1989屆小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽初賽(2)

1、89屆小學(xué)數(shù)學(xué)奧林?？烁傎惓踬?. 計算：23410llx(l+2)(l+s)x(l+24-3)(l+2+l)x(l+24-3|+4)(i +2 +3+- -4-9)x(l-i-2 +3+- + id)2. 1到1989這些自然數(shù)中的所有數(shù)字之和是o3把若干個自然數(shù)，2, 3,乘到一起，如果已知這個乘積的最末13位恰好都 是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是o1111 丄丄4. 在1, 2, 3, 4, 5,，»,而中選出若干個數(shù)，使它們的和大于3,至 少要選個數(shù)。abcbd -efag fff5. 在右邊的減法算式屮，每一個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字, 那么d+g=

2、o6. 如圖，abfd利cdef都是矩形，ab的長是4厘米，bc的長是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是平方厘米。7. 甲乙兩包糖的重量比是4： 1,如果從甲包取出10克放入乙包后，甲乙兩包糖的重量比變?yōu)?:5,那么兩包糖重量的總和是克。8. 設(shè)1, 3, 9, 27, 81, 243是六個給定的數(shù)，從這六個數(shù)中每次或者取一個，或者取幾個不同的數(shù)求和（每個數(shù)只能取一次），可以得到一個新數(shù)，這樣共得到 63個新數(shù)。如果把它們從小到大依次排列起來是1, 3, 4, 9, 12那么第60個 數(shù)是。9. 有甲、乙、丙三輛汽車各以一定的速度從a地開往b地，乙比丙晩出發(fā)10分鐘，出發(fā)后40分鐘追上丙。甲比乙

3、又晚出發(fā)20分鐘，出發(fā)后1小時40分追上 丙，那么甲出發(fā)后需用分鐘才能追上乙。10. 有一個俱樂部，里面的成員可以分成兩類，第一類是老實人，永遠(yuǎn)說真話；第二類是騙子，永遠(yuǎn)說假話。某天俱樂部全體成員圍著一張圓桌坐下，每個老實人的 兩旁都是騙子，每個騙子的兩旁都是老實人。記者問俱樂部成員張三：俱樂部共 有多少成員？張三回答：有45人。李四說：張三是老實人。那么張三是老實人還 是騙子？張三是o11. 某工程如果由第一、二、三小隊合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五 小隊合干需耍7天完成；如果由第二、四、五小隊合干4天完成；如果出第一、三、四小隊合干需要42天才能完成。那么這五個小隊一起合干需要

4、天才能完成這項工程。12把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù)，它與原來的數(shù)加 起來恰好是某個自然數(shù)的平方，這個和數(shù)是o13. 把自然數(shù)1, 2, 3,，998, 999分成三組，如果每一組數(shù)的平均數(shù)恰好相等地，那么這三個平均數(shù)的和是o14. 某種商品的價格是：每一個1分錢，每五個4分錢，每九個7分錢。小趙的錢至多能買50個，小李的錢至多能買500個。小李的錢比小趙的錢多分錢。15個自行車選手在相距950千米的甲、乙兩地之間訓(xùn)練，從甲地出發(fā)，去時每 90千米休息一次；到達(dá)乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次。 他發(fā)現(xiàn)恰好有一個休息的地點與去時的一個休息地點相同，那么

5、這個休息地點距甲 地有千米。16. 現(xiàn)有四個自然數(shù)，它們的和是1111,如果要求這四個數(shù)的公約數(shù)盡可能地大，那么這四個數(shù)的公約數(shù)最大可能是。17. 桌面上有一條長度為100厘米的紅色直線，另外有直徑分別是2、3、7、15厘米的圓形紙片若干個，現(xiàn)在用這些圓形紙片將桌上的紅線蓋住，如果要使所用紙片 的圓周長總和最短，那么這個周長總和是o18. 右圖是一個邊長為2厘米的正方體，在止方體的上面的正中向下挖一個邊長為1厘米的正方體小洞；接著在小洞的底面正中再向下挖一個邊長為2厘米的小洞；第三個小洞的挖法與前兩個相1同，邊長為n厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是平方厘米。19. 小明在左衣袋和右衣袋中

