迅達(dá)2015高中數(shù)學(xué)_3-2_第2課時(shí)一元二次不等式的應(yīng)用同步導(dǎo)學(xué)案_北師大版必修5 (2)

1、 【迅達(dá)教育 助你成長(zhǎng)】 第1課時(shí)基本不等式知能目標(biāo)解讀1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的幾何意義.2.掌握基本不等式成立的條件；能應(yīng)用基本不等式解決求最值、證明不等式、比較大小、求取值范圍等問題.3.在使用基本不等式過程中，要注意定理成立的條件，在解題時(shí)，常采用配湊的方法，創(chuàng)造條件應(yīng)用均值不等式.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：理解并掌握基本不等式，借助幾何圖形說明基本不等式的意義，并用基本不等式求最值.難點(diǎn)：利用基本不等式求最值時(shí),等號(hào)成立的條件.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都是非負(fù)數(shù)，那么,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，我們稱上述不等式為基本不等式.其中稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)

2、，稱為a,b的幾何平均數(shù)，因此，基本不等式又稱為均值不等式.2.重要不等式：如果a,bR,那么a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取""）.證明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,當(dāng)ab時(shí)，（a-b）2>0；當(dāng)a=b時(shí)，（a-b）20.所以（a-b）20,即a2+b22ab.3.基本不等式的幾何解釋：基本不等式一種幾何解釋如下：以a+b長(zhǎng)的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使AC=a,CB=b.過點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD，連結(jié)AD、DB，易證RtACDRtDCB,則CD=CA·CB,即CD=.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中，當(dāng)且僅當(dāng)

3、點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)，等號(hào)成立.以上我們從幾何圖形中進(jìn)行了解釋，獲得了不等式（a0,b0）.其實(shí)質(zhì)是：在同一圓中，半徑不小于半弦，或者直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高.4.關(guān)于a2+b22ab和（a,b>0）（1）兩個(gè)不等式：a2+b22ab與成立的條件是不同的，前者要求a,b都是實(shí)數(shù)，后者則要求a,b都是正數(shù).如：（-3）2+（-4）22×（-3）×（-4）是成立的，而是不成立的.注意：(1)要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)這兩個(gè)不等式成立的條件.(2)兩個(gè)不等式：a2+b22ab，都是帶有等號(hào)的不等式.“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取”這句話的含義是“a=b”時(shí)，a2+b22

4、ab，中只有等號(hào)成立，反之，若a2+b22ab, 中的等號(hào)成立時(shí),必有“a=b”，這一條件至關(guān)重要，忽略它，往往會(huì)導(dǎo)致解題的失誤.（3）兩個(gè)不等式的應(yīng)用兩個(gè)不等式的結(jié)構(gòu)都是一邊為“和式”，另一邊為“積式”，因此兩個(gè)不等式都具有將“和式”化為“積式”以及將“積式”化為“和式”的放縮功能，可證明不等式.利用等號(hào)成立的條件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（?。┲道没静坏仁?，在求某些簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮栴}時(shí)，很有應(yīng)用價(jià)值.一般地： x,y都為正數(shù)時(shí)，（1）若x+y=S（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積xy取得最大值;（2）若xy=p（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值2.證明：x

5、,y都為正數(shù)，(1)和式為定值S時(shí)，有， xyS2.上式當(dāng)“x=y”時(shí)取“”號(hào)，因式當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S2；(2)積式xy為定值p時(shí)，有,x+y2.上式當(dāng)“x=y”時(shí)取“”，因此，當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2.注意：（1）在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，需滿足三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有變量均為正數(shù)，“定”是指變量的積或和為定值，“相等”是指等號(hào)成立的條件，以上三者，缺一不可.(2)在有關(guān)證明或求最值時(shí)，不等式都可連續(xù)多次使用，但需注意的是等號(hào)成立是否矛盾，只有當(dāng)各次應(yīng)用基本不等式時(shí)""號(hào)成立的條件一致時(shí)，“”才會(huì)取得，否則""將不

6、成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非負(fù)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.此不等式稱為基本不等式，其中稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a,b的幾何平均數(shù).2.利用基本不等式求最值（1）兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有，即若a>0,b>0,且a+b=M,M為定值，則ab，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立.（2）兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有，即若a>0,b>0,且ab=P,P為定值，則a+b,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立.答案1. a=b 2.(1)最大值 (2)最小值2思路方法技巧命題方向利用基本不等式比較代數(shù)式的大小例1已知0a1,0<b<1,則a+b,2,a2

