§61向量的概念與線性運(yùn)算

1、§ 6. 1向量的概念與線性運(yùn)算課前熱身i.下列命題正確的是（）a.若 a = h ,則 a / hc.若 a = b 9 貝ijq二bf f*b.若 a / h / c9 則 a/ cd.若 ci h b ,則 a > b或 a < b2. aabc i1, ab 邊上的高為 cd,若 cb = a , ca = h 9 a-h = o 9 a =19 b = 2 9 則 adc. -a-h554- 4;d. ab553. 平而向量a, b共線的充要條件是（a. cl , 方向相同c. 3ag r , h = aab. a , 兩向量中至少有一個(gè)為零向量d.存在不全為零

2、的實(shí)數(shù)人，入，/1 + 22& = 04.在平行四邊形abcd中，e和f分別是邊cd和bc的中點(diǎn)，若ac = ?lae + /jaf ,其中久,“丘r，則2 + / =.5.如圖，正六邊形abcdef中，有下列四個(gè)命題： ac + af = 2bc： ad = 2ab-2af ：疋巫=麗亦；（喬喬）麗=喬（喬ef）. 其中真命題的代號(hào)是（寫出所有真命題的代號(hào)）.知識(shí)梳理1. 平面向量的有關(guān)概念（1）向量的定義：既冇大小又冇方向的量叫做向量. （2）向量的表示方法幾何表示：用冇向線段表示.c字母表示：用字母a ,/?等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母，如：ab. 注意:解題時(shí)，向量中的箭

3、頭不可省.（3）向量的長(zhǎng)度：向量ab的人小就是向量ab的長(zhǎng)度（或稱為模），記作| a3|向量模的計(jì)算力法:|q|=零向量、單位向量概念:零向量：6/ = 0 <=>ci i = 0 ；單位向量= 4 aw為單位向量幺u>=1.（4）平行向量定義方向相同或相反的非零向量叫平行向量；規(guī)定0與任一向量平行.（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，記作a=b. 零向量與零向量相等； 任意兩個(gè)相等的罪零向量，都可以用一條冇向線段來(lái)表示，并乩與冇向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).（6）共線向量與平行向量關(guān)系平行向量可以在同-直線上；共線向量可以相互平行；丫彳了冋皐就園尹線回羣.2. 平面向

4、量的線性運(yùn)算（1）向最的加法向最加法的三角形法則向鼠加法的平行四邊形法則ab + bc = ac （兩個(gè)向屋“首尾”相接）注:n-l（2）向量減法向量減法三角形法則：連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量.ab ac = cb （兩個(gè)向量同一起點(diǎn)）r（3）實(shí)數(shù)與向量的積的定義實(shí)數(shù)/l與向量q的積是一個(gè)向量，記作2d，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：2d = 2 d ；當(dāng)久>0時(shí)，2a與a同向；當(dāng)2v0時(shí),與a反向；當(dāng)2 = 0時(shí)，aa = 0.ab + ad = ac （兩個(gè)向:s同一起點(diǎn)）3. 向量平行定理4. 平面向量基本定理c. adce-cf = 0d. bd-be-fc = 0當(dāng)/?工0

5、時(shí)，a / b <=>有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2 ,使a = xb （/?工0） 如果才、石是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平而內(nèi)的任一向量:，有且只有一對(duì) 實(shí)數(shù)人、人使= a ei + 2 e2 -1»i （2）基底不唯一,關(guān)鍵是不共線（一般會(huì)事先給出）；注：（1）不共線的向量弓、3叫做表示這一平而內(nèi)所有向量的一組基底;（3）由定理知可將任一向量d在給定基底弓、3的條件下進(jìn)行分解且分解形式唯一.典例剖析考點(diǎn)1 平面向量的有關(guān)概念【例1】下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）向sab/cd,則直線ab/直線cd；兩個(gè)向量當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)才相相等；向量 亦即是冇

6、向線段亦；在平行四邊形abcd中，一定冇為=反.a. 0個(gè)b. 1個(gè)c. 2個(gè)d. 3個(gè)*7對(duì)應(yīng)練習(xí)下列命題正確的（）a. 。與庁共線，庁與c共線，則。與c也共線b. 任憊兩個(gè)相等的菲零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)c. 向量:與庁不共線，則:與庁都是非零向量；d.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向最不平行考點(diǎn)2 向量共線【例2 （1）設(shè):與方是兩個(gè)不共線的向最，且向最：+朋與一（&一2：）共線，則久二.點(diǎn)評(píng)：設(shè)s 是平面上兩個(gè)不共線的向量，a - xet +ye2, h = me +隔,x, m, n g r,若a / b ,則一二二. m n> ff> >> &

