華南農(nóng)業(yè)大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)

1、知識點(diǎn)第一章 隨機(jī)事件與概率本章重點(diǎn)：隨機(jī)事件的概率計(jì)算二、知識要點(diǎn) 1*事件的關(guān)系及運(yùn)算 (1) 包含：若事件發(fā)生，一定導(dǎo)致事件發(fā)生，那么，稱事件包含事件，記作(或) (2) 相等：若兩事件與相互包含，即且，那么，稱事件與相等，記作 (3) 和事件：“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱為A與B的和事件，記作；“n個(gè)事件中至少有一事件發(fā)生”這一事件稱為的和，記作（簡記為） (4) 積事件：“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為A與B的積事件，記作(簡記為)；“n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為的積事件，記作（簡記為或) (5) 互不相容：若事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即，那么稱事件A與B互不相

2、容(或互斥)，若n個(gè)事件中任意兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即(1i<j幾)，那么，稱事件 互不相容 (6) 對立事件：若事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即且，那么，稱A與B是對立的事件A的對立事件(或逆事件)記作 (7) 差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，那么，稱這個(gè)事件為事件A與B的差事件，記作(或) (8) 交換律：對任意兩個(gè)事件和B有，(9) 結(jié)合律：對任意事件A，B，C有， (10) 分配律：對任意事件A，B，C有， (11) 德摩根（De Morgan）法則：對任意事件A和B有, . 2*條件概率與乘法公式 設(shè)A與B是兩個(gè)事件在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為條件

3、概率，記作當(dāng)，規(guī)定. 在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質(zhì) 乘法公式：對于任意兩個(gè)事件A與B，當(dāng),時(shí)，有. 3*隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性 如果事件A與B滿足，那么，稱事件A與B相互獨(dú)立 關(guān)于事件A，B的獨(dú)立性有下列兩條性質(zhì)： (1) 如果，那么，事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是；如果，那么，事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是 這條性質(zhì)的直觀意義是“事件A與B發(fā)生與否互不影響” (2) 下列四個(gè)命題是等價(jià)的： (i) 事件A與B相互獨(dú)立； (ii) 事件A與相互獨(dú)立； (iii) 事件與B相互獨(dú)立； (iv) 事件與相互獨(dú)立 對于任意n個(gè)事件相互獨(dú)立性定義如下：對任意一個(gè)，任意的，若事件總滿足

4、，則稱事件相互獨(dú)立這里實(shí)際上包含了個(gè)等式 4*貝努里概型與二項(xiàng)概率 設(shè)在每次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的概率，則在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，事件恰發(fā)生次的概率為，稱這組概率為二項(xiàng)概率 5*全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式：如果事件兩兩互不相容，且，則第二章 一維隨機(jī)變量及其概率分布本章重點(diǎn)：一維的分布及其概率計(jì)算,邊緣分布和獨(dú)立性計(jì)算知識要點(diǎn) 1一維隨機(jī)變量 若對于隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中的每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，變量都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與相對應(yīng)，即，則稱是一個(gè)一維隨機(jī)變量 概率論主要研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也稱這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律為隨機(jī)變量的分布 2*離散型隨機(jī)變量及其概率函數(shù)如果隨機(jī)變量僅可能取有限個(gè)或可列無限多個(gè)值，則

5、稱為離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為，若，則稱離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)，概率函數(shù)也可用下列表格形式表示： *概率函數(shù)的性質(zhì) (1) ， (2) 由已知的概率函數(shù)可以算得概率， 其中，是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)集合 *常用離散型隨機(jī)變量的分布 (1)01分布，它的概率函數(shù)為，其中，或1， (2)二項(xiàng)分布，它的概率函數(shù)為，其中， (3)泊松分布，它的概率函數(shù)為，其中，5*分布函數(shù) 隨機(jī)變量的分布可以用其分布函數(shù)來表示，隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，記作, 即 6分布函數(shù)的性質(zhì) (1) () 是非減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，有； (3) ; (4) 是右連續(xù)函數(shù)，即由已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)

6、，可算得落在任意區(qū)間內(nèi)的概率也可以求得 7*連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，使得對于任一實(shí)數(shù)，有成立，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 8*概率密度及連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)（）（）； （）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為是連續(xù)函數(shù)，且在的連續(xù)點(diǎn)處有； （4）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對任意一個(gè)實(shí)數(shù)c，； (5)設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，則有 9*常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 (1)均勻分布，它的概率密度為其中， (2)指數(shù)分布，它的概率密度為其中， (3)正態(tài)分布，它的概率密度為 ，其中，當(dāng)時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的概率密度為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

