高三數(shù)學一輪復習必備精品30：數(shù)列求和及數(shù)列實際問題

1、.第30講 數(shù)列求和及數(shù)列實際問題備注：【高三數(shù)學一輪復習必備精品共42講 全部免費 歡迎下載】一【課標要求】1探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項和的方法；2能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項和遞推關系，并能用有關等差、等比數(shù)列知識解決相應的實際問題。二【命題走向】數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類討論等各種數(shù)學思想方法，這些題目都考察考生靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目有關命題趨勢：1數(shù)列是一種特

2、殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認識函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對基礎和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設計試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點；2數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點，這是由于此類題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區(qū)分學生思維的嚴謹性、靈敏程度、靈活程度；3數(shù)列與新的章節(jié)知識結合的特點有可能加強，如與解析幾何的結合等；4有關數(shù)列的應用問題也一直備受關注預測2010年高考對本將的考察為：1可能為一道考察關于數(shù)列的推導能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題；2也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學歸納法等有機結合三【要點

3、精講】1數(shù)列求通項與和（1）數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an= 。（2）求通項常用方法作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；累差疊加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂項求和將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法

4、叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、=、n·n！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等錯項相消法對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應項之積組成的數(shù)列的前n項和，常用錯項相消法。, 其中是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，記，則，并項求和把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求Sn。數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法通項分解法：2遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關系an+k=f(an+k1,an+k2,an)稱為數(shù)列的遞歸關系。由遞歸關系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列遞歸數(shù)

5、列的通項的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題四【典例解析】題型1：裂項求和例1已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，求和：。解析：首先考慮，則=。點評：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，下列求和也可用裂項求和法。例2求。解析：， 點評：裂項求和的關鍵是先將形式復雜的因式轉化的簡單一些。題型2：錯位相減法例3設a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，nan，的前n項和。解析：若a=0時，Sn=0；若a=1，則Sn=1+2+3+n=；

6、若a1，a0時，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=。例4已知，數(shù)列是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項和。解析：，-得：，點評：設數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。題型3：倒序相加例5求。 解析：。 又。 所以。點評：Sn表示從第一項依次到第n項的和，然后又將Sn表示成第n項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。例6設數(shù)列是公差為，且首項為的等差數(shù)列，求和：解析：因為，。點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列的前項和，是否存在等差數(shù)列使得對一切自然數(shù)n都成立。題型4：其他方法例7求數(shù)列1，3+5

7、，7+9+11，13+15+17+19，前n項和。 解析：本題實質(zhì)是求一個奇數(shù)列的和。在該數(shù)列的前n項中共有個奇數(shù)，故。例8求數(shù)列1，3，32，3n的各項的和。解析：其和為(133n)()=(3n13-n)。題型5：數(shù)列綜合問題例9（2009湖北卷文）設記不超過的最大整數(shù)為,令=-，則，,A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【答案】B【解析】可分別求得，.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構成等比數(shù)列.例10(2009湖南卷理)將正ABC分割成（2，nN）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三

8、角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知 即進一步可求得。由上知中有三個數(shù)，中 有6個數(shù)，中共有10個數(shù)相加 ，中有15個數(shù)相加.，若中有個數(shù)相加，可得中有個數(shù)相加，且由可得所以=題型6：數(shù)列實際應用題例11某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一

9、年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ （?。┙馕觯杭追桨甘堑缺葦?shù)列，乙方案是等差數(shù)列，甲方案獲利：（萬元），銀行貸款本息：（萬元），故甲方案純利：（萬元），乙方案獲利：（萬元）；銀行本息和：（萬元）故乙方案純利：（萬元）；綜上可知，甲方案更好。點評：這是一道比較簡單的數(shù)列應用問題，由于本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項公式并運用所學過的公式求解例12(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知點（1，）是函

10、數(shù)且）的圖象上一點，等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列的首項為，且前項和滿足=+（）.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列前項和為，問>的最小正整數(shù)是多少? 解（1）, , .又數(shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；數(shù)列構成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當， ；()；（2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112.題型7：課標創(chuàng)新題例13（2009廣東卷理）知曲線從點向曲線引斜率為的切線，切點為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.解：（1）設直線：，聯(lián)立得，則，（舍去） ，即，（2）證明： 由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，則有

11、，即. 例14（2009安徽卷理）首項為正數(shù)的數(shù)列滿足 （I）證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；（II）若對一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學歸納法和不等式的有關知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數(shù)學視野。本小題滿分13分。解：（I）已知是奇數(shù)，假設是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學歸納法，對任何，都是奇數(shù)（II）（方法一）由知，當且僅當或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學歸納法，綜合所述，對一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。 因為所以所有的均大于0，因此與同號。根據(jù)數(shù)學歸納法，與同號。 因此，對一切都有的充要條件是或。五【思維總結】1數(shù)列求和的常用方法（1）公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；（2）裂項相消法：適用于其中 是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等；（3）錯位相減法：適用于其中 是等差數(shù)列，是各項不為0的等比數(shù)列。（4）倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導方法.（5）分組求和法（6）累加（乘）法