高等數(shù)學(xué)(6)向量代數(shù)與立體解析幾何

1、第五章作業(yè)：第五章作業(yè)：1節(jié)節(jié): 2；4；8；9；12；13.2節(jié)節(jié): 10;12;13;17.3節(jié)：節(jié)：1（3）；）；2（3）；）；4（2,5）；）； 5（2,4）；）； 7；8；10；11；13；15； 18.4節(jié)：節(jié)：4；6；9.第五章第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何1 向量及其運(yùn)算向量及其運(yùn)算2 坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示3 空間平面與直線空間平面與直線4 曲面與曲線曲面與曲線5.1 向量及其運(yùn)算向量及其運(yùn)算1 向量概念向量概念2 向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算3 向量的數(shù)量級（內(nèi)積或點(diǎn)積）向量的數(shù)量級（內(nèi)積或點(diǎn)積）4 向量的向量積向量的向量積5 向量的混合積向量的混合積5.1

2、 向量及其運(yùn)算（幾何描述）向量及其運(yùn)算（幾何描述） 在高中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過關(guān)于向量的基本知識(shí)，不再在高中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過關(guān)于向量的基本知識(shí)，不再詳細(xì)講解。這里僅簡要討論對基本概念的理解。詳細(xì)講解。這里僅簡要討論對基本概念的理解。（1）基本概念：）基本概念：數(shù)量（標(biāo)量）、空間與平面向量數(shù)量（標(biāo)量）、空間與平面向量； 向量向量與與向量模的表示向量模的表示（幾何幾何及及符號符號表示方法）；表示方法）； 自由向量自由向量（如何理解（如何理解向量的相等向量的相等與與不考慮起點(diǎn)不考慮起點(diǎn)）；）；單位向量、零向量單位向量、零向量（方向的特殊規(guī)定）（方向的特殊規(guī)定）、負(fù)向量、負(fù)向量；夾角、平行（共線）、垂直（正交）夾

3、角、平行（共線）、垂直（正交）的符號表示。的符號表示。（2）向量的線性運(yùn)算）向量的線性運(yùn)算：（：（i）向量加法向量加法（幾何定義）；（幾何定義）；（ii）數(shù)乘數(shù)乘（幾何定義）；（幾何定義）；（iii）線性運(yùn)算的運(yùn)算律（交換、結(jié)合、加法單位元和線性運(yùn)算的運(yùn)算律（交換、結(jié)合、加法單位元和逆元；數(shù)乘單位元、數(shù)乘的結(jié)合律、對數(shù)乘以及對向量逆元；數(shù)乘單位元、數(shù)乘的結(jié)合律、對數(shù)乘以及對向量加法的分配律）加法的分配律）。（iv）關(guān)于數(shù)乘的基本結(jié)論：任意非）關(guān)于數(shù)乘的基本結(jié)論：任意非0向量都可以表示向量都可以表示為與其共線（平行）的單位向量與某個(gè)數(shù)的乘積。為與其共線（平行）的單位向量與某個(gè)數(shù)的乘積。 作為推論

4、有作為推論有命題命題5-1 兩個(gè)向量共線的充要條件是其中某個(gè)向量可以兩個(gè)向量共線的充要條件是其中某個(gè)向量可以表示為另一個(gè)向量與某個(gè)數(shù)的乘積。表示為另一個(gè)向量與某個(gè)數(shù)的乘積。注：區(qū)別有注：區(qū)別有0向量與都不為向量與都不為0向量的情況。向量的情況?！纠纠?-1】證明三角形兩腰中點(diǎn)的連線平行于底邊，且】證明三角形兩腰中點(diǎn)的連線平行于底邊，且等于底邊的一半等于底邊的一半.ABCDE（圖（圖5-9）注：考慮向量的注：考慮向量的“有向線段有向線段”表示方法。表示方法。DE=DA+AE =0.5(BA+AC) =0.5BC.（v）向量空間的基本定理）向量空間的基本定理(幾何證法幾何證法)：平面向量空間的基

5、本定理（二維向量或線性空間）；平面向量空間的基本定理（二維向量或線性空間）；立體向量空間基本定理（三維線性空間）；立體向量空間基本定理（三維線性空間）；N維實(shí)向量或線性空間的定義。維實(shí)向量或線性空間的定義。抽象實(shí)向量空間（加法群公理與數(shù)乘公理）；抽象實(shí)向量空間（加法群公理與數(shù)乘公理）；（vi）補(bǔ)充或復(fù)習(xí)一點(diǎn)線性代數(shù)的基本知識(shí)（抽象化）補(bǔ)充或復(fù)習(xí)一點(diǎn)線性代數(shù)的基本知識(shí)（抽象化）（3）向量的數(shù)量積：）向量的數(shù)量積：（i）一向量到另一向量的）一向量到另一向量的投影：投影：（ii）數(shù)量積的兩種等價(jià)定義式）數(shù)量積的兩種等價(jià)定義式-夾角余弦與投影表示。夾角余弦與投影表示。（iii）數(shù)量積的運(yùn)算律）數(shù)量積的

6、運(yùn)算律-交換、數(shù)乘結(jié)合、對加法分配。交換、數(shù)乘結(jié)合、對加法分配。|cos( )ababab Prj|cos( )abbab 【例【例5-2】設(shè)流體以速度】設(shè)流體以速度v流經(jīng)平面流經(jīng)平面，在，在上有一面積上有一面積為為A的區(qū)域，的區(qū)域，e為垂直于為垂直于的單位向量的單位向量 圖圖5-14(5-14(a)，試用數(shù)量積表示流體經(jīng)過該區(qū)域且流向試用數(shù)量積表示流體經(jīng)過該區(qū)域且流向e所指一側(cè)的所指一側(cè)的流量（即單位時(shí)間內(nèi)流過該區(qū)域的流體質(zhì)量），已知流量（即單位時(shí)間內(nèi)流過該區(qū)域的流體質(zhì)量），已知流體的密度為常數(shù)流體的密度為常數(shù). veA cosvA(a)(b)（圖（圖5-14）;VAveAve （4）向量積

7、（又稱叉積或外積）向量積（又稱叉積或外積）（i）向量積的幾何定義（或幾何直觀描述）：）向量積的幾何定義（或幾何直觀描述）：ba 是一個(gè)空間向量是一個(gè)空間向量，按照右手定則垂直于向量，按照右手定則垂直于向量，并且，并且)sin(|bababa 。（ii）向量積的幾何解釋。）向量積的幾何解釋。（iii）運(yùn)算律）運(yùn)算律-反交換、結(jié)合（與數(shù)乘的）、分配律：反交換、結(jié)合（與數(shù)乘的）、分配律：ba ab ；)()(baba ；cbcacba )(注：前兩個(gè)等式由定義是顯然的；后面一個(gè)，可由注：前兩個(gè)等式由定義是顯然的；后面一個(gè)，可由代數(shù)方法證明（參見向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示）。代數(shù)方法證明（參見向量及其運(yùn)算

