礦大高數(shù)84多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則課件

1、1第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則xdududydxdyd推廣推廣（1）多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t）多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t（2）多元復(fù)合函數(shù)的全微分）多元復(fù)合函數(shù)的全微分dxxufduufdy)()()(2一一. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 都在點(diǎn)都在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo),函數(shù)函數(shù))(, )(tvtut),(vufz 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可微處可微, ),(vu)(),(ttfz在點(diǎn)在點(diǎn)ttdvdvztduduztdzdvuz則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)tt證證: 設(shè)設(shè) t 取增量取增

2、量, tvu ,vvzuuzz)()(22vutvvztuuztzto)()(o則相應(yīng)中間變量有增量則相應(yīng)中間變量有增量可導(dǎo)可導(dǎo), 且有鏈?zhǔn)椒▌t且有鏈?zhǔn)椒▌t3令令 , ,則有則有0 t,0,0vuto)(tdvdvztduduztdzd( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 )tvvztuuztzto)(0t（vuztt)()(22vu )(o )()(22tvtu0時(shí)時(shí), ,根式前加根式前加“”號號) )tdvdtvtdudtu,4推廣推廣:1）中間變量多于兩個(gè)的情形。例如）中間變量多于兩個(gè)的情形。例如)(, )(, )(,),(twtvtuwvufz則則在它們都可微的條件下在它們都可微的條件下tdzd3

3、21fff2）中間變量是多元函數(shù)的情形。例如）中間變量是多元函數(shù)的情形。例如),(, ),(,),(yxvyxuvufz則則在它們都可微的條件下在它們都可微的條件下xz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttduduztdvdvztdwdwzxuuzxvvzyuuzyvvz5又如又如),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時(shí)，則有當(dāng)它們都具有可微條件時(shí)，則有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里這里xzxfxz表示表示固定固定 y 對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)xf表示表示固定固定 v 對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)口訣口訣 : 連線相乘連線相乘, 分線相加分線相加。xfx

4、vvfyvvf與與不同不同v6例例1. 設(shè)設(shè)yxvyxuvezu,sin求 . yzxz,解解：xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx7例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyx求yuxu,解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos

5、28例例 3. 設(shè) ,sintvuz.dtdzztvutttdzdtevtttetcos)sin(costduduztdvdvztz求全導(dǎo)數(shù),teu tvcos解解:tusintcos9 例例 4 4 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfw ，f具有二階具有二階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求xw 和和zxw 2. . 解解 令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf ),(vufw wvuzyxzyx10 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11

6、;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 21ff,vuzyxzyx11.,),(522yxzfxyxyfxz 求求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)其中其中設(shè)設(shè)例例:解解,xyvxyu令令),(vufxz2fvuxyxyxzxf22xxvvfxuufyfxxyfxxfvu 2222)(12vuf yxf yxf22yxz2)()()(vuf yyxf yyfyx22)(vuffuvxyxyyvvfyuufx 2yvvfyuufyfuuuyvvfyu

7、ufyxfxvvv22vvuuvuf yxfxyfxf 32313。求求具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，、，且且，設(shè)設(shè)例例dxdzgfxgyxyfz)()(6 解解zxyxxzdxdzdxdyyzyxyf)()()(xgxxyfgfxf y 14例例7: 已知二階連續(xù)可導(dǎo)二階連續(xù)可導(dǎo)其中其中g(shù)fxygyxyxfZ,),( xyz2求解解:1fxyz 22fyx gx1xyz2 x12111fyfy 221fy 2yx22211fyf y gx21gxy 3111fyxf 221fy 223fyx gx21gxy 31f 15二二. 復(fù)合函數(shù)的全微分復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為ydyzxdxzzdxdxvvzxuuz)(ydyvvzyuuz)(uzvzuz這說明,無論 u , v 是自變量還是中間變量, 其全微分表達(dá)式一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性 . )(ydyuxdxu)(ydyvxdxv則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 16例例8.解解:) (dzdudveusin )cos( )sin(yxyxeyxdxyxyxyeyx)cos()sin()cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvdveu