明(1),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 上頁(yè) 下頁(yè) 返

4、回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologydxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 321)()(DDDDdxdyy

5、PxQdxdyyPxQ上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)為為正正方方向向?qū)?duì)DLLL上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologyGD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3)由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 231)(LLLQdy

6、Pdx LQdyPdx),(32, 1來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)為為正正方方向向?qū)?duì)DLLL上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示: 格林公式: v用格林公式計(jì)算區(qū)域的面積 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L(zhǎng) 則在格林公式中 令Py Qx 則有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( DLdxdyxdyydx2 或LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology格林公式: v用格林公式計(jì)算區(qū)域的面積 例1 求橢圓xacosq ybsinq 所圍成圖形的面積A

7、 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L(zhǎng) 則 解 設(shè)L是由橢圓曲線 則 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( LydxxdyA21 LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dababqabdab2021LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dabab qabdab2021 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示:因此 由格林公式有 格林公式: 用格林公式計(jì)算二重積分 解 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 例 2 計(jì)算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域 要

8、使2yeyPxQ 只需 P0 2yxeQ 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology因此 由格林公式有 格林公式: v用格林公式計(jì)算二重積分 解 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 例 2 計(jì)算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域 BOABOAyDydyxedxdye22)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy BOABOAyDydyxe

9、dxdye22 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologyxyoL簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分ABDBOABOAL 格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示: 解 當(dāng)(0 0)D時(shí) 由格林公式得 記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈 當(dāng)x2y20時(shí) 有 yPyxxyxQ22222)( 022Lyxydxxdy 例 4 計(jì)算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且 不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線 L

10、的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?這里22yxyP 22yxxQ v用格林公式求閉曲線積分 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology在D內(nèi)取一圓周l: x2y2r2(r0) 當(dāng)(0 0)D時(shí) 解 記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈 記L及l(fā)所圍成的復(fù)連通區(qū)域?yàn)镈1 應(yīng)用格林公式得其中l(wèi)的方向取順時(shí)針?lè)较?于是 例 4 計(jì)算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且 不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線 L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr

11、lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件v曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 設(shè)G是一個(gè)開(kāi)區(qū)域 P(x y)、Q(x y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 與路徑無(wú)關(guān) 否則說(shuō)與路徑有關(guān) 如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L1、L2 等式21LLQdyPdxQdyPdx恒成立 就說(shuō)曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technol

12、ogy二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件v曲線積分與路徑無(wú)關(guān) 這是因?yàn)?設(shè)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線 則L1(L2)是G內(nèi)一條任意的閉曲線 而且有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)相當(dāng)于沿 G 內(nèi)任上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件v曲線積分與路徑無(wú)關(guān) v定理2 (曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的判斷方法) 定

13、理證明 在 G 內(nèi)恒成立xQyP閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是等式數(shù) 則曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)(或沿 G 內(nèi)任意設(shè)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)相當(dāng)于沿 G 內(nèi)任上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)區(qū)域G是單連通區(qū)域 2)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足 那么定理的結(jié)論不能保證成立討論: 提示: .0 xQyP

14、QdyPdxQdyPdxLL與路徑無(wú)關(guān) 設(shè)L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線 L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?問(wèn) 是否一定成立？ 022Lyxydxxdy上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 這里P2xy Qx2 選擇從O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折線作為積分路線 則 ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222 .0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL與路徑無(wú)關(guān)11102dy 因?yàn)閤xQyP2 所以積分 Ldyxxydx22與路徑無(wú)關(guān) 例 5 計(jì)算Ldyxxydx22 其中 L 為拋

15、物線yx2上從O(0 0)到B(1 1)的一段弧 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 三、二元函數(shù)的全微分求積 表達(dá)式P(x y)dxQ(x y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分 那么在什么條件下表達(dá)式P(x y)dxQ(x y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí) 怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？ 二元函數(shù)u(x y)的全微分為du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv原函數(shù)

16、 如果函數(shù)u(x y)滿足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 則函數(shù)u(x y)稱為P(x y)dxQ(x y)dy的原函數(shù) v定理3 設(shè)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則P(x y)dxQ(x y)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x y)的全微分的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立 xQyP上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv求原函數(shù)的公式 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyx

17、Qyxu00),(),(),(0 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 ： 這里 例6 驗(yàn)證 2xydxx2dy在整個(gè)xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)u(x y)的全微分 并求這樣的一個(gè)u(x y). yPxxQ2所以P(x y)dxQ(x y)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x y)的全微分 ),()0 , 0(22),(yxCdyxxydxyxuyyCyxCxydxdy00220上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例7設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為Xxy2 Y2xy8 這變力確定了一個(gè)力場(chǎng) 證明質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí) 場(chǎng)力所做的功與路徑無(wú)關(guān) 解： 場(chǎng)力所作的功為 d