8、的坐標(biāo)表示）。（iv）一個(gè)簡單關(guān)系：兩個(gè)非）一個(gè)簡單關(guān)系：兩個(gè)非0向量共線的充要條件是向量共線的充要條件是它們的向量積為它們的向量積為0.ab與與【例【例5-3】設(shè)】設(shè)ABC的三條邊長分別為的三條邊長分別為a,b,c（圖（圖5-18）,試用向量運(yùn)算證明正弦定理試用向量運(yùn)算證明正弦定理.sinsinsinCcBbAa （圖（圖5- -18）ABCabc提示：將這些分式倒過來，再都乘以提示：將這些分式倒過來，再都乘以 ,便可以看出與向量積的關(guān)系了。便可以看出與向量積的關(guān)系了。abc（5）向量的混合積）向量的混合積（i）混合積的定義；）混合積的定義；（ii）幾何解釋）幾何解釋-平行六面體的有向體積；

9、平行六面體的有向體積；（iii）三個(gè)向量共面的一個(gè)充要條件。）三個(gè)向量共面的一個(gè)充要條件。附加說明（復(fù)習(xí)）：附加說明（復(fù)習(xí)）：行列式幾何意義的一種解釋行列式幾何意義的一種解釋。注：考慮代數(shù)余子式，可以看出向量積的代數(shù)表示。注：考慮代數(shù)余子式，可以看出向量積的代數(shù)表示。5.2空間點(diǎn)與向量的坐標(biāo)表示空間點(diǎn)與向量的坐標(biāo)表示 數(shù)學(xué)發(fā)展中一個(gè)具有重大里程碑意義的理論構(gòu)建，數(shù)學(xué)發(fā)展中一個(gè)具有重大里程碑意義的理論構(gòu)建，就是解析幾何的產(chǎn)生（它使后來的數(shù)學(xué)爆炸式成長）。就是解析幾何的產(chǎn)生（它使后來的數(shù)學(xué)爆炸式成長）。 所謂解析幾何，就是將原屬于幾何學(xué)研究的對象，所謂解析幾何，就是將原屬于幾何學(xué)研究的對象，與代數(shù)

10、對象嚴(yán)密的對應(yīng)起來，將各種幾何中的形式與代數(shù)對象嚴(yán)密的對應(yīng)起來，將各種幾何中的形式與形式關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的形式及運(yùn)算關(guān)系。并通與形式關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的形式及運(yùn)算關(guān)系。并通過對代數(shù)的運(yùn)算和分析，研究幾何問題。從而使數(shù)學(xué)過對代數(shù)的運(yùn)算和分析，研究幾何問題。從而使數(shù)學(xué)在極大程度上擺脫了對幾何直觀的依賴，在邏輯上更在極大程度上擺脫了對幾何直觀的依賴，在邏輯上更為嚴(yán)瑾和便于分析。為嚴(yán)瑾和便于分析。 并且這也有助于數(shù)學(xué)研究的不斷深入和抽象化，為并且這也有助于數(shù)學(xué)研究的不斷深入和抽象化，為更自由（當(dāng)然是相對意義上的自由）的構(gòu)建或拓展數(shù)更自由（當(dāng)然是相對意義上的自由）的構(gòu)建或拓展數(shù)學(xué)研究的形式對象搭建了廣

11、闊的平臺(tái)。學(xué)研究的形式對象搭建了廣闊的平臺(tái)。依賴幾何概念、幾何性質(zhì)以及直觀的幾何描述給出的。依賴幾何概念、幾何性質(zhì)以及直觀的幾何描述給出的。換句話說，就是用換句話說，就是用幾何學(xué)的語言定義或描述幾何學(xué)的語言定義或描述的。的。 這一節(jié)，我們將討論如何將這些幾何對象和關(guān)系轉(zhuǎn)化這一節(jié)，我們將討論如何將這些幾何對象和關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)的符號和公式。并簡略介紹一點(diǎn)例子，說明這為代數(shù)的符號和公式。并簡略介紹一點(diǎn)例子，說明這種轉(zhuǎn)化對拓展數(shù)學(xué)研究內(nèi)容的意義。種轉(zhuǎn)化對拓展數(shù)學(xué)研究內(nèi)容的意義。（1）空間直角坐標(biāo)系（幾何點(diǎn)與向量的算數(shù)化）空間直角坐標(biāo)系（幾何點(diǎn)與向量的算數(shù)化）（i）標(biāo)準(zhǔn)單位向量標(biāo)準(zhǔn)單位向量 , , (或

12、或 )與與空間直角坐空間直角坐標(biāo)系標(biāo)系的構(gòu)建（注：這里的向量還是有向線段）。的構(gòu)建（注：這里的向量還是有向線段）。ijkkji,派生概念：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)平面，卦限。派生概念：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)平面，卦限。（ii）三元有序數(shù)組三元有序數(shù)組與空間與空間點(diǎn)的坐標(biāo)（點(diǎn)空間）點(diǎn)的坐標(biāo)（點(diǎn)空間），以及兩點(diǎn)間的距離（所謂以及兩點(diǎn)間的距離（所謂歐氏距離歐氏距離）。）。 前面一節(jié)，所有關(guān)于向量和向量運(yùn)算的定義，都是前面一節(jié)，所有關(guān)于向量和向量運(yùn)算的定義，都是（iii）向量的坐標(biāo)表示：向量到坐標(biāo)軸上的投影；）向量的坐標(biāo)表示：向量到坐標(biāo)軸上的投影；向量的標(biāo)準(zhǔn)分解式向量的標(biāo)準(zhǔn)分解式；向量沿坐標(biāo)軸的；向量沿

13、坐標(biāo)軸的分量分量（教材中（教材中書寫有誤）；向量的書寫有誤）；向量的坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示；點(diǎn)與；點(diǎn)與向徑向徑。注：注：前后文前后文表述明確，表述明確，“向量向量”不會(huì)與不會(huì)與“點(diǎn)點(diǎn)”混淆?；煜?。（iv）向量模的計(jì)算公式。）向量模的計(jì)算公式?！纠纠?-6】已知兩點(diǎn)】已知兩點(diǎn)A(3,0,2),B(4, ,1)，求向量，求向量AB的三的三個(gè)方向角個(gè)方向角.2（v）單位向量的坐標(biāo)）單位向量的坐標(biāo)-向量的向量的方向角方向角，方向角余弦方向角余弦的的計(jì)算公式及其滿足的關(guān)系式（空間的勾股定理）。計(jì)算公式及其滿足的關(guān)系式（空間的勾股定理）?！纠纠?-4】已知點(diǎn)】已知點(diǎn)A(4,1,7)、B(-3,5,0)，在，