6、分別裝有6枚和8枚硬幣，并且兩衣袋中硬幣的總錢 數(shù)相等，當(dāng)任意從左邊衣袋取出兩個硬幣和右邊衣袋的任意兩個硬幣交換時，左邊 衣袋的總錢數(shù)要么比原來的錢數(shù)多二分，要么比原來錢數(shù)少二分。那么兩個衣袋中 共有錢。20. 從1, 3, 5, 7, -97, 99中最多可以選出個數(shù)，使它們當(dāng)中的每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)。1989小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題決賽2. 某水池可以用甲、乙兩個水管注水單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿.現(xiàn)在要求10小時注滿水池，并且屮乙兩管合放的時間盡可能地少， 那么甲乙兩管合放最少需小時.3. 有10張長3厘米，寬2厘米的紙片，將它們按照下圖的樣子擺放在桌面上:那么，

7、這10張紙片所蓋住桌面上的面積是平方厘米.4. 用圓圈列出的10個數(shù)按時針次序可以組成許多個整數(shù)部分是一位的循環(huán)小 數(shù)，例如l8929i加，如圖所示，那么在所有這種數(shù)中最大的一個是5. 有一列數(shù)1, 1989, 1988, 1987,，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差，那么第1989個數(shù)是6. 甲乙兩地之間有一條公路，李明從甲地出發(fā)步行往乙地；同時張平從乙地出發(fā) 騎摩托車往甲地.80分鐘后兩人在途中相遇，張平到達(dá)甲地后，馬上折回往乙 地，在 第一次相遇后乂經(jīng)過20分鐘張平在途中追上李明.張平到達(dá)乙地后乂馬上 折回往甲地，這樣一直下去，當(dāng)李明到達(dá)乙地時，張平追上李明的次數(shù)是

8、 次.7. 圖（a）是一個直徑是3厘米的半圓，ab是直徑.讓a點不動，把整個半圓逆 時針轉(zhuǎn)60°角，此時b點移動到釧點，見圖（b）,那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米.（兀=3. 14）8. 有4個不同的自然數(shù)，它們當(dāng)中任意兩個的和是2的倍數(shù)；任意3個數(shù)的和是3的倍數(shù)，為了使得這4個數(shù)的和盡可能小，這4個數(shù)分別是9. 在桌面上放置3個兩兩重迭、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100平方厘米，蓋住桌面的總面積是144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是42平方厘 米.那么圖中3個陰影部分的面積和是平方厘米.10. 圖中，把正方體的6個表面都分成9個相等的正方形.現(xiàn)在用紅、黃、藍(lán)3種 顏

9、色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形顏色不同.那么用紅色染成的正方 形的個數(shù)最多是個.11. a、b、c i) e5個人參加乒乓球賽，每兩人都要賽一盤，并且只賽一盤.規(guī)定勝者得2分，負(fù)者得0分.現(xiàn)在知道比賽結(jié)果是：a和b并列第一名，c是第二 名，d和e并列第四名，那么c的得分是分.12. 從1, 2, 3, 4,1988, 1989這些自然數(shù)中。最多可以取個數(shù)，其中每兩個數(shù)的差不等于4.13. 在長260厘米，寬150厘米的臺球桌上，有a, b, c, d, e, f, 6個球袋，其中ab=ef=130厘米.現(xiàn)在從a處沿45°方向打出一球，如圖所示，碰到桌邊 后又沿45方向彈岀，

10、當(dāng)再碰到桌邊時，仍沿45方向彈出，如此繼續(xù)下去，直到落 入某個袋屮為止.那么它將落入袋屮.14. 將14個互不相同的自然數(shù)，從小到大依次排成一列，已知其總和為170,如果去掉最大的數(shù)和最小的數(shù)那么剩下的數(shù)的總和為150,在原來已排成的次序屮第 二個數(shù)是.15. 將自然數(shù)1, 2, 3,依次寫下去組成一個數(shù)：123456789101112113,如 果寫到某個自然數(shù)時，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個自然數(shù)是 初賽：1. 【解】將11989中的每個數(shù)看成“四位數(shù)”,位數(shù)不夠的前面補“0” ,從00001999,所有數(shù)的數(shù)字之和是(0十1 + 2 h 9) x300x2+1x 1000=

11、 45x600+1000 = 28000而從19901999中的所有數(shù)的數(shù)字之和為1x10 + 9x2x10十(0+19)=10 十 180 + 45= 235從而，所求所有數(shù)字之和為28000235 = 277652. 【解】1x2xx5o中有10 + 2=12（個）因數(shù)5（在25、50中，因數(shù)5各出現(xiàn)2 次，在5的其它倍數(shù)中各出現(xiàn)一次）于是，1x2xx55的末尾有13個0,且55為最小的這樣的數(shù)，即最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小為553. 【解】首先a=l, b = 0, e=9o再由十位的運算可知f=8,從而c=7,并且10 +dg=8 即 g d=2, g 可能為 6, 5, 4,相應(yīng)地，d 為