7、布的分布函數(shù)記作，即， 當(dāng)出時(shí)，可查表得到；當(dāng)時(shí)，可由下面性質(zhì)得到設(shè)，則有；10、*一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)已知函數(shù)，是隨機(jī)變量的函數(shù)，它也是一個(gè)隨機(jī)變量對離散型隨機(jī)變量，下面來求這個(gè)新的隨機(jī)變量的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)可由下表求得但要注意，若的值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時(shí)把對應(yīng)的概率相加設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為：法一，隨機(jī)變量的分布函數(shù)為其中，與是相等的隨機(jī)事件，而是實(shí)數(shù)軸上的某個(gè)集合隨機(jī)變量的概率密度可由下式得到： 法二，設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，是單調(diào)函數(shù)，且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是的反函數(shù)，則的概率密度為

8、 特別有下面的結(jié)論：設(shè)，且與相互獨(dú)立，則第三章 二維隨機(jī)變量及其分布1二維隨機(jī)變量若對于試驗(yàn)的樣本空間中的每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，有序變量都有確定的一對實(shí)數(shù)值與e相對應(yīng)，即， ，則稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量2聯(lián)合分布函數(shù) 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)規(guī)定為隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率，同時(shí)隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率，并把聯(lián)合分布函數(shù)記為，即3聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) (1) ； (2) 是變量(固定)或(固定)的非減函數(shù)； (3) ，；(4) 是變量(固定)或(固定)的右連續(xù)函數(shù)； 4*二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率函數(shù)如果二維隨機(jī)變量僅可能取有限個(gè)或可列無限個(gè)值，那么，稱為二維離散型隨機(jī)變量 二維離散型隨

9、機(jī)變量的分布可用下列聯(lián)合概率函數(shù)來表示：其中，5*二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度 對于二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)，如果存在一個(gè)二元非負(fù)函數(shù)，使得對于任意一對實(shí)數(shù)有成立，則為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度6二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì) (1) ； (2) ； (3) 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對任意一條平面曲線，有； (4) 在的連續(xù)點(diǎn)處有 ; (5) 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對平面上任一區(qū)域有7.二維離散型隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù) 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，為其聯(lián)合概率函數(shù)（），稱概率為隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù)，記為并有，稱概率為隨機(jī)變量Y的邊緣概率函數(shù)，

10、記為，并有=. 8、*二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為9、常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (1)均勻分布 如果在二維平面上某個(gè)區(qū)域G上服從均勻分布，則它的聯(lián)合概率密度為 (2) 二維正態(tài)分布 如果的聯(lián)合概率密度則稱服從二維正態(tài)分布，并記為. 如果，則，即二維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布10、*隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，與相互獨(dú)立的充分必要條件為 如果與的聯(lián)合分布函數(shù)等于的邊緣分布函數(shù)之積，即，稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則與相互獨(dú)立的充分必要條件為 如果那么，與相互獨(dú)立的充分必要條件是

11、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征本章重點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望、方差的計(jì)算知識要點(diǎn) 1*數(shù)學(xué)期望 設(shè)是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級數(shù)絕對收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為； 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對可積，則定義的數(shù)學(xué)期望為 2*隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)如果級數(shù)絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率函數(shù)如果級數(shù)絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為； 特別地. 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為，如果廣義積分絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；特別地 ,.

12、 3*數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1) (其中c為常數(shù))； (2) (為常數(shù))； (3) ； (4) 如果與相互獨(dú)立，則. 4*方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量的方差定義為計(jì)算方差常用下列公式： 當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級數(shù)收斂，則的方差為； 當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分收斂，則的方差為.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的算術(shù)平方根. 5*方差的性質(zhì) (1) (c是常數(shù))； (2) (為常數(shù))； (3) 如果與獨(dú)立，則. 6原點(diǎn)矩與中心矩 隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩定義為； 隨機(jī)變量的階中心矩定義為； 隨機(jī)變量的階混合原點(diǎn)矩定義為； 隨機(jī)變量的階混合中心矩定義為 一階原點(diǎn)矩是數(shù)學(xué)期望； 二階中心矩