14、在y軸上求一點(diǎn)軸上求一點(diǎn)M，使得使得 MA = MB .（ii）數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩個(gè)向量夾角余弦的計(jì)算）數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩個(gè)向量夾角余弦的計(jì)算 注：標(biāo)準(zhǔn)單位向量所起的作用注：標(biāo)準(zhǔn)單位向量所起的作用-坐標(biāo)構(gòu)建的基石。坐標(biāo)構(gòu)建的基石?！纠纠?-5】設(shè)有點(diǎn)】設(shè)有點(diǎn) ，求向量，求向量11112222(,),(,)Mxy zMxy z12M M的坐標(biāo)表達(dá)式。的坐標(biāo)表達(dá)式。（2）向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（算術(shù)化）向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（算術(shù)化）（i）加法與數(shù)乘）加法與數(shù)乘-向量共線的代數(shù)刻畫（坐標(biāo)成比例）；向量共線的代數(shù)刻畫（坐標(biāo)成比例）；【例【例5-7】設(shè)向量】設(shè)向量a=(1,2,4)，求，求a在向量在向量

15、b=(2,0,-1)上的上的投影投影Prjba.Prj|babab 注意：注意：【例【例5-9】判斷空間】判斷空間4個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)M1(1,1,3)，M2(0,1,1)，M3(1,0,2)， M4(4,3,11)是否共面是否共面.（iv）混合積的代數(shù)（表示）混合積的代數(shù)（表示）-行列式的幾何意義的行列式的幾何意義的利用利用-向量積代數(shù)表示的另一種討論。向量積代數(shù)表示的另一種討論。利用標(biāo)準(zhǔn)基本向量導(dǎo)出的計(jì)算公式。利用標(biāo)準(zhǔn)基本向量導(dǎo)出的計(jì)算公式。（iii）向量積的代數(shù)（坐標(biāo)）表示。）向量積的代數(shù)（坐標(biāo)）表示?！纠纠?-8】對任意實(shí)數(shù)】對任意實(shí)數(shù)a1,a2,a3,b1,b2,b3，證明不等式，證明不等式

16、232221232221332211bbbaaabababa 重溫向量代數(shù)重溫向量代數(shù)-關(guān)于線性方程組的理解。設(shè)有方程組關(guān)于線性方程組的理解。設(shè)有方程組 nmmmnnaaaaaaaaaA,2,1 ,22,21 ,2, 12, 11 , 1,12mxxxx 12mbbb ,11,22,iii nnia xaxaxb(1,2,)im 1,2,jjjm jaaa (1,2, )jn 記記；,1,2,iiii naaa (1,2,)im （1）（注：行向（注：行向量的轉(zhuǎn)置）量的轉(zhuǎn)置）Ax 1122iinnAxxxxx1122iinnxxxx 12TTTmA 12(,)nA （1）矩陣可表為）矩陣可表為

17、 ，由矩陣乘法得，由矩陣乘法得于是方程組（于是方程組（1）實(shí)際上是給出如下關(guān)系：）實(shí)際上是給出如下關(guān)系：想想看，根據(jù)向量空間基本定理，可以得到什么結(jié)論？想想看，根據(jù)向量空間基本定理，可以得到什么結(jié)論？引入矩陣與向量表示，方程組（引入矩陣與向量表示，方程組（1）可記為：）可記為：（2）此外，矩陣還可以表示為；）此外，矩陣還可以表示為；線性方程組有解的充要條件線性方程組有解的充要條件-系數(shù)矩陣與增廣矩陣刻畫。系數(shù)矩陣與增廣矩陣刻畫。于是方程組（于是方程組（1）又可以看做如下關(guān)系：）又可以看做如下關(guān)系：12mxxAxx 0 假設(shè)假設(shè) ，則方程組便是齊次方程，由上述表示。，則方程組便是齊次方程，由上述

18、表示。我們可以得到什么結(jié)論呢？我們可以得到什么結(jié)論呢？ （3）最后，我們再來看看克萊姆法則。假設(shè)方程）最后，我們再來看看克萊姆法則。假設(shè)方程組（組（1）有解，并且）有解，并且n=m，系數(shù)行列式不為，系數(shù)行列式不為0. 則由則由1122iinnxxxx 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理。齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理。12111211121111211,iiiiniiiinnijjinjiinxxx 可得如下行列式等式：可得如下行列式等式：12111211,iiniiiinx 即有克萊姆法則的主要結(jié)論：即有克萊姆法則的主要結(jié)論：5.3 空間平面與直線（的代數(shù)表示）空間平面與直線（的代數(shù)表示）（1）平面）平

19、面 設(shè)立體空間由直角坐標(biāo)系表示，表示該空間的一設(shè)立體空間由直角坐標(biāo)系表示，表示該空間的一個(gè)點(diǎn)集往往有如下形式個(gè)點(diǎn)集往往有如下形式:),(| ),(zyxPzyx 假設(shè)該集合是空間中的一個(gè)平面，那么這個(gè)集合表示假設(shè)該集合是空間中的一個(gè)平面，那么這個(gè)集合表示中的命題函項(xiàng)（公式或方程）中的命題函項(xiàng)（公式或方程） 一般具有什么一般具有什么形式呢？下面討論這個(gè)問題。形式呢？下面討論這個(gè)問題。),(zyxP 首先考慮這樣一個(gè)問題：要在三維空間中確定一個(gè)首先考慮這樣一個(gè)問題：要在三維空間中確定一個(gè)平面，需要哪些條件（先從幾何角度考慮）？平面，需要哪些條件（先從幾何角度考慮）？（a）已知平面中的一個(gè)點(diǎn)的位置以

20、及平面法向量已知平面中的一個(gè)點(diǎn)的位置以及平面法向量； （b）已知平面中三個(gè)不共線的點(diǎn)的位置已知平面中三個(gè)不共線的點(diǎn)的位置。 下面我們分別從這兩個(gè)角度考慮如何得到空間平面的下面我們分別從這兩個(gè)角度考慮如何得到空間平面的代數(shù)表示形式（即所謂平面方程）。代數(shù)表示形式（即所謂平面方程）。（i）點(diǎn)法式或一般式。假設(shè)情況（）點(diǎn)法式或一般式。假設(shè)情況（a），即已知平面），即已知平面上的一點(diǎn)，以及該平面的法方向（向量）。上的一點(diǎn)，以及該平面的法方向（向量）。 設(shè)已知平面法向量為設(shè)已知平面法向量為 ；平面上已知點(diǎn)為；平面上已知點(diǎn)為),(CBA ),(0000zyxp ；記；記 是平面上是平面上任意任意其它點(diǎn)。其