7、+b2,2ab中哪一個(gè)最大？分析由已知a,b均為正數(shù)，且四個(gè)式子均為基本不等式中的式子或其變形，可用基本不等式來加以解決.解析方法一：a>0,b>0,a+b2,a2+b22ab,四個(gè)數(shù)中最大數(shù)應(yīng)為a+b或a2+b2.又0a1,0<b<1,a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a(a-1)+b(b-1)<0,a2+b2<a+b,a+b最大方法二：令a=b=,則a+b=1,2=1,a2+b2=,2ab=2××=,再令a=,b=,a+b=+=,2=2，a+b最大.說明運(yùn)用基本不等式比較大小應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.特殊值法是解決不等式的一個(gè)有

8、效方法，但要使特殊值具有一般性.變式應(yīng)用1已知m=a+ (a>2),n=22-b2 (b0),則m、n的大小關(guān)系是（）A.m>nB.m<n C.m=nD.不確定答案A解析a>2,a-2>0,又m=a+=(a-2)+ +2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a-2=,即（a-2）2=1,又a-2>0，a-2=1,即a=3時(shí)取等號(hào).m4.b0,b20,2-b2<2,22-b2<4,即n<4，m>n.命題方向利用基本不等式求最值例2（1）若x>0，求函數(shù)f(x)= +3x的最小值；（2）若x<0，求函數(shù)f(x)= +3x的最大值.分析利用基本不等

9、式求最值，必須同時(shí)滿足3個(gè)條件：兩個(gè)正數(shù)；其和為定值或積為定值；等號(hào)必須成立.三個(gè)條件缺一不可.對(duì)（1），由x>0,可得>0,3x>0.又因?yàn)?#183;3x=36為定值，且=3x(x>0)時(shí)，x=2,即等號(hào)成立，從而可利用基本不等式求最值.對(duì)（2），由x<0，得<0,3x<0,所以->0,-3x>0,所以對(duì) (-)+(-3x)可利用基本不等式求最值.解析（1）因?yàn)閤>0，所以>0,3x>0,所以f(x)= +3x2=2=12.當(dāng)且僅當(dāng)=3x,即x=2時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得最小值12.（2）因?yàn)閤<

10、;0,所以-x>0,所以-f(x)= (-)+(-3x)2=12,所以f(x)-12 .當(dāng)且僅當(dāng)-=-3x,即x=-2時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)x=-2時(shí)，f(x)取得最大值-12.說明利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，要注意體會(huì)“一正、二定、三相等”，當(dāng)兩個(gè)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)，首先將它們變?yōu)檎龜?shù)，即在前面加一個(gè)負(fù)號(hào)，再利用基本不等式求解.變式應(yīng)用2設(shè)x>0，求y=2-x-的最大值.解析x>0,x+2=4,y=2- (x+)2-4=-2.當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=2時(shí)等號(hào)成立，y取最大值-2.例3（1）已知x<，求函數(shù)y=4x-2+的最大值；（2）已知0<x<,求函數(shù)y=x(1-3

11、x)的最大值.分析此題不容易看出積或和為定值，必須對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行拼湊，讓其產(chǎn)生定值.解析（1）因?yàn)閤<，所以4x-5<0,即5-4x>0,所以y=4x-2+=- (5-4x+)+3.因?yàn)?-4x+2=2,所以y-2+3=1,當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值1.（2）因?yàn)?<x<，所以1-3x>0,所以y=x (1-3x)= ·3x(1-3x) 2=.當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x,即x=時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y取得最大值.說明解決本題的關(guān)鍵是拼湊.（1）中將4x-2拼湊成4x-5.(2)中將x拼湊成3x,從