13、是方差D(X)； 7*常用分布的數(shù)字特征 (1) 當(dāng)服從二項(xiàng)分布時(shí)， (2) 當(dāng)服從泊松分布時(shí)， (3) 當(dāng)服從區(qū)間上均勻分布時(shí)， (4) 當(dāng)服從參數(shù)為的指數(shù)分布時(shí)， (5) 當(dāng)服從正態(tài)分布時(shí)，第六章  數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 本章重點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)量的概念及其分布。 主要內(nèi)容    1總體、個(gè)體    我們把研究對象的全體稱為總體(或母體)，把組成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體。在實(shí)際問題中，通常研究對象的某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)值指標(biāo)，因而常把總體的數(shù)值指標(biāo)稱為總體。設(shè)x為總體的某個(gè)數(shù)值指標(biāo)，常稱這個(gè)總體為總體X。X的分布函數(shù)稱為總體分布函

14、數(shù)。當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，稱X的概率函數(shù)為總體概率函數(shù)。當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，稱X的密度函數(shù)為總體密度函數(shù)。當(dāng) X服從正態(tài)分布時(shí)，稱總體X為正態(tài)總體。正態(tài)總體有以下三種類型：    (1)未知，但已知；    (2)未知，但已知；    (3)和均未知。    2簡單隨機(jī)樣本    數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法實(shí)質(zhì)上是由局部來推斷整體的方法，即通過一些個(gè)體的特征來推斷總體的特征。要作統(tǒng)計(jì)推斷，首先要依照一定的規(guī)則抽取n個(gè)個(gè)體，然后對這些個(gè)體進(jìn)行測試或觀察得到

15、一組數(shù)據(jù)，這一過程稱為抽樣。由于抽樣前無法知道得到的數(shù)據(jù)值，因而站在抽樣前的立場上，設(shè)有可能得到的值為，n維隨機(jī)向量()稱為樣本。n稱為樣本容量。 (）稱為樣本觀測值。  如果樣本()滿足  （1）相互獨(dú)立；   (2) 服從相同的分布，即總體分布；  則稱()為簡單隨機(jī)樣本。簡稱樣本。  設(shè)總體X的概率函數(shù)(密度函數(shù))為，則樣本（ )的聯(lián)合概率函數(shù)(聯(lián)合密度函數(shù)為)    3. 統(tǒng)計(jì)量完全由樣本確定的量，是樣本的函數(shù)。即：設(shè)是來自總體X的一個(gè)樣本，是一個(gè)n元函數(shù)，如果中不含任何總體的未知參數(shù)，

16、則稱為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，經(jīng)過抽樣后得到一組樣本觀測值，則稱為統(tǒng)計(jì)量觀測值或統(tǒng)計(jì)量值。4. *常用統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值： （2）樣本方差：5. *三個(gè)重要分布（1）分布設(shè)為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，稱隨機(jī)變量的分布為自由度為n的分布，記為。稱滿足：的點(diǎn)為分布的分位點(diǎn)。（2）t分布設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，則稱的分布為自由度n的t分布，記為。稱滿足：的點(diǎn)為t分布的分位點(diǎn)。（3）F分布設(shè)隨機(jī)變量U與V相互獨(dú)立，則稱的分布為自由度的F分布，記為。稱滿足：的點(diǎn)為F分布的分位點(diǎn)，且有6. *正態(tài)總體的抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布，設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，與分別為樣本的均值和樣本方差，則有（1）；（2）與相互

17、獨(dú)立；（3） 學(xué)習(xí)要點(diǎn):統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心問題是由樣本推斷總體，因此理解統(tǒng)計(jì)量的概念非常重要。它是樣本的函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇和運(yùn)用在統(tǒng)計(jì)推斷中占據(jù)核心地位。樣本均值、樣本方差以及其他樣本矩都是一些常用的統(tǒng)計(jì)量，必須熟悉它們的計(jì)算方法及其有關(guān)性質(zhì)。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布，其中分布、t分布、F分布是本章的重點(diǎn)，必須熟悉它們的定義、性質(zhì)及其上分位點(diǎn)的查表方法；正態(tài)總體抽樣分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的一個(gè)理論結(jié)果，必須弄清它的條件及結(jié)論，并能運(yùn)用判斷一些常用統(tǒng)計(jì)量的分布。 第七章  參數(shù)估計(jì)本章重點(diǎn)：未知參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)及正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。 主要內(nèi)容 &