7、gt; >f （2）已知向量a, b不共線，c = ka + b （ ke /? ）, d-a-b,如果ell d ,那么（）a. £二1且c與7同向 b. £二1且c與7反向 c. £二一1且c與d同向 d. k = 一1且c與方反向?qū)?yīng)練習(xí)（1）設(shè)向量a,庁滿足g =2后,b = （2,1）,且cz與亍的方向相反，則a的坐標(biāo)為 .設(shè)即勺是平面上兩個(gè)不共線的向駄 己知向量ab = 2q+血2，cb = e + 3e2 , cd = 2e -e2 ,若a、b、d三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)£的值為考點(diǎn)3向量的線性運(yùn)算及幾何意義【例3】（1）如圖d, e, f分

8、別是a abc的邊ab, bc, ca的中點(diǎn)，則（）a. ad + be + cf = 6b bd ce + df = 6己知aab c和點(diǎn)m滿足ma mb mc = 0,若存在實(shí)加使得ab ac = m am成立，則血二a2b3c. 4d5點(diǎn)評(píng)：若點(diǎn)、0是abc三角形的重心(三條中線的交點(diǎn))o0a + 0b + 0c = 0.(3) 在平行四邊形abcd屮，ac與bd交于點(diǎn)o, e是線段od的中點(diǎn)，ae的延長(zhǎng)線與cd交于點(diǎn) f .若 ac = a, bd = h，則喬=()一1-2一1-_1_2_a. ci +bb. a + bc d + /?d d + b42332433(4) 已知abc

9、的三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c及所在平面內(nèi)一點(diǎn)p滿足1pa + pbpc = ab，則bcp與aabp的面積z比為對(duì)應(yīng)練習(xí)(1) 在aabc l1,設(shè)z)是bc邊上的一點(diǎn)，且滿足cd = 2db, cd = a ab + pac，則久+ “值為2 1小a. b. c. 1d. 03 3(2) 已知0是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，d為bc邊中點(diǎn),且20a + 0b + 0c = 0 ,那么()a. ao = odb. ao = 2odc. a0 = 30dd. ixd = od(3) abc 中，點(diǎn) d在 ab 上，cd 平方 zacb .若 cb = a. ca = b, a =1, b =2，則而=一2 t

10、2 -1 t3-4 r4 一3 ra. a bb. a b .c. a b d. a b33335555- 1 » -(4) p是abc內(nèi)的一點(diǎn)，ap = (ab + ac),則mbciij積與aabp的血積之比為()3a. b. 22考點(diǎn)4 平面向量的基本定理 .【例4】(1)如圖1, e2互相為垂直單位向量,c3d6則冋量a-b可表亦為()c. q 3勺d. 3q _ 幺2叨/ii/iz/ /p、 /z/0iii /iv圖1圖2(2) 如圖2所示，平面內(nèi)的兩條相交直線。片和0鬥將該平呦分成四個(gè)部分i、ii、iii、iv (不包括邊界).若op = aop bop2 ,且點(diǎn)p落在第

11、iii部分，則實(shí)數(shù)a、b滿足()d avo, b<0a. a >0 9 b>0 b. a>0, b <0 c qvo, b>0.i i .(3) 在厶abc中，己知d是ab邊上一點(diǎn)，若ad = 2db , cd = -ca + zcb ,則2 = 32 112a. b. -c.d.3333點(diǎn)評(píng)：如圖1所示，刃 與方是不共線的兩個(gè)向量，p是平面上一點(diǎn)，且麗二xoa+yob,若a、b、p三點(diǎn)、推廣：如圖2所示，oa與ob是不共線的兩個(gè)向量，p是平而上一點(diǎn)，且op = xoayob,若p落在區(qū)域i,一 一- -則0v兀+，=呂<1；如圖3所示，0a與是不共線

12、的兩個(gè)向量，p是平血上一點(diǎn)，且op = xoayob, 岡 一若p落在區(qū)域ii,則x+y = w>l；如圖4所示，on與西是不共線的兩個(gè)向量，p是平面上一點(diǎn)，且 ri_ _iopiop = xoa + yob .若p落在區(qū)域iii,則x+y = -l_l<0.oc1a一21d. 1b一3(5) 若在直線/上存在不同的三個(gè)點(diǎn)a. b、c,使得關(guān)于實(shí)數(shù)無(wú)的方程x2oa + xob + bc = 0有解(點(diǎn)0不在/ 上:)，則此方程的解為兀=.'對(duì)應(yīng)練習(xí)# »# # i » # f(1)設(shè)勺，幺2是平面內(nèi)一組基底，且d = d+202，b = -e+e2 ,則向量+色可以表示為另一組基底b的 線性組合，則弓+冬=q +b . 已知卩為厶abc所在平面上的一點(diǎn)，且ap = -ab-tac ,其中/為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)p落在/abc的內(nèi)部，貝“ 3的取值范圍是(a. 0<r< 4b °<<c. 0 < r < 2(3)如圖所示，a、 則()a. 0 < x + y < 1b、c是圓o上的三點(diǎn)，co的延長(zhǎng)