21、它點(diǎn)。),(zyxp 根據(jù)條件，向量根據(jù)條件，向量),(0000zzyyxxpp 與與 垂直，于是有：垂直，于是有：0)()()(000 zzCyyBxxA ( , , )|x y z 000()()()0A xxB yyC zz以上討論已經(jīng)表明，該平面的集合表示可以為：以上討論已經(jīng)表明，該平面的集合表示可以為：000()()()0A xxB yyC zz而方程而方程（1）便是該平面的方程（平面的代數(shù)表示）。方程（便是該平面的方程（平面的代數(shù)表示）。方程（1）被）被稱為平面表示的稱為平面表示的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程。在（在（1）式中，記）式中，記 ，則（，則（1）式）式)(000CzByAxD

22、便成為便成為0AxByCzD（2）反之，如果有點(diǎn)反之，如果有點(diǎn) 滿足方程（滿足方程（2） ， 000(,)xy z則（則（2）式便轉(zhuǎn)換為（式便轉(zhuǎn)換為（1）式。這說明（）式。這說明（2）式是以）式是以 為法向量，為法向量，000(,)xy z 并且是點(diǎn)并且是點(diǎn) 所在的平面。（所在的平面。（2）式稱為平面的）式稱為平面的一般一般（式）（式）方程方程。0()0pp 0, p p（ 分別表示平面上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)）分別表示平面上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)）附注：關(guān)于一般式的一個(gè)幾何解釋。假設(shè)前述所給的附注：關(guān)于一般式的一個(gè)幾何解釋。假設(shè)前述所給的法向量法向量 是一個(gè)單位向量，并記是一個(gè)單位向量，并記 觀察一般式的向量表

23、示：觀察一般式的向量表示： ，考慮它的幾何，考慮它的幾何意義。意義。),(CBA ),(zyx D- 可見這個(gè)一般式也有很明確的幾何直觀背景。它是不可見這個(gè)一般式也有很明確的幾何直觀背景。它是不是可以稱為是可以稱為“法投式法投式”或者或者“法截式法截式”？【例【例5-10】已知空間兩點(diǎn)】已知空間兩點(diǎn)M1(1,2,-1)，M2(3,-1,2)，求經(jīng)，求經(jīng)過點(diǎn)過點(diǎn)M1且與直線且與直線M1 M2垂直的平面方程垂直的平面方程（ii）“三點(diǎn)式三點(diǎn)式”與截距式與截距式 考慮情況（考慮情況（b），假設(shè)已知平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，），假設(shè)已知平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，分別為：分別為：),(1111zyxM2222(

24、,)Mxy z3333(,)Mxy z，。1213nM MM M 則則是該平面的法向量。利用前面的是該平面的法向量。利用前面的點(diǎn)法式可得平面方程。但是還可用混合積直接給出由點(diǎn)法式可得平面方程。但是還可用混合積直接給出由三個(gè)點(diǎn)確定平面的方程。三個(gè)點(diǎn)確定平面的方程。 設(shè)想點(diǎn)設(shè)想點(diǎn) 是任何一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在平面上的是任何一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在平面上的的充要條件是如下等式成立：的充要條件是如下等式成立： ),(zyxM013121 MMMMMM即有即有0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx該式被稱為平面的該式被稱為平面的三點(diǎn)式三點(diǎn)式?！纠纠?-11】已知不共線的三點(diǎn)】已知不共

25、線的三點(diǎn)M1(2,-1,-3)，M2(-1,3,-2)和和M3(0,3,-1)， 求過這三點(diǎn)的平面方程求過這三點(diǎn)的平面方程【例【例5-12】設(shè)平面與】設(shè)平面與x軸，軸，y軸，軸，z軸分別交于三點(diǎn)軸分別交于三點(diǎn)M1(a,0,0)、M2(0,b,0)、M3(0,0,c)，其中，其中a,b,c均不為零，均不為零，求該平面方程求該平面方程 假設(shè)三個(gè)坐標(biāo)軸與給定平面的交點(diǎn)都已給定（相當(dāng)假設(shè)三個(gè)坐標(biāo)軸與給定平面的交點(diǎn)都已給定（相當(dāng)于給出截距），顯然這是三點(diǎn)式的特例。那么根據(jù)上于給出截距），顯然這是三點(diǎn)式的特例。那么根據(jù)上述討論很容易得到這個(gè)方程（略）。述討論很容易得到這個(gè)方程（略）。 對于給定平面上三個(gè)點(diǎn)

26、，平面方程的對于給定平面上三個(gè)點(diǎn)，平面方程的另一個(gè)解法另一個(gè)解法是給是給出平面的一般式，再利用待定系數(shù)法確定方程的系數(shù)。出平面的一般式，再利用待定系數(shù)法確定方程的系數(shù)。+1xyzabc 【例【例5-13】求經(jīng)過】求經(jīng)過 z 軸及點(diǎn)軸及點(diǎn)(1,2,-3)的平面方程的平面方程【例【例5-14】設(shè)平面】設(shè)平面的方程為的方程為3 3x-2-2y+ +z+5=0+5=0，求經(jīng)過坐，求經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與標(biāo)原點(diǎn)且與平行的平面方程平行的平面方程上述得到的平面方程被稱為上述得到的平面方程被稱為截距式截距式（假設(shè)（假設(shè)b=0如何）。如何）。（iii）幾類特殊形式的平面方程。）幾類特殊形式的平面方程。 平面的一般式中

27、有四個(gè)系數(shù)平面的一般式中有四個(gè)系數(shù)A,B,C,D，則有如下幾，則有如下幾類特殊情況：類特殊情況： D為為0，其它系數(shù)均不為，其它系數(shù)均不為0； D為為0時(shí)時(shí) ，A,B,C中有一個(gè)為中有一個(gè)為0；有兩個(gè)為；有兩個(gè)為0； D不為不為0時(shí)，時(shí)， A,B,C中有一個(gè)為中有一個(gè)為0；有兩個(gè)為；有兩個(gè)為0。 試討論這四種情況下，方程所表示的平面具有什么試討論這四種情況下，方程所表示的平面具有什么性質(zhì)。性質(zhì)。（2）直線）直線 在考慮如何給出立體空間中直線的代數(shù)表示之前，在考慮如何給出立體空間中直線的代數(shù)表示之前，先從幾何的角度討論確定一條直線需要哪些條件。先從幾何的角度討論確定一條直線需要哪些條件。（i）給

28、出兩個(gè)不平行的平面（其交線）；）給出兩個(gè)不平行的平面（其交線）；（iii）給出兩個(gè)點(diǎn)，可確定唯一一條直線；）給出兩個(gè)點(diǎn)，可確定唯一一條直線； （ii）給出一點(diǎn)，并給一個(gè)方向（向量）；）給出一點(diǎn)，并給一個(gè)方向（向量）； 根據(jù)上面的討論，我們來探討一下空間直線的代數(shù)根據(jù)上面的討論，我們來探討一下空間直線的代數(shù)表示方法。對應(yīng)于上述三種情況，有：表示方法。對應(yīng)于上述三種情況，有：（i+）直線的）直線的一般式（聯(lián)立方程組）一般式（聯(lián)立方程組）表示：表示：1111222200A xB yC zDA xB yC zD （設(shè)兩平面不平行）（設(shè)兩平面不平行）（ii+）點(diǎn)向式（對稱式）點(diǎn)向式（對稱式）-方向向量方