12、 4、3、2。于是 d+g =10、8、 64. 【解】陰影部分的面積和= 100x3-144-2x42= 72（平方厘米）5. 【解】兩包糖重量的總和是47_10（4+! 7 + 5）13= 104- 6046 =b （克）6. 【解】根據(jù)題意，丙行50分鐘的路程乙只需40分鐘，所以卞:% =4 : 5；丙行130分鐘的路程。甲只需100分鐘，人：斥= 10： 13從而嶺：陀=26 : 25因為乙早出發(fā)加分鐘，所以甲出發(fā)后追上乙所花的時間為25x204- （26-25） =500（分鐘）.7. 【解】張三是騙子因為騙子與老實人是相間地圍著圓桌坐的，所以兩考人數(shù)相 等，俱樂部的人數(shù)必定是偶數(shù)，

13、張三講的是假話，他是騙子.&【解】設(shè)原來的兩位數(shù)為云，則交換i位數(shù)字與個位數(shù)字后的兩位數(shù)為云，兩 個數(shù)的和為卩 + * = 10x + y+10y + x=llx （x+y）是11的倍數(shù)，因為它是平方數(shù)，所以也是11x11 = 121的倍數(shù)但這個和< 100+100 = 200<121x2,所以這個和數(shù)為 121。9. 【解】小趙的錢至多能買50個，而50 = 9x5十5x1因此，小趙有7x5 + 4x 1 = 39（分）小李的錢至多能買500個。而500 = 9x55 + 5x1因此，小李有7x55+4x1 = 389（分）于是小李比小趙多389-39 = 350（分）1

14、0. 【解】設(shè)這個休息地距屮地有a公里，顯然a為90的倍數(shù).且a-50為100的倍數(shù)，此時a就只能為450.從而這個休息地距甲地有450公里.11. 【解】這些圓紙片的直徑的和2100.所以它們的周長的和2100皿314（厘米）另一方面，這些圓可以恰好將長為100厘米的紅線蓋住（例如用10個7厘 米，2個15厘米的圓，或50個2厘米的圓）.因此，圓周長總和最短時，這個周長總和是314厘米.1 i i 112. 【解】2x2x6+1x1x4+ x 弓 x4+彳 x 債 x4= 29. 25（平方厘米）i _ 3 _ 4 _ _ 1013. 解原式=-而 3660 45x551 丄丄 丄丄=1 （

15、1 3 ） （ 3 6） （ 6 10 ）一（45 55 ）i(1-55)1=5514.【解】2 3 456 781+1+1+1 21 1 1= 24-4 + 5 + (7 + 10=2+ 45 78 <2+4 x4 = 3i i 2 ) + (8 4-9)<24-4+ 4 + 4 + 4 =3i+l+l+l+l+l+l+uul+l23456789 1011= 2+45 78 + 9 + 10+ 11i i j_ i i l 丄丄 i i i _i j_ j_=2+4 + (5+ ») + (? + 9) + (8 + a+ n)>2+4+ 4 + 4+8 +a +

16、 121111= 3+4 (3+5)-8 >3所以至少要選11個數(shù)15. 【解】最大的(即第63個數(shù))是1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364第60個數(shù)(倒數(shù)第4個數(shù))是364-1-3 = 360.2ii 丄16. 【解】1 一 （12+亍+ ： x2+42）3=4（夭）.'即5個小隊合干需要4天.【注】第二、四、五3個小隊合干也只需要4天，所以在木題中第一、三這2個小 隊實際上沒有人干活，這是不符合實際的。命題者考慮不夠周到.17. 【解】若設(shè)每一組的平均數(shù)均為a0+999）x999別總和為999a=2a = 500 500x3=1500從而這三組平均教

17、的和為1500.18. 【解】這4個數(shù)的公約數(shù)必為1111的約數(shù)，而 1111 = 11x101又 11 = 1 十 2 + 3 + 5所以,101, 2x101, 3x101, 15x101的和為1111,且最大公約數(shù)為101因此，這四個數(shù)的公約數(shù)最大是10119. 【解】設(shè)右邊衣袋的硬幣“町、坊比左邊的巧、町多2分.右邊的巧、為比左 邊的巧、禺少2分，于是這8枚硬幣的錢數(shù)正好相等.由于兩邊錢數(shù)相等，所以左邊剩下的內(nèi)、右比右邊的巧、毎多2分，比， 右邊的引、切也多2分，從而巧、毎的錢數(shù)是2分，引、切的錢數(shù)也是2分，而 與、右的錢數(shù)是4分.由于左邊的兩枚硬幣可以任意選取，而且不可能比2分錢少2

