高等數(shù)學(xué)第六版第一章第八節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算及性質(zhì)

1、作業(yè)作業(yè)P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6P74 (習(xí)題110） 1; 2 ; 3; 5; 6復(fù)習(xí) 第一章（習(xí)題課） *P65 3; 4 ; 5內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續(xù)的等價形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、函數(shù)連續(xù)性的運算法則一、函數(shù)連續(xù)性的運算法則 第九節(jié)二、初

2、等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 定理定理2. 連續(xù)的單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)一、函數(shù)連續(xù)性的運算法則一、函數(shù)連續(xù)性的運算法則定理定理1. 在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運算, 結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的

3、復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.xey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.即若 函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x00()xu0( )yf uu函數(shù)在點連續(xù)00lim( )() ,uuf uf u則)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf即復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點 x又如又如, 且即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xyoxy1sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:1）復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理可以寫成下面兩種形式00lim

4、 ( )lim( )(1)xxxxfxfx00lim ( )lim( )(2)xxuufxf u(1)式表示, 在定理的條件下, 函數(shù)符號和極限號可交換.(2)式表示, 在定理的條件下, 可通過代換化復(fù)合函數(shù)為簡單函數(shù).2）由于連續(xù)是由極限定義的,因此計算涉及連續(xù)函數(shù)的極限時,實際是如下計算的：0lim( )xxf x1. 0lim( ( )xxf g x2. 00(lim )()xxfxf x0(lim( )xxfg x0( (lim)xxf gx 0( ()f g x 3）關(guān)于連續(xù)函數(shù)運算法則,有如下結(jié)果:(1)函數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù), g (x) 在 x0 處間斷,則F(x)

5、= f (x) + g (x)在 x0 處必間斷.(2)函數(shù) f (x)與g (x)在 x0 處都間斷,則F(x) = f (x) g (x)在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.(3)函數(shù) f (x)在 x0 處連續(xù), g (x)在 x0 處間斷,則F(x) = f (x) g (x)在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.(4)函數(shù) u=(x) 在 x0 處間斷,u0=(x0) , y = f(u) 在 u0 處連續(xù),則y = f (x) 在 x0 處可能連續(xù)也可能間斷.二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間

6、內(nèi)連續(xù)例如例如,21yx的定義域為 -1，1 ，則連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點為單側(cè)連續(xù))，lnsinyx的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無連續(xù)點而機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 . 設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù),證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、例題分析三、例題分析例例2.

7、求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim010log lim(1)xaxx1loglnaea例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當時, 有0 xlog (1) lnaxxa1ln ,xaxaln(1) ,xx1xex機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求求3sin0lim(12 ).(1 )xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xx30sinlimln(1 2 )xxxe30lim26xxxee說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)

8、()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1,41,)(xxxxx例例5. 設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續(xù); 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時xfx在點 x = 1 不連續(xù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0( ),f xx若在點連續(xù)20( ),( )

9、fxf xx在是否連續(xù)? 反例, 1,1)(xf x 為有理數(shù) x 為無理數(shù))(xf處處間斷,)(, )(2xfxf處處連續(xù) .反之是否成立?提示提示:“反之” 不成立 .第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)1.初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)則設(shè), ,)(baCxf在1)( )f x上達到最大值與最小值;上

10、可取最大與最小值之間的任何值;4) 當0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在2)( )f x,ba在3) ( )f x,ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十節(jié)一一、最值定理與有界性、最值定理與有界性 二、介值定理二、介值定理 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第二章 *三三. 一致連續(xù)性一致連續(xù)性注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffb

11、xa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論(有界性定理). 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 說明：定理1的條件不滿足

12、,結(jié)論不一定有,如(1) , (,),( )(,)a bf xx 改為在1(2) , ,( )(0,1)a bf xx改為有限非閉 如在上無界；1(3)( ) , ,( )(1)f xa bf xx x在上不連續(xù) 如 1,2, f在有間斷在其上無界；上無界；證證:例例1. 證明: 若 令,)(limAxfx則給定,0,0X當Xx 時, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM則),(,)(xMxf)(xf在(,) 內(nèi)連續(xù),lim( )xf x存在, 則)(xf必在),(內(nèi)有界.)(xfXXA1Myox機動 目錄 上頁 下頁 返回

13、結(jié)束 定理定理2. ( 零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 證明略 )二、介值定理(0,1( )10 xxf xx1xyo1(0)(1)10,ff (0,1),( )0.f卻沒有使2)定理提供了判斷 根的存在性的( )0f x 新方法. 1)( , )( ),a bf x在內(nèi)連續(xù)的說明 ( )( )0,f af b滿足( , ) ,( )0:a bf不一定有使，如例例2. 證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (

14、f故據(jù)零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間)1 ,0(的中點取1 ,0內(nèi)至少有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則則,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf例3. 13xex至少有一個不超過 4 的 證證：證明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根據(jù)零點定理 , )4,0(,0)(f使原命題得證 .)4,0(內(nèi)至少存在一點在開區(qū)間顯然正根 .機動 目錄 上

15、頁 下頁 返回 結(jié)束 證明：例4 設(shè)( )0,1,f xC 證 若記( )( ),F xf xx由于( )0,1,F xC(0)(0)0且Ff (0)0,f (1)F又(1)0.1f ( )1,且 0f x 因此, 若(0)0F(1)0)F或則問題得證.若(0)0(1)0FF且，則由零點存在定理 (0,1),( )0.使F 即( ).f 0,1,( ).使 f ,0,1,( ).綜上使 f 定理定理3. ( 介值定理 ) 設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數(shù)Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(b

16、a)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(CfAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （1）開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)12( )0142xxf xxx如，(1,2)在上取不到 ；0112234xy( )yf x（2）閉區(qū)間上的不連續(xù)函數(shù) (仍用此例)。 1)介值定理的條件不滿足, 可能取不到 .2) , 若在fa b上嚴格單調(diào)，則介值定理中的 唯一；說明Mm , ,若 fC a b 3)則f(x)可以取到它最大值M與最小值 m 之間的一切值. (推論)y 123 根據(jù)最值定理 例5( )( , ),f xC a b設(shè)12,na

17、xxxb( , ),a b則至少 一點11( )().nkkff xn使證( )( , ),f xC a b1( ),nf xC x x121, ,( , ) ,nx xa b 11,()min ( )使nxxxff xm 12,()max ( ),nxxxff xM 根據(jù)最值定理推論于是( )(1,2,3,.)imf xM i11().nkkmf xMn1 ,( , ) ,nx xa b至少 一點11( )().nkkff xn使0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,例例6. 設(shè))(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點證證:, ,21xx使. )()

18、()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當)()(21xfxf時, 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則設(shè), ,)(baCxf在)(. 1xf上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx則, ,0)(aCx 易證0)()0(a1. 設(shè)一點2. 設(shè)( ) , ,f xC a b且( ),( ),f aaf