12、而可產(chǎn)生定值.（1）中是積為定值.（2）中是和為定值.變式應(yīng)用3求函數(shù)y=+x(x>3)的最小值.解析y=+x=+(x-3)+3,x>3,x-3>0,+(x-3)2=2,當(dāng)且僅當(dāng)=x-3,即x-3=1,x=4時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)y=+x(x>3)取最小值2+3=5.命題方向利用基本不等式解決有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題例4某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷售價(jià)格每件x元（50<x80）時(shí)，每天銷售的件數(shù)為p=,若想每天獲得的利潤(rùn)最多，則銷售價(jià)為多少元？分析首先據(jù)題意建立關(guān)于利潤(rùn)的函數(shù)模型，利潤(rùn)銷售件數(shù)×（銷售價(jià)格-進(jìn)貨價(jià)格）.再應(yīng)用基本不等式解決最

13、值問題.解析解法一：由題意知利潤(rùn)S=（x-50）·=(x-50)·=.x-500，（x-50）+20.S2500，當(dāng)且僅當(dāng)（x-50），即x=60或x=40（不合題意舍去）時(shí)取=.解法二：由題意知利潤(rùn)S=（x-50）·令x50t，x=t+50（t>0），則S=2500.當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=10時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=60.答：當(dāng)銷售價(jià)格定為60元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最多.說明1.解實(shí)際應(yīng)用問題要遵循以下幾點(diǎn)：（1）在理解題意的基礎(chǔ)上設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一定要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)解析式，將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化，抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題

14、（純數(shù)學(xué)問題）；（3）在定義域內(nèi)（使實(shí)際問題有意義的自變量取值范圍）求出函數(shù)的最大值、最小值；（4）回到實(shí)際問題中，寫出正確答案.2.本題為分式函數(shù)模型，可將其轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式求解.若分子次數(shù)高時(shí)，可把分子拼湊成分母的形式，用分母除開；若分母次數(shù)高時(shí)，可把分母拼湊成分子的形式，反過來相除，此外，也可以先使用換元法，再拼湊上基本不等式的形式，去求最值.變式應(yīng)用4某企業(yè)開發(fā)一種新產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷量Q（萬件）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q (x>0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每年生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需要投入32萬元，若年銷售

15、額為“年生產(chǎn)成本的150”與“年廣告費(fèi)的50”之和，而當(dāng)年產(chǎn)銷量相等.(1)試將年利潤(rùn)P（萬元）表示為年廣告費(fèi)x(萬元)的函數(shù)；（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？解析（1）P=(32Q+3)·150x·50%-(32Q+3)-x=-+49.5(x>0)；（2）P- ()+49.5-2×4+49.5=41.5,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，即x=8時(shí)，P有最大值41.5萬元.答：當(dāng)年廣告費(fèi)投入8萬元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大，最大值為41.5萬元.名師辨誤做答例5已知a>0,b>0,且+=1,求a+b的最小值.誤解a>0,b>0+2=6,61，

16、ab36.a+b212.a+b的最小值為12.辨析上述解法錯(cuò)誤的原因是兩次使用均值不等式時(shí)，兩個(gè)等號(hào)成立的條件不同，即第一次等號(hào)成立的條件為+,即b=9a,第二次等號(hào)成立的條件為a=b，故a+b取不到最小值12.正解a>0,b>0，+1，a+b=(+)(a+b)=1+9+10+2=10+2×316.當(dāng)且僅當(dāng)，即b2=9a2時(shí)等號(hào)成立.解得a=4,b=12.故當(dāng)a=4,b=12時(shí)，a+b取最小值16.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.已知ab>0，則的取值范圍是（）A.（2，+）B.2，+)C.(4，+) D.4，+)答案B解析ab>0,>0, >0,2=2

17、.當(dāng)且僅當(dāng)，即a=b時(shí)，等號(hào)成立.2.不等式a2+44a中等號(hào)成立的條件是（）A.a=±2B.a=2C.a=-2D.a=4答案B解析因?yàn)閍2-4a+4=(a-2) 20,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取“”，所以a=2.3.如果a,b滿足0<a<b,a+b=1,則,b,2ab,a2+b2中值最大的是（）A. B.aC.2abD.a2+b2答案D解析解法一：0<a<b,1=a+b>2a,a<,又a2+b22ab,最大數(shù)一定不是a和2ab,又a2+b2=(a+b) 2-2ab=1-2ab,1=a+b>2,ab<,1-2ab>1-=,即a2+b2&g

