屆高三模擬考試試卷-南師三模數(shù)學(xué)

1、2015屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)(滿分160分，考試時間120分鐘)20155參考公式：棱錐的體積公式V棱錐Sh，其中為S棱錐的底面積，h為棱錐的高一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 若Aa，B0，a2，AB，則A_2. 設(shè)復(fù)數(shù)z1i，若1，對應(yīng)的向量分別為和，則|的值為_3. P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是集合A1，0，1，2中的元素，則此點(diǎn)正好落在拋物線yx21上的概率為_4. 下圖是某個容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則在區(qū)間4，5)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)為_(第4題)(第5題)5. 上圖是一個算法的流程圖，則輸出的n_6. 一塊邊長為10 cm的正方形鐵

2、片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器當(dāng)x6 cm時，該容器的容積為_cm3.7. 若雙曲線x2my21的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則實(shí)數(shù)m的值是_8. 不等式2的解集是_9. 已知an是首項為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項和，且9S3S6，則數(shù)列的前5項和為_(第10題)10. 已知函數(shù)f(x)2sin(x)(0，02)的部分圖象如圖所示，則f()_11. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_12. 已知正三角形ABC的邊長為2，圓

3、O是該三角形的內(nèi)切圓，P是圓O上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為_13. 非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：(1) 對任意a、bG，都有abG；(2) 存在eG，使得對一切aG，都有aeeaa，則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算： G非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)的加法； G平面向量，為平面向量的加法； G二次三項式，為多項式的加法； G虛數(shù)，為復(fù)數(shù)的乘法其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是_(寫出所有“融洽集”的序號)14. 設(shè)曲線y(ax1)ex在點(diǎn)A(x0，y1)處的切線為l1，曲線y在點(diǎn)B(x0，y2)處的切線為l2.若存在x0，使得l1l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_二、 解答題：本大題共6小題，共9

4、0分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)如圖，在四邊形ABEF中，AFBF，O為AB的中點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直(1) 求證：AF平面CBF；(2) 設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM平面DAF.16. (本小題滿分14分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知3cos2C10cos(AB)10.(1) 求cosC的值；(2) 若c1，cosAcosB，求邊a的值17. (本小題滿分14分)某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金y(單位：萬元)隨年

5、產(chǎn)值x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不低于7萬元，同時獎金不超過年產(chǎn)值的15%.(1) 若某企業(yè)年產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎金，試分析函數(shù)ylgxkx5(k為常數(shù))是否為符合政府要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因(已知lg20.3，lg50.7)；(2) 若采用函數(shù)f(x)作為獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值18. (本小題滿分16分)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e.直線l：yexa與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè).(1) 證明：1e2；(2) 若，MF1F2的周長為6，寫出

6、橢圓C的方程；(3) 確定的值，使得PF1F2是等腰三角形19. (本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)(x1)exax2，其中aR.(1) 當(dāng)a0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 求函數(shù)f(x)的極值；(3) 當(dāng)a(0，1時，若函數(shù)f(x)在0，a上的最大值為M(a)，求M(a)20. (本小題滿分16分)已知無窮數(shù)列an滿足an1a·an，且a15.(1) 若ab0，求數(shù)列an的前n項和Sn；(2) 若ab1，是否存在整數(shù)a，使得0<a1 001a<0.1成立？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由2015屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)2

7、1. 【選做題】 在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分若多做，則按作答的前兩題計分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟A. (選修41：幾何證明選講)如圖，PAQ是直角，圓O與AP相切于點(diǎn)T，與AQ相交于兩點(diǎn)B，C.求證：BT平分OBA.B. (選修42：矩陣與變換)變換T1是逆時針旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對應(yīng)的變換矩陣是M2.(1) 求點(diǎn)P(2，1)在T1作用下的點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 求曲線yx2依次在T1，T2變換的作用下所得曲線的方程C. (選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x