29、向向量與與方向數(shù)方向數(shù)-參數(shù)式參數(shù)式；000000000000( ., );(,);/()sl m nM Mxxyy zzsM Mt tsM Mxxltxxyyzzyymtlmnzznt 若方向向量某分量為若方向向量某分量為0.有如下特別形式約定（如有如下特別形式約定（如n=0）：）：0000000zzxxyyzzyyxxlmml 注：表示該直線在垂直于注：表示該直線在垂直于z軸的平面上。軸的平面上。【例】求過兩點(diǎn)【例】求過兩點(diǎn)M1(x1,y1,z1)和和M2(x2,y2,z2)的直線方程。的直線方程。【例【例5-16】已知直線的一般方程為】已知直線的一般方程為 ,015640332zyxzy

30、x求它的點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程求它的點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程注：無論以哪一種形式表示一條直線，本質(zhì)上都是一樣注：無論以哪一種形式表示一條直線，本質(zhì)上都是一樣的，即都是表示一條直線。所以這些表示形式都可以相的，即都是表示一條直線。所以這些表示形式都可以相互轉(zhuǎn)化。不難看出，兩點(diǎn)式和點(diǎn)向式就是完全一樣的?；マD(zhuǎn)化。不難看出，兩點(diǎn)式和點(diǎn)向式就是完全一樣的。（iii+）直線的）直線的兩點(diǎn)式方程兩點(diǎn)式方程。222121212xxyyzzxxyyzz注：兩點(diǎn)確定方向注：兩點(diǎn)確定方向（3）關(guān)于（通過一條直線的）關(guān)于（通過一條直線的）平面束平面束設(shè)設(shè)L是空間中一直線，那么如下以平面為元素的集合是空間中一直線，那么如下以

31、平面為元素的集合| L是平面且是平面且被稱為過直線被稱為過直線L的平面束。設(shè)該直線的方向向量為的平面束。設(shè)該直線的方向向量為( , )sl m n ，直線上一點(diǎn)為，直線上一點(diǎn)為),(000zyxM),(1111CBAn 2222(,)nA B C ，與與是與方向向量垂直的兩個(gè)向量，并且不共線。是與方向向量垂直的兩個(gè)向量，并且不共線。 直線的一般式（方程組）只需要兩個(gè)平面方程，但直線的一般式（方程組）只需要兩個(gè)平面方程，但是，通過一條直線的平面有無窮多。有時(shí)候，在討論是，通過一條直線的平面有無窮多。有時(shí)候，在討論直線與平面的關(guān)系時(shí)，考慮所有這些平面的集合，可直線與平面的關(guān)系時(shí)，考慮所有這些平面的

32、集合，可能會(huì)帶來一些方便。這便產(chǎn)生了能會(huì)帶來一些方便。這便產(chǎn)生了平面束平面束概念。概念。 下面推導(dǎo)過直線下面推導(dǎo)過直線L的平面束的代數(shù)表示形式（含參數(shù)的平面束的代數(shù)表示形式（含參數(shù)的一般平面方程）。的一般平面方程）。 我們知道如下兩個(gè)基本的幾何關(guān)系：我們知道如下兩個(gè)基本的幾何關(guān)系：（a）平面過直線平面過直線L的充要條件是該平面的法向量與的充要條件是該平面的法向量與L（的方向向量）垂直，且過點(diǎn)（的方向向量）垂直，且過點(diǎn)),(000zyxM；ns（b）若若 與與 垂直，則存在唯一一對不全為垂直，則存在唯一一對不全為0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) 與與，使得使得21nnn 。由以上兩點(diǎn)，立刻可以得到過直線由以上兩點(diǎn)

33、，立刻可以得到過直線L的平面束的代數(shù)的平面束的代數(shù)表示形式為（利用點(diǎn)法式）：表示形式為（利用點(diǎn)法式）：0)()()(021021021 zzCCyyBBxxAA 轉(zhuǎn)換為一般式方程為轉(zhuǎn)換為一般式方程為【例【例5-23】求過平面】求過平面x-y-2z+4=0和和2x+y+z-2=0的交的交線，且在線，且在x軸、軸、y軸上有相同截距的平面方程軸上有相同截距的平面方程12121212()()()0AA xBByCCzDD)(0101011zCyBxAD 2202020()DA xB yC z 其中其中；。（1）如果令如果令 等于等于1，則，則 （1）式表示了除第二個(gè)平面以外，）式表示了除第二個(gè)平面以外

34、， 平面束中所有其它的平面。平面束中所有其它的平面。注注（1）首先觀察。兩個(gè)平面方程都不滿足條件，所）首先觀察。兩個(gè)平面方程都不滿足條件，所以可以用不含有第二個(gè)平面方程的平面束方程，根以可以用不含有第二個(gè)平面方程的平面束方程，根據(jù)條件求解，即確定參數(shù)的具體數(shù)值。據(jù)條件求解，即確定參數(shù)的具體數(shù)值。,xyxyx 0 02 2【例【例5-24】設(shè)直線】設(shè)直線L的方程為的方程為試求試求L在平面在平面：x+y+z=0上的投影直線的方程上的投影直線的方程注（注（2）：教材中對于該題的解答對應(yīng)于它的陳述，）：教材中對于該題的解答對應(yīng)于它的陳述，有一些疏漏。該解答僅僅考慮了在有一些疏漏。該解答僅僅考慮了在x,

35、y軸上的非軸上的非0截截距。假設(shè)令平面束方程中的常數(shù)項(xiàng)為距。假設(shè)令平面束方程中的常數(shù)項(xiàng)為0，則可以得，則可以得到過原點(diǎn)的一個(gè)平面。假設(shè)允許截距為到過原點(diǎn)的一個(gè)平面。假設(shè)允許截距為0，該方程，該方程也符合所提條件。也符合所提條件。50 xy2 令令 ，即有：，即有： 解答上題基本的考慮是：求與給定平面垂直且過直線解答上題基本的考慮是：求與給定平面垂直且過直線L的平面方程。但是從不同的角度考慮，有多種解法。的平面方程。但是從不同的角度考慮，有多種解法。解法解法1：求出直線的方向向量，再由點(diǎn)法式確定所求：求出直線的方向向量，再由點(diǎn)法式確定所求平面的法向量。平面的法向量。 先由兩個(gè)平面方程的法向量做外

