微分幾何試題庫(解答與證明題)

1、微分幾何試題庫 解答與證明題1 求曲線 在t=0點的密切平面和主法線。(zn)2 求圓柱螺線在點處的密切平面和主法線。(zn)3求圓柱螺線在點處的基本向量和密切平面、副法線。(ltp34)4 求曲線 在原點的切線和法平面。(xtp54)5 求圓柱螺線 在點的切線和法平面。(zn)6 設(shè) (s)為曲線(c)的切線曲面，證明(s)沿任意一直母線的切平面就是(c)在切線的切點處的密切平面。（kwd193）7 求圓柱螺線 的曲率與撓率。(ltp42)8 求曲線 的曲率和撓率。9 求曲線 的曲率和撓率。10 求圓柱螺線的曲率和撓率。11.證明曲線x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-為平面曲線，并

2、求出它所在的平面方程 。(xtp54)12已知曲線。求（1）基本向量；（2）曲率和撓率。（xtp54）13設(shè)曲線的副法向量，求它的切向量和主法向量，并證明它的曲率和撓率之比是常數(shù)。（kwd92）14若曲線（c）：的撓率 為非零常數(shù)，（c）的主法向量與副法向量分別為。證明的曲率為常數(shù)，且，并求的撓率.（kwd96）15 證明一空間曲線為一般螺線的充分必要條件是向量具有固定方向。（kwd105）16 曲線是一般螺線的充分必要條件是的曲率與撓率之比是常數(shù)。（教52）17 證明：如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么這條曲線是直線或平面曲線。(xtp54)18設(shè)在兩條曲線、的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系

3、，使它們在對應(yīng)點的主法線平行，證明它們在對應(yīng)點的切線作固定角。(xtp54)19.如果曲線：為一般螺線, 、為的切向量和主法向量，r為的曲率半徑。證明：=r也是一般螺線。(xtp55)20證明曲線為一般螺線的充要條件為 . (xtp55)21 證明：如果曲線的所有切線都經(jīng)過一個定點，則此曲線是直線。(xtp54)22 如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一個定點，則此曲線是平面曲線，試證之。(xtp54)23 如果曲線的所有密切平面都垂直于某條固定直線，則此曲線是平面曲線。(kwd)24 求圓柱面在任一點的切平面和法線方程。(ltp64)25.證明曲面的切平面和三個坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。

4、 (xtp67)26 證明二次錐面沿每一條直母線只有一個切平面。（董123）27求橢圓柱面在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面 。(xtp67)28 求雙曲拋物面上直母線之間的夾角。（kwd145）29 求雙曲拋物面上兩族直母線的二等分角軌線。（kwd145）30在正螺面上，求曲線族的正交軌線族的方程。（kwd135）31求正螺面= u ,u , bv 的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。(xtp80)32設(shè)曲面的第一基本形式為i = ，求它上面兩條曲線u + v = 0 , u v = 0的交角。(xtp80)33求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x ,y=的交角

5、. (xtp80)34. 在曲面上一點,含du ,dv的二次方程p+ 2q dudv + r，確定兩個切方向（du：dv）和（u：v），證明這兩個方向垂直的充要條件是er - 2fq + gp = 0. (xtp80)35.證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為e=g. (xtp81)36證明在曲面上由方程 所確定的兩族曲線是相互正交的。（kwd145）37在正圓錐面上，求與曲線族正交的軌線。（kwd146）38 證明：一曲面是平面的充分必要條件是曲面上的點都是平點。（kwd153）39 證明：曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)后所得曲面上每一點都是橢圓點。（kwd174）40 求曲面的坐標(biāo)曲線的法曲率。（k

6、wd175）41求曲面的法曲率：（1）在任一點沿任意方向；（2）在點沿曲線的切方向。（kwd176）42 證明曲線(c)：的從可展曲面(s):是柱面的充分必要條件是該曲線是一般螺線。（kwd183）43 已知曲面、的第一基本形式依次為、，其中為常數(shù)，求它們的高斯曲率，并證明它們是互相不等距的曲面。（kwd204）44 證明柱面與馬鞍面之間不存在等距變換。（kwd219）45 試證：任一曲線（c）：的切線曲面與平面成等距對應(yīng)。（教128）46對正螺面 。求（1）在任一點處的第、第基本形式；（2）在任一點沿任意方向的法曲率。(zn)47 對拋物面 ，（1）求其第、第基本形式；（2）在任一點沿任意方