8、軸正半軸為極軸，曲線C1的極坐標(biāo)方程為2cos，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1) 當(dāng)時，求曲線C1與C2公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2) 若，當(dāng)變化時，設(shè)曲線C1與C2的公共點(diǎn)為A，B，試求AB中點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并指出它表示什么曲線D. (選修45：不等式選講)已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x2y3.【必做題】 第22、23題，每小題10分，共20分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF1.(1) 求直線DF與平面ACEF所成角的正弦值；(2) M為AB的中點(diǎn)，試在線段EF上找一點(diǎn)P，使

9、平面PCD與平面PCM相互垂直23. 設(shè)數(shù)列an，定義如下：an表示小于等于n的正整數(shù)中完全平方數(shù)的個數(shù)，即當(dāng)k2nk22k(kN*)時，ank，記Sna1a2an(nN*)(1) 分別求a88，S88的值；(2) 是否存在n使Sn880？若存在，求出n；若不存在，說明理由2015屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)1. 12. 3. 4. 30解析：對于在區(qū)間4，5)的頻率/組距的數(shù)值為0.3，而總數(shù)為100，因此頻數(shù)為30.5. 96. 487. 8. (，0)9. 解析：顯然q1，所以1q39q2，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，前5項和T5.10. 解析：由圖象知最小正周期T，故

10、3.又x時，3·2k(kZ)，可得，所以f()2sin.11. 0解析：f(0)f(0)得f(0)0，假設(shè)f(n)0，因為點(diǎn)(n，0)和點(diǎn)(n1，0)關(guān)于x對稱，所以f(n1)f(n)f(n)0，因此，對一切正整數(shù)n都有f(n)0，從而f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.12. 613. 14. 15. 證明：(1) 因為平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，所以CB平面ABEF.(2分)又AF平面ABEF，則AFCB，(4分)又AFBF，且BFBCB，BF，BC平面CBF，所以AF平面CBF.(7分)(2) 設(shè)DF的中點(diǎn)為N，則MN綊CD.又AO

11、綊CD，則MN綊AO，所以四邊形MNAO為平行四邊形，所以O(shè)MAN.(12分)又AN平面DAF，OM平面DAF，所以O(shè)M平面DAF.(14分)16. 解：(1) 由3cos2C10cos(AB)10，得3cos2C5cosC20，(3分)即(cosC2)(3cosC1)0，解得cosC或cosC2(舍去)(6分)(2) 由cosC得sinC，則cosBcos(AC)cosAsinA，(9分)代入cosAcosB，得cosAsinA，從而得sin(A)1，其中sin，cos，0<<.則A，于是sinA.(12分)由正弦定理得a.(14分)17. 解：(1) 對于函數(shù)模型f(x)lgx

12、kx5(k為常數(shù))，x100時，y9，代入解得k，(3分)所以f(x)lgxx5.當(dāng)x50，500時，f(x)是增函數(shù)，但x50時，f(50)8lg2>7.5，即f(x)x不恒成立，故該函數(shù)模型不符合要求(6分)(2) 對于函數(shù)模型f(x)，即f(x)15，a為正整數(shù)，函數(shù)在50，500上遞增；f(x)minf(50)>7，解得a<344；(9分)要使f(x)對x50，500恒成立，即，3x2276x20a0恒成立，(11分)所以a315.綜上所述，315a<344，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為315.(14分)18. (1) 證明：(證法1)因為A、B分別是直線

13、l：yexa與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是，(0，a)由得這里c，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是.(2分)由得.即解得1e2.(4分)(證法2)因為A、B分別是直線l：yexa與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是，(0，a)設(shè)M的坐標(biāo)是(x0，y0)由，得，所以(2分)因為點(diǎn)M在橢圓上，所以1，即1，所以1.e42(1)e2(1)20，解得e21，即1e2.(4分)(2) 解：當(dāng)時，c，所以a2c.(6分)由MF1F2的周長為6，得2a2c6.(8分)所以a2，c1，b2a2c23.橢圓的方程為1.(10分)(3) 解：(解法1)因為PF1l，所以PF1F290°BAF1為鈍角，