36、積（即求直線的方先由兩個(gè)平面方程的法向量做外積（即求直線的方向向量）；向向量）； 再由方向向量與給定平面的法向量做外積。再由方向向量與給定平面的法向量做外積。解法解法2：預(yù)設(shè)所求平面的方程，用待定系數(shù)法。：預(yù)設(shè)所求平面的方程，用待定系數(shù)法。 先代入直線中兩個(gè)比較簡明的點(diǎn)，得到兩個(gè)關(guān)于系先代入直線中兩個(gè)比較簡明的點(diǎn)，得到兩個(gè)關(guān)于系數(shù)的方程；再由法向量相互垂直（數(shù)的方程；再由法向量相互垂直（ 其內(nèi)積為其內(nèi)積為0）得到）得到第三個(gè)方程，解方程組可確定平面方程系數(shù)。第三個(gè)方程，解方程組可確定平面方程系數(shù)。注：盡管表面上看平面方程有四個(gè)系數(shù)，但在已知一注：盡管表面上看平面方程有四個(gè)系數(shù)，但在已知一個(gè)點(diǎn)的

37、情況下，其中一個(gè)可由另外三個(gè)確定。個(gè)點(diǎn)的情況下，其中一個(gè)可由另外三個(gè)確定。 于是可以取直線上兩個(gè)點(diǎn)，與所求平面上的動(dòng)點(diǎn)做于是可以取直線上兩個(gè)點(diǎn)，與所求平面上的動(dòng)點(diǎn)做兩個(gè)向量（其中一個(gè)向量是由兩個(gè)給定點(diǎn)做出的），兩個(gè)向量（其中一個(gè)向量是由兩個(gè)給定點(diǎn)做出的），利用混合積公式得到所求的平面方程。這個(gè)解法從幾利用混合積公式得到所求的平面方程。這個(gè)解法從幾何角度看，思路也比較簡明。何角度看，思路也比較簡明。兩個(gè)向量，與給定平面的法向量共面，即混合積為兩個(gè)向量，與給定平面的法向量共面，即混合積為0.解法解法4：垂直于給定平面且過直線：垂直于給定平面且過直線L的平面上的任意的平面上的任意 直接從平面束尋找滿

38、足條件的平面。也就是利用直接從平面束尋找滿足條件的平面。也就是利用法向量與給定平面法向量垂直，由其內(nèi)積為法向量與給定平面法向量垂直，由其內(nèi)積為0，列出，列出線性方程，得出參數(shù)值，從而確定所求的平面。線性方程，得出參數(shù)值，從而確定所求的平面。 從代數(shù)角度看，思路相對簡明。從代數(shù)角度看，思路相對簡明。解法解法3：利用平面束方程，確定所求平面的法向量。：利用平面束方程，確定所求平面的法向量。（4）點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系（計(jì)算公式）點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系（計(jì)算公式） 這里的位置關(guān)系，是幾何關(guān)系，有這里的位置關(guān)系，是幾何關(guān)系，有距離距離和和夾角夾角。 考慮的距離有：點(diǎn)與點(diǎn)之間（已知）；點(diǎn)與面之間；考慮的距離

39、有：點(diǎn)與點(diǎn)之間（已知）；點(diǎn)與面之間；點(diǎn)與直線之間的距離。點(diǎn)與直線之間的距離。 考慮的夾角有：面與面之間；直線與直線之間；直線考慮的夾角有：面與面之間；直線與直線之間；直線與平面之間的夾角。與平面之間的夾角。（i）點(diǎn)到平面距離（設(shè)給出平面一般式或點(diǎn)法式）。）點(diǎn)到平面距離（設(shè)給出平面一般式或點(diǎn)法式）。),(000zyxM111(,)M xy z設(shè)設(shè)是空間中某一點(diǎn)，是空間中某一點(diǎn)，是給定是給定平面中的某一個(gè)點(diǎn)，平面中的某一個(gè)點(diǎn)，),(CBAn 是給定平面的法向量。是給定平面的法向量。討論下面公式的幾何意義：討論下面公式的幾何意義：2221010100101)()()(jPrCBAzzCyyBxxAn

40、MMnMMdn 【例【例5-17】求兩個(gè)平行平面】求兩個(gè)平行平面1 1：z=2x-2y+1, 2:4x-4y-2z+3=0之間的距離之間的距離【例【例5-18】求點(diǎn)】求點(diǎn)M(1,2,3)到直線到直線L： 的距離的距離5322zyx （ii）點(diǎn)到直線的距離（設(shè)已知直線的點(diǎn)向式）。）點(diǎn)到直線的距離（設(shè)已知直線的點(diǎn)向式）。),(000zyxM111(,)M xy z設(shè)有直線上一點(diǎn)設(shè)有直線上一點(diǎn)，空間中一點(diǎn)，空間中一點(diǎn)以及直線的方向向量以及直線的方向向量( , )sl m n ，討論下面公式的幾，討論下面公式的幾何意義：何意義：ssMMd 10010101000222222()()()A xxB yy

41、C zzAxByCzDdABCABC 或者：或者：注：討論不求點(diǎn)求距離。注：討論不求點(diǎn)求距離。（iii）兩個(gè)平面之間的夾角）兩個(gè)平面之間的夾角（a）平面夾角平面夾角的定義（的定義（法向量夾角法向量夾角-取銳角取銳角）；）；（b）討論下面公式的幾何意義：）討論下面公式的幾何意義：1212121222222212111222arccosarccosnnA AB BC Cn nABCABC 其中其中),(1111CBAn 2222(,)nA B C ，分別是兩個(gè)平面的法向量。分別是兩個(gè)平面的法向量。（c）討論何種情況下上述的）討論何種情況下上述的0 1 以及以及。并。并討論這些情況在幾何上意味著什么

42、。討論這些情況在幾何上意味著什么?！纠纠?-19】設(shè)長方體】設(shè)長方體 中，中，AB=1，BC=2， 問問 所在的平面與所在的平面與 所在的所在的平面之間的夾角是多少？平面之間的夾角是多少？DCBAABCD 3 BBACB D AC A(0,0,0)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,3)301(，B A zxy（圖（圖5-325-32）|() ()|arccos|ACABACADACABACAD 注：首先建立坐標(biāo)。注：首先建立坐標(biāo)。見圖見圖5-32.求兩個(gè)平面的法向量，求兩個(gè)平面的法向量，再求其夾角：再求其夾角：【例【例5-20】設(shè)平面】設(shè)平面通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)O及點(diǎn)及點(diǎn)M(6,3,2