7、向的法曲率。(ltp86)48 證明正螺面=u,u,bv,( -<u,v<) 是極小曲面。(xtp114)49. 求出拋物面在(0,0)點和方向(dx:dy)的法曲率. (xtp114)50. 已知平面到單位球面(s)的中心距離為d(0<d<1),求與(s)交線的曲率與法曲率. . (xtp114)51求證在正螺面=u,u,bv,( -<u,v<)上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。(xtp114)52.證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線. (xtp114)53.確定螺旋面=u,u,bv上的曲率線. (xtp114)54 求馬鞍面在原點處沿任意方向的

8、法曲率。55 求曲面： 在點（1,0,1）處沿任意方向的法曲率。56 求拋物面 在（0,0）點的主曲率。(xtp114)57求正螺面=u,u,bv的主曲率。(xtp114)58. 證明在曲面上的給定點處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù). (xtp114)59.證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點. (xtp114)60. 求雙曲面z=axy在點x=y=0的平均曲率和高斯曲率. (xtp114)61 如果兩曲面沿一條曲線相切，則如果是一個曲面上的曲率線，那么也是另一個曲面上的曲率線。試證之。62 敘述并證明主方向的判定定理（羅德里格定理）。(thp97)63 設(shè)曲面的第一、第二、第三基本形式分

9、別為、，高斯曲率、平均曲率分別為k、h，試證-2 h+k=0 。（教110）64 求旋轉(zhuǎn)曲面（）的高斯曲率與平均曲率。（教p103）65 求正螺面 的高斯曲率和平均曲率。66 求拋物面在（0,0）點的高斯曲率和平均曲率。67 設(shè)是由空間曲線的副法線形成的曲面，求曲面的高斯曲率。（王本p207）68 已知圓柱面 。求（1）在任意點沿任意方向的法曲率；（2）在任意點的高斯曲率和平均曲率。69.給出曲面上一曲率線l,設(shè) l上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證l是一平面曲線.(xtp114)70如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。 (xtp114)71 證明：撓曲

10、線（c）的主法線曲面不是可展曲面。(xtp1304)72 證明直紋面s為可展曲面的充分必要條件是它的直母線都是曲率線。（董192）73證明曲面 是可展曲面。(xtp1294)74 證明曲線(c)的副法線曲面是可展曲面的充分必要條件是曲線(c)為平面曲線。(xtp1294)75 證明正螺面 不是可展曲面。(xtp1294)76 證明每一條空間撓曲線(c)的密切平面所構(gòu)成的單參數(shù)平面族的包絡(luò)是(c)的切線曲面. （kwd181）77 證明撓曲線(c)的副法線曲面不是可展曲面。(xtp1304)78 證明曲面是可展曲面。(xtp1304)79 證明：曲面s上的曲線(c)：是曲率線的充分必要條件是曲面

11、s沿曲線(c)的法線曲面可展。(th教p126)80 求平面族的包絡(luò)。(xtp1304)81證明柱面、錐面、任意曲線的切線曲面是可展曲面。(xtp1304)82.證明的曲面是柱面。(xtp1304)83求證第一基本形式為的曲面有常高斯曲率 。(xtp144)84證明不存在曲面，使e=g=1,f=0,l=1,m=0,n=-1. (xtp145)85證明球面=acosucosv,acosusinv,asinu上曲線的測地曲率 其中表示曲線與經(jīng)線的交角。(xtp169)86求位于正螺面=ucosv,usin,av上的圓柱螺線（=常數(shù)）的測地曲率。(xtp170)87求證旋轉(zhuǎn)曲面的子午線是測地線，而平

12、行圓僅當(dāng)子午線的切線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是測地線 。 (xtp170)88證明：若曲面上兩族測地線交于定角，則曲面是可展曲面。(xtp170)89利用高斯-潑涅公式證明若曲面(s)上存在兩族交于定角的測地線，則它的高斯曲率處處為零。 (xtp170)90若曲面(s)的高斯曲率處處小于零，則曲面(s)上不存在圍成單連通區(qū)域的光滑閉測地線。(xtp170)91求半徑為r的球面上測地三角形三內(nèi)角之和。(xtp170)92證明：曲面上的曲線如果是測地線，又是曲率線，則它必是平面曲線。(xtp170)93 證明：如果曲面上非直線的測地線均為平面曲線，則必是曲率線。(xtp170)94 證明：（1）如果測地線同