14、要使MF1F2為等腰三角形，必有|PF1|F1F2|，即|PF1|c.(12分)設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由|PF1|dc，(14分)得e.所以e2，于是1e2.即當(dāng)時，PF1F2為等腰三角形(16分)(解法2)因為PF1l，所以PF1F290°BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|F1F2|.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)，則解得(10分)由|PF1|F1F2|得4c2，兩邊同時除以4a2，化簡得e2.從而e2.(14分)于是1e2.即當(dāng)時，PF1F2為等腰三角形(16分)19. 解：(1) 當(dāng)a0時，f(x)(x1)ex，f(x)xex，(2分)x(，0)時，f(

15、x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；x(0，)時，f(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增(4分)(2) f(x)x(ex2a)， a0時，因為ex2a>0，x(，0)時，f(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；x(0，)時，f(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增x0時，函數(shù)f(x)取極小值f(0)1.(6分) a>0時，令f(x)x(ex2a)0，解出x10或x2ln(2a)若ln(2a)0，即a，f(x)x(ex1)0，xR，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，沒有極值；若ln(2a)>0，即a>，x(，0)和x(ln(2a)，)時，f(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；x(0，ln(2a)時，f(x)<

16、;0，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)f(x)的極大值是f(0)1，極小值是f(ln(2a)2a(ln(2a)1)a(ln(2a)2；若ln(2a)<0，即0<a<，x(，ln(2a)和x(0，)時，f(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；x(ln(2a)，0)時，f(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)f(x)的極大值是f(ln(2a)2a(ln(2a)1)a(ln(2a)2，極小值是f(0)1.綜上，當(dāng)a0時，f(x)有極小值1，無極大值；當(dāng)a>時，f(x)有極大值1，極小值2a(ln(2a)1)a(ln(2a)2；當(dāng)0<a<時，f(x)有極大值2a(ln(2a)1)a(ln

17、(2a)2，極小值1；當(dāng)a時，沒有極值(10分)(3) f(x)x(ex2a)，f(x)ex(x2a)0，解出x10或x2ln(2a) 若ln(2a)0，即0<a時，x0，a，f(x)0，函數(shù)在0，a上單調(diào)遞增，M(a)f(a)(a1)eaa3. 若ln(2a)>0，即<a1，令g(a)ln(2a)a，g(a)>0，所以g(a)在上遞增，所以g(a)g(1)ln21ln<0，從而ln(2a)<a，所以ln(2a)(0，a)，所以x(0，ln(2a)時，f(x)<0，當(dāng)x(ln(2a)，)時，f(x)>0，M(a)maxf(a)，f(0)(a1)e

18、aa3，1令h(a)(a1)eaa31，h(a)a(ea3a)，令k(a)ea3a，則k(a)ea3<e3<0，所以k(a)在上遞減，而kk(1)(e3)<0，所以存在唯一的零點(diǎn)x0使得k(x0)0，且當(dāng)a時，k(a)>0，則h(a)>0；當(dāng)a(x0，1)時，k(a)<0，則h(a)<0.所以h(a)在上單調(diào)遞增，在(x0，1)上單調(diào)遞減h>0，h(1)0，所以h(a)0在上恒成立，當(dāng)a1時，等號成立即f(a)f(0)綜上，M(a)f(a)(a1)eaa3.(16分)20. 解：(1) 若a0，b0，an1， a15，a2，a35，a4，所以當(dāng)n

19、為奇數(shù)時，Sn5··；當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn5··.(3分)若a0，b0時，an1a·an，所以Sn(6分)若a0，b0時，an10，不合題意(2) n2時， anan1， aa2. aa2，aa2，aa2， aa2 000>2 025, a1 001>45.(10分)下面證明a1 001<45.1. 45.12(450.1)22 02590.01，只要證a<2 034. an是單調(diào)遞增數(shù)列，aa200>225， a2 025<2 025<2 025442 033. a1 001<45.1.綜上所述，存在a45.(16分)2015屆高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)附加題參