43、)，且與，且與平面平面1:2x+5y+2z-7=0相互垂直，求此平面方程相互垂直，求此平面方程【例【例5-21】兩條直線的參數(shù)方程為】兩條直線的參數(shù)方程為:xtLytzt 1 11 12 23 34 4，:xrLyrzr 2 22 23 33 34 4，驗(yàn)證驗(yàn)證L1和和L2是異面直線（即兩直線既不平行，也不是異面直線（即兩直線既不平行，也不相交），并求相交），并求L1和和L2的夾角的夾角（iv）兩）兩直線之間的夾角直線之間的夾角（方向向量的夾角方向向量的夾角-取銳角取銳角）設(shè)兩直線方向向量分別為設(shè)兩直線方向向量分別為2222(,)sm np 1111(,)sm np ，討論公式：討論公式：21

44、21arccosssss 的幾何意義。的幾何意義。（v）平面與直線間的夾角平面與直線間的夾角（平面法向量與直線方向（平面法向量與直線方向向量夾角向量夾角-取銳角取銳角-的補(bǔ)角）的補(bǔ)角） 假設(shè)給定了一條直線的方向向量與一個(gè)平面的法向假設(shè)給定了一條直線的方向向量與一個(gè)平面的法向量分別為量分別為( , )sl m n ),(CBAn 與與。 顯然，這兩個(gè)向量平行，意味著平面與直線垂直；顯然，這兩個(gè)向量平行，意味著平面與直線垂直；而這兩個(gè)向量垂直，恰好意味著平面與直線平行。而這兩個(gè)向量垂直，恰好意味著平面與直線平行。討論下面公式的幾何意義：討論下面公式的幾何意義：snsn arcsin 2x+y+z-

45、3=0，求，求L與與的夾角的夾角【例【例5-22】已知直線】已知直線 和平面和平面： 08205zxyxL：5.4 曲面與曲線曲面與曲線（1）曲線與曲面方程）曲線與曲面方程（i）在空間直角坐標(biāo)系中，）在空間直角坐標(biāo)系中，曲面曲面S的方程的方程與它的與它的圖形圖形。注：參考平面方程?？紤]一般方程的幾何意義。注：參考平面方程?？紤]一般方程的幾何意義?！纠纠?-25】給定兩點(diǎn)】給定兩點(diǎn)A(0,-2,4)、B(2,1,3)，求線段，求線段AB的垂直平分面的方程的垂直平分面的方程【例【例5-26】求以點(diǎn)】求以點(diǎn)M0 (x0 , y0 , z0)為球心，以為球心，以R為半徑為半徑的球面方程的球面方程【例

46、【例5-27】方程】方程x2+y2+z2-2x+4y-4=0表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？（ii）空間曲線的一般代數(shù)表示）空間曲線的一般代數(shù)表示 空間曲線是兩個(gè)曲面的交線，所以空間曲線的代數(shù)空間曲線是兩個(gè)曲面的交線，所以空間曲線的代數(shù)表示由兩個(gè)曲面方程聯(lián)立表示，稱為表示由兩個(gè)曲面方程聯(lián)立表示，稱為曲線的一般方程曲線的一般方程。特例：考慮曲面與坐標(biāo)平面交線的表示形式。特例：考慮曲面與坐標(biāo)平面交線的表示形式。【例【例5-28】曲線】曲線： 表示球心在原表示球心在原點(diǎn)，半徑為點(diǎn)，半徑為2 2的球面與平面的球面與平面 z =1=1的交線，是一個(gè)在平面的交線，是一個(gè)在平面 z =1=1上的圓（圖上的圓

47、（圖5-365-36） 14222zzyxzyx2212（圖（圖5-365-36）xyzaaM(x,y,z)t （圖（圖5-37）【例【例5-29】一動(dòng)點(diǎn)】一動(dòng)點(diǎn)M開始位于開始位于xOy面的面的(a,0,0)點(diǎn)，它以角速度點(diǎn)，它以角速度 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，并且始終與軸旋轉(zhuǎn)，并且始終與 z 軸的距離軸的距離為為a，同時(shí)又以線速度，同時(shí)又以線速度 v 沿沿 z 軸正軸正方向上升（其中方向上升（其中 、v 均為常數(shù)），均為常數(shù)），試建立其軌跡曲線的方程試建立其軌跡曲線的方程 （iii）空間曲線的）空間曲線的參數(shù)表示（曲線的參數(shù)方程）參數(shù)表示（曲線的參數(shù)方程）下面是所謂下面是所謂螺旋線螺旋線的參數(shù)表示

48、問題。的參數(shù)表示問題。cosxat sinyat zvt cossinxatyatzvt 即得曲線參數(shù)表示：即得曲線參數(shù)表示：注意到這里的角速度以及上升速度都是常數(shù)，所以注意到這里的角速度以及上升速度都是常數(shù)，所以做變換做變換,vt k ，則該曲線有另外的參數(shù)表示：，則該曲線有另外的參數(shù)表示：cossinxayazk 注：空間曲線的參數(shù)表示可以用不同的參數(shù)選擇。比注：空間曲線的參數(shù)表示可以用不同的參數(shù)選擇。比如上例可以以時(shí)間如上例可以以時(shí)間t作為參數(shù)，也可以旋轉(zhuǎn)的角度為作為參數(shù)，也可以旋轉(zhuǎn)的角度為參數(shù)。但是這些表示形式是可以相互轉(zhuǎn)化的。參數(shù)。但是這些表示形式是可以相互轉(zhuǎn)化的。（2）幾類典型的簡

49、單曲面）幾類典型的簡單曲面-柱面、旋轉(zhuǎn)面、錐面。柱面、旋轉(zhuǎn)面、錐面。（i）柱面柱面-柱面的幾何描述柱面的幾何描述-準(zhǔn)線準(zhǔn)線與與母線（直母線）母線（直母線）。 這里僅僅給出與某個(gè)坐標(biāo)平面垂直的柱面方程的表這里僅僅給出與某個(gè)坐標(biāo)平面垂直的柱面方程的表示形式，特別是準(zhǔn)線在一個(gè)特定坐標(biāo)平面上的情況。示形式，特別是準(zhǔn)線在一個(gè)特定坐標(biāo)平面上的情況。例如橢圓柱面與拋物柱面的代數(shù)表示形式。例如橢圓柱面與拋物柱面的代數(shù)表示形式。（ii）旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面-幾何描述幾何描述-對稱軸對稱軸與與母線母線（曲母線）。（曲母線）。旋轉(zhuǎn)面方程的推導(dǎo)，旋轉(zhuǎn)面方程的推導(dǎo)，這里僅僅考慮一個(gè)簡單情況這里僅僅考慮一個(gè)簡單情況-對稱軸是一個(gè)