18、t;.解法二：特值檢驗(yàn)法：取a=,b=,則2ab=,a2+b2=,>>>,a2+b2最大.二、填空題4.若x>0,則x+的最小值為.答案2解析x>0,x+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時(shí)，等號(hào)成立.5.x,yR,x+y=5,則3x+3y的最小值是.答案18解析3x>0,3y>0.3x+3y2=2=2·（）518,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)等號(hào)成立.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.y=x+B.y=sinx+,x (0,)C.y=D.y=+答案D解析A中，不滿足正數(shù)這一條件；B中，x (0, ),sinx(0,1),等號(hào)不成立；

19、C中，y=+,當(dāng)=時(shí)，x2+2=1,x2=-1(不成立)；D中>0,y=+2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1時(shí)，取最小值2.2.a,bR+，則,，三個(gè)數(shù)的大小順序是（）A. B. C. D. 答案C解析解法一：取a=2,b=8,則=5，=4，=3.2,選C.解法二：已知，又-=0.也可作商比較1.3.若a,bR，且ab>0,則下列不等式中，恒成立的是（）A.a2+b2>2abB.a+b2C. >D.2答案D解析本題考查不等式的性質(zhì)、基本不等式，可用排除法逐項(xiàng)判斷.用排除法：A:a=b時(shí)不滿足；B:a<0,b<0時(shí)不滿足；C:a<0,b<0時(shí)不滿足；D: &

20、gt;0, >0, +2=2.4.設(shè)x+3y=2,則函數(shù)z=3x+27y的最小值是（）A. B.2C.3D.6答案D解析x+3y=2,x=2-3y.z=3x+27y=32-3y+27y+27y26，當(dāng)且僅當(dāng)=27y,即27y=3,33y=3,3y=1,y=.即x=1,y=時(shí)，z=3x+27y取最小值6.5.某工廠第一年產(chǎn)量為A,第二年的增長(zhǎng)率為a, 第三年的增長(zhǎng)率為b,這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,則（）A.x= B.xC.x D.x答案 B解析 這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，A(1+x) 2=A(1+a)(1+b)，(1+x) 2=(1+a)(1+b),由題設(shè)a0,b0.1+x=1+，x.等號(hào)在1

21、+a=1+b即a=b時(shí)成立.6.若x>4，則函數(shù)y=x+（）A.有最大值-6 B.有最小值6C.有最大值-2 D.有最小值2答案 B解析 x>4,x-4>0,y=x-4+42+46.當(dāng)且僅當(dāng)x-4=，即x-4=1，x=5時(shí)，取等號(hào).7.若a>b>1,P=,Q= (lga+lgb),R=lg (),則（）A.R<P<Q B.P<Q<RC.Q<P<R D.P<R<Q答案B解析由ab1,得lgalgb0，Q= (lga+lgb)=P，R=lg()lg= (lga+lgb)=Q，RQP.8.設(shè)正數(shù)x,y滿足x+4y=40,則

22、lgx+lgy的最大值是（）A.40B.10C.4D.2答案B解析x+4y24, =10,當(dāng)且僅當(dāng)x=4y即x=20,y=5時(shí)取“”，xy100,即（xy）max=100,lgx+lgy=lg(xy)的最大值為lg100=2.二、填空題9.周長(zhǎng)為l的矩形對(duì)角線長(zhǎng)的最小值為.答案 l解析設(shè)矩形長(zhǎng)為a,寬為b,則a+b=,(a+b) 2=a2+b2+2ab2a2+2b2，a2+b2，對(duì)角線長(zhǎng) =l.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取"".10.若a>0,b>0,a+b=2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a,b恒成立的是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.ab1；;a2+b22;a3+b33;2.答案解析ab()2=()2=1,成立.欲證,即證a+b+22，即20,顯然不成立.欲證a2+b2=（a+b）2-2ab2,即證4-2ab2,即ab1,由知成立.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)3a2-ab+b2 (a+b) 2-3ab4-3abab,由知，ab不恒成立.欲證+2,即證2,即證ab1,由知成立. 11.已知x，yR+，且滿足=1，則xy的最大值為.答案3解析x>0,y>0,且1=2,xy3,當(dāng)且僅當(dāng),即x=,y=2時(shí)，等號(hào)成立.12.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是答案解析題考查了均值不等式及學(xué)生靈活運(yùn)用該知識(shí)的能力.由