18、#160;  1. *點(diǎn)估計(jì)方法設(shè)是來自總體X的樣本，是總體的未知參數(shù)，若用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)，則稱為參數(shù)的估計(jì)量，在抽樣后，稱為參數(shù)的估計(jì)值。這種估計(jì)稱為點(diǎn)估計(jì)。矩估計(jì)和最大似然估計(jì)是兩種常用的點(diǎn)估計(jì)法。（1）*矩估計(jì)法用樣本的各階原點(diǎn)矩去估計(jì)對應(yīng)的各階總體的原點(diǎn)矩，這就是矩估計(jì)的基本方法。（2）*最大似然估計(jì)法設(shè)總體X的密度函數(shù)（其中為未知參數(shù)），已知為總體X的樣本的觀察值，則求的最大似然估計(jì)值的步驟如下：    寫出似然函數(shù)   似然函數(shù)取對數(shù)(3)建立并求似然方程(4)最大似然估計(jì)值可以由解對數(shù)似然方程得到。2. 點(diǎn)估

19、計(jì)的優(yōu)良性評判準(zhǔn)則（1）無偏性設(shè)是的一個(gè)估計(jì)量，若，對每一成立則稱是的一個(gè)無偏估計(jì)。（2）有效性設(shè)是的兩個(gè)無偏估計(jì)，如對每一，有且至少對某個(gè)使之成立嚴(yán)格不等式，則稱比有效。稱在所有的無偏估計(jì)中，方差最小的那一個(gè)為一致最小方差無偏估計(jì)。3. *單正態(tài)總體下的置信區(qū)間設(shè)是取自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，置信水平為，樣本均值，樣本方差。（1）均值的置信區(qū)間     若已知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為：     若未知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為：（2）方差的置信區(qū)間     若已知，取，故的雙側(cè)置

20、信區(qū)間為：     若未知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為：1 正態(tài)總體的均值、方差的區(qū)間估計(jì)單個(gè)子樣待估參數(shù)置信區(qū)間備注,已知,未知已知未知第八章  假設(shè)檢驗(yàn)  本章重點(diǎn)：單個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。 內(nèi)容提要1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念假設(shè)檢驗(yàn)是基于樣本判定一個(gè)關(guān)于總體分布的理論假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)方法。方法的基本思想是當(dāng)觀察到的數(shù)據(jù)差異達(dá)到一定程度時(shí)，就會反映與總體理論假設(shè)的真實(shí)差異，從而拒絕理論假設(shè)。原假設(shè)與備選假設(shè)是總體分布所處的兩種狀態(tài)的刻畫，一般都是根據(jù)實(shí)際問題的需要以及相關(guān)的專業(yè)理論知識提出來的。通常，備選假設(shè)的設(shè)定反映了收

21、集數(shù)據(jù)的目的。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的重要工具，其功能在用之于構(gòu)造觀察數(shù)據(jù)與期望數(shù)之間的差異程度。要求在原假設(shè)下分布是完全已知的或可以計(jì)算的。檢驗(yàn)的名稱是由使用什么統(tǒng)計(jì)量來命名的。否定論證是假設(shè)檢驗(yàn)的重要推理方法，其要旨在：先假定原假設(shè)成立，如果導(dǎo)致觀察數(shù)據(jù)的表現(xiàn)與此假定矛盾，則否定原假設(shè)。通常使用的一個(gè)準(zhǔn)則是小概率事件的實(shí)際推斷原理。2兩類錯(cuò)誤概率。第一類錯(cuò)誤概率即原假設(shè)成立，而錯(cuò)誤地加以拒絕的概率；第二類錯(cuò)誤概率即原假設(shè)不成立，而錯(cuò)誤地接受它的概率。3顯著水平檢驗(yàn)。在收集數(shù)據(jù)之前假定一個(gè)準(zhǔn)則，即文獻(xiàn)上稱之為拒絕域，一旦樣本觀察值落入拒絕域就拒絕原假設(shè)。若在原假設(shè)成立條件下，樣本落入拒絕域的概率不超過事先設(shè)定的，則稱該拒絕域所代表的檢驗(yàn)為顯著水平的檢驗(yàn)，而稱為顯著水平。由