50、坐標(biāo)軸對稱軸是一個(gè)坐標(biāo)軸，比如說，比如說z軸，母線在軸，母線在yOz平面。平面。設(shè)母線方程（組）為：設(shè)母線方程（組）為：. 0, 0),( xzyF 在母線上取一點(diǎn)在母線上取一點(diǎn) ，該點(diǎn)繞，該點(diǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)，所以軸旋轉(zhuǎn)，所以由這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得到的曲面上的點(diǎn)，其由這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得到的曲面上的點(diǎn)，其z軸坐標(biāo)是不軸坐標(biāo)是不變化的。而該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞行的軌跡，應(yīng)該是一個(gè)圓，即變化的。而該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞行的軌跡，應(yīng)該是一個(gè)圓，即有有),(000zyxM2022yyx 于是可以驗(yàn)證所求旋轉(zhuǎn)面的方程應(yīng)為于是可以驗(yàn)證所求旋轉(zhuǎn)面的方程應(yīng)為0),(22 zyxF如果對稱軸是其它坐標(biāo)軸，可類似推導(dǎo)其方程。比如如果對稱軸是其它坐標(biāo)軸，

51、可類似推導(dǎo)其方程。比如考慮如下兩個(gè)方程，看看是怎樣的形成的旋轉(zhuǎn)面，即討考慮如下兩個(gè)方程，看看是怎樣的形成的旋轉(zhuǎn)面，即討論下列旋轉(zhuǎn)曲面的對稱軸與母線：論下列旋轉(zhuǎn)曲面的對稱軸與母線：122222 byazxpzyx222 （旋轉(zhuǎn)橢球面，圖旋轉(zhuǎn)橢球面，圖5-41）（旋轉(zhuǎn)拋物面，圖旋轉(zhuǎn)拋物面，圖5-42） （參考圖（參考圖5-40）【例【例5-30】求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為】求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為()xyabzc c 222222221 10 0的錐面方程的錐面方程（圖（圖5-445-44）cM1OzyxM（iii）錐面錐面-幾何描述幾何描述-準(zhǔn)線準(zhǔn)線與與頂點(diǎn)頂點(diǎn)。這里僅給出一兩個(gè)具體例子。這里僅給出一兩個(gè)

52、具體例子。橢圓錐面橢圓錐面與作為特例的與作為特例的園錐面（半頂角）園錐面（半頂角）。所得解答為：所得解答為：222222czbyax 推導(dǎo)過程如下：推導(dǎo)過程如下：222222czbyax 22112211xyabzc 111xyzcxyzz，( , , )M x y z111(,)M xy z 在錐面任意取一點(diǎn)在錐面任意取一點(diǎn) ，過頂點(diǎn)與，過頂點(diǎn)與 作作直線交于準(zhǔn)線一點(diǎn)直線交于準(zhǔn)線一點(diǎn) ，則該點(diǎn)滿足方程組，則該點(diǎn)滿足方程組( , , )M x y z因?yàn)檫@兩點(diǎn)共線，應(yīng)有因?yàn)檫@兩點(diǎn)共線，應(yīng)有11=,ccxxyyzz 2211221xyab將將 代入方程代入方程 ，即得：，即得： 討論討論 時(shí)的情

53、況：時(shí)的情況：ba 2222()kxyzzkxzky這個(gè)錐面也可以看做以直線這個(gè)錐面也可以看做以直線 或或 為母線為母線繞繞z軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面。軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面。1arctan(0)kk 3. 二次曲面二次曲面 一次與二次曲面是最重要的曲線，因?yàn)閷Ω叽?、一次與二次曲面是最重要的曲線，因?yàn)閷Ω叽巍⒏鼜?fù)雜曲面的性質(zhì)，特別是某些局部性質(zhì)的研究，往更復(fù)雜曲面的性質(zhì)，特別是某些局部性質(zhì)的研究，往往要借助一次與二次曲面。所以它們有十分廣泛的應(yīng)往要借助一次與二次曲面。所以它們有十分廣泛的應(yīng)用。用。 相對一次曲面（也就是平面），二次曲面稍稍復(fù)雜相對一次曲面（也就是平面），二次曲面稍稍復(fù)雜些，因此二次曲

54、面的分類工作也要復(fù)雜一些。些，因此二次曲面的分類工作也要復(fù)雜一些。 前面一節(jié)具體介紹的柱面、旋轉(zhuǎn)面、錐面都是二次前面一節(jié)具體介紹的柱面、旋轉(zhuǎn)面、錐面都是二次曲面（注：一般柱面、旋轉(zhuǎn)面和錐面不必是二次的）。曲面（注：一般柱面、旋轉(zhuǎn)面和錐面不必是二次的）。 本節(jié)僅對二次曲面的某些標(biāo)準(zhǔn)形式做簡略的介紹。本節(jié)僅對二次曲面的某些標(biāo)準(zhǔn)形式做簡略的介紹。首先，對于二次曲面的分類理論做一個(gè)簡單闡述。首先，對于二次曲面的分類理論做一個(gè)簡單闡述。（0）前言）前言-一般說明一般說明 二次曲面的二次曲面的基本分類基本分類-任何二次曲面，經(jīng)適當(dāng)變換任何二次曲面，經(jīng)適當(dāng)變換（正交與平移），可以歸入下述類型中某一種（正交與

55、平移），可以歸入下述類型中某一種 ：222222222222222222222110(0)00 xyzabcxyzabcxyzabAxByccAxpyxa 橢球面；橢球面；單葉與雙葉雙曲面；單葉與雙葉雙曲面；橢圓拋物面與雙曲拋物面；橢圓拋物面與雙曲拋物面；橢圓或雙曲柱面；橢圓或雙曲柱面；拋物柱面；拋物柱面；空集或平面?？占蚱矫妗?222221-,()xyhabczhhc 2222221 (0,0,0)xyzabcabc2222221,xyhabczh 平行于平行于XOY平面的平面的截痕：截痕：（2.）雙曲面（）雙曲面（i）單葉雙曲面）單葉雙曲面-標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程平行于平行于XOY平面的平面的

56、截痕：截痕：（圖圖5-47）（1） 橢球面橢球面- 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程)0, 0, 0(1222222 cbaczbyax（圖圖5-46）平行于平行于XOZ平面的平面的截痕截痕2222221,xzkabcyk 是一雙曲線。是一雙曲線。（ii）雙葉雙曲面）雙葉雙曲面-標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程2222221 (0,0,0)xyzabcabc （圖圖5-48）2222221 ,xyhabczh )(ch 平行于平行于XOY平面的平面的截痕截痕2222(0,0)xyzabab2222(0,0)xyzabab0 ,0 xyabz （3.）拋物面（）拋物面（i）橢圓拋物面）橢圓拋物面-標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程（圖圖5-49）（ii）雙曲拋物面）雙曲拋物面-標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程2222,xyhabzh 平行于平行于XOY平面的平面的截痕截痕是雙曲線及其是雙曲線及其退化形式直線退化形式直線（圖圖5-50）平行于平行于YOZ平面的平面的截痕截痕2222,ykzbaxk 平行于平行于ZOX平面的平面的截痕截痕2222,xkzabyk 均為拋物線。均為拋物線。（4.）關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)型的二次曲面的簡單說明）關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)型的二次曲面的簡單說明0