18、分，所以左 邊每兩枚的錢數(shù)是4分，左邊6枚共12分，兩個衣袋共有24分錢.20. 【解】35, 37,，99這33個數(shù)屮，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)（因為 35x3>99）.另一方面，將1，3, 5,，99這50個數(shù)，每一個都寫成獷t的形 式.其中a是0或口然數(shù)，t是不能被3整除的自然數(shù)，由于1, 3,，99中有 17個數(shù)是3的倍數(shù)，剩下50-17 = 33不是3的倍數(shù)，所以t的值只有33種.于是從1, 3, 5,，99中任取34 個數(shù)，其屮必有兩個數(shù)的t相同，從而一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù).因此答案是33.決賽:1. 【解】原式=4 x 5 x （4. 85 + 6. 15）-3. 6

19、+ 5. 5-4 x 21 1 1=4 x3.6x （11-d+11x （0. 5-3）11=9+ 65=10 6丄 xuj 唸 t2. 【解】» （小時）.3. 【解】第一張紙片蓋住的面積是3x2 = 6（平方厘米）后而每增加一張（紙片）.多 蓋（3-2） x2 = 2（平方厘米）.于是，這10張紙片蓋住桌面上的面積是6 + 2x9： 24（平方厘米）4. 【解】最大的是9.2918929155. 【解】數(shù)列 1, 1989, 1988, 1, 1987, 1986, 1, 1985, 1984,中每隔 3 個數(shù) 有一個1,去掉1以后，每個數(shù)比前一個少119894-3=663,所以

20、第 1989 個數(shù)是 1989-663x2 + 1 = 664.6. 【解】假設(shè)李明20分鐘行走1份，則李明80分鐘走4份，于是，張平在20分 鐘內(nèi)可行駛4x2 + 1=9（份）即李明與張平的速度比為1 ： 9由此，當(dāng)李明從甲走到乙時張明從乙到甲，從甲到乙，共走了 9次于是，張平共追上李明7. 【解】陰影部分的面積等于全部圖形的面積減去一個直徑為3厘米的1半圓的面積，從而等于一個半徑為3厘米的圓的面積的懇即16 x ji x 3a = x3. 14x9-4.71(平方厘米)&【解】任兩個數(shù)的和是2的倍數(shù)，所以這些數(shù)的奇偶性相同任三個數(shù)的和是3的倍數(shù)，所以這些數(shù)除以3,所得余數(shù)必定相同(

21、否則在 三個數(shù)的和中換一個數(shù)，和將不是3的倍數(shù))于是，這些數(shù)除以6所得余數(shù)相同。和最小的四個數(shù)是1, 7(=1+6),13( = 7+6), 19=(13 + 6).9.【解】陰影部分的面積和= 100x3-144 2x42 = 72(平方厘米)10.【解】最多是22個.將圖中三個面上打點的方格染紅，打x的方格染黃，其余的染藍(lán)，它們的 對面也同樣地涂色，這樣就有(5 + 4 + 2) x2 = 22個方格染紅，而且有公共邊的正方形顏色不同【注】要證明紅色的正方形不能超過22個，需要用枚舉法，將正方體切成 三層，上面一層只有一種方式使紅色的方格超過8個，即圖2.中央一層最多可染6個紅色方格，即圖

22、3。但上一層紅色方格有9個時, 中央一層只能染4個紅色方格，所以紅色方格的總數(shù)£9 + 4 + 9或8 + 6 + 8.即不超過22個.11【解】每個人的得分都是偶數(shù)，d、e二人比賽時，勝者得2分，所以d、e的 得分至少是2, c的得分至少是4,如果c的得分大于4,那么a、b的得分大于6, 五人總分大于2x2 + 4 + 6x2 = 20但五個人共賽5x44-2=10盤，總得分為10x2 = 20因此，c的得分只能是4(這時a、b各得6分).12.【解】將11989排成四個數(shù)列：1,5,9,，1985, 19892,6,10,，19863,7,11.，19874,8,12,，1988每個數(shù)列相鄰兩項的差是4,因此，要使取出的數(shù)中，每兩個的差不等于4, 每個數(shù)列中不能取相鄰的項，因此，第一個數(shù)列只能取出一半，因為它有(1989 -1)4-4+1=498 項，所以