分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展現(xiàn)狀及展望

1、分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展現(xiàn)狀及展望在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，大體分為五種研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，應(yīng) 用數(shù)學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)學(xué)與控制 論。這五個(gè)方向?qū)?shù)學(xué)在當(dāng)代發(fā)展都有不可或缺作用。從 研究內(nèi)容來講，方程、算子、群論、圖論、代數(shù)、兒何等 等都是數(shù)學(xué)領(lǐng)域重要研究對(duì)象。作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)分?jǐn)?shù)階 微分方程方向博士生，本文將從分?jǐn)?shù)階微分方程發(fā)展歷史 及現(xiàn)狀、本人對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程未來發(fā)展看法來介紹分?jǐn)?shù) 階微分基本知識(shí)。（一）、發(fā)展歷史及現(xiàn)狀牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)與古典數(shù)學(xué)分 水嶺。分?jǐn)?shù)階微積分是關(guān)于任意階微分和積分理論，它與整 數(shù)階微積分是統(tǒng)一，是整數(shù)階微積分推廣。整數(shù)階微積分作 為描述經(jīng)典物理及相關(guān)

2、學(xué)科理論解析數(shù)學(xué)工具已為人們普 遍接受，很多問題數(shù)學(xué)模型最終都可以歸結(jié)為整數(shù)階微分方 程定解問題，其無論在理論分析還是數(shù)值求解方面都已有了 比較完善理論。但當(dāng)人們進(jìn)入到復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜現(xiàn)象研究時(shí), 經(jīng)典整數(shù)階微積分方程對(duì)這些系統(tǒng)描述將遇到一些問題，如: 需要構(gòu)造非線性方程，并引入一些人為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)和與實(shí)際不 符假設(shè)條件；因材料或外界條件微小改變就需要構(gòu)造新模型 等等?；谝陨显?，人們迫切期待著有一種可用數(shù)學(xué)工具 和可依據(jù)基本原理來對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模。分?jǐn)?shù)階微積 分方程非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)材料和過程，其 對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)描述具有建模簡單、參數(shù)物理意義清楚、描述準(zhǔn) 確等優(yōu)勢(shì)，因而成為復(fù)雜力

3、學(xué)與物理過程數(shù)學(xué)建模重要工具 之一。對(duì)大多數(shù)研究人員和工程師而言，分?jǐn)?shù)階微積分也許還 是比較陌生，但它實(shí)際上早在300多年前就被提出。1695 年9月，洛必達(dá)(L' Hospital)在給萊布尼茲著名信件中 就寫到“對(duì)于簡單線性函數(shù)f(x)=x,如果函數(shù)導(dǎo)數(shù)次數(shù)為 分?jǐn)?shù)而不是整數(shù)那會(huì)怎樣"。這是公認(rèn)第一次提及分?jǐn)?shù)階 微分。1832年，劉維爾(Liouville)成功應(yīng)用了自己提出 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，解決了勢(shì)理論問題。之后劉維爾發(fā)表一 系列文章使他成為分?jǐn)?shù)階微積分理論實(shí)際級(jí)創(chuàng)始人。1974 年，Oldham與Spanier出版了第一本關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分理 論專著。在近三個(gè)世紀(jì)里，對(duì)

4、分?jǐn)?shù)階微積分理論研究主要在數(shù)學(xué) 純理論領(lǐng)域里進(jìn)行，但是從近兒十年，分?jǐn)?shù)階微分方程越來 越多被用來描述光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、 信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、控制和機(jī)器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域中問題。 分?jǐn)?shù)階微積分理論也受到越來越多國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注，特 別是從實(shí)際問題抽象出來分?jǐn)?shù)階微分方程成為很多數(shù)學(xué)工 作者研究熱點(diǎn)。隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在越來越多科學(xué)領(lǐng)域里 出現(xiàn)，無論對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程理論分析還是數(shù)值計(jì)算研究都 顯得尤為迫切。但是目前分?jǐn)?shù)階微積分實(shí)際工程應(yīng)用存在許 多障礙，很重要一個(gè)原因是分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)仍未完善。目前就數(shù)學(xué)領(lǐng)域而言，分?jǐn)?shù)階微積分存在主要問題有： 多種分?jǐn)?shù)階微分算子定義形式，在

5、實(shí)際應(yīng)用中都各有優(yōu)勢(shì)， 尚不能做到統(tǒng)一；在理論研究方面，兒乎所有結(jié)果全都假定 了滿足李氏條件，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程一樣， 換句話說，這些工作基本上可以說只是經(jīng)典微積分方程理論 一個(gè)延拓。對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程定性分析很少有系統(tǒng)性結(jié)果， 大多只是給出了一些非常特殊方程求解，且常用求解方法都 具有局限性。在數(shù)值求解方面，現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階方程數(shù)值算法還 很不成熟，主要表現(xiàn)為：（1）在數(shù)值計(jì)算中一些挑戰(zhàn)性難題 仍未得到徹底解決，如長時(shí)間歷程計(jì)算和大空間域計(jì)算等;（2）成熟數(shù)值算法比較少，現(xiàn)在研究較多算法主要集中在有 限差分方法與有限單元；（3）未形成成熟數(shù)值計(jì)算軟件，嚴(yán) 重滯后于應(yīng)用需要。（二）、對(duì)未來發(fā)展看法鑒于此目前分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展現(xiàn)狀及主要問題，我認(rèn)為 未來分?jǐn)?shù)階微積分發(fā)展要抓住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）分?jǐn)?shù)階微積 分還處在探索階段，其理論體系還需要進(jìn)一步擴(kuò)充和完善。 這也是我們方向未來主要工作。（2）分?jǐn)?shù)階微積分作為一種 新穎數(shù)學(xué)工具，在應(yīng)用來解決物理、力學(xué)、生物、信號(hào)處理、 材料等學(xué)科問題還任重而道遠(yuǎn)。未來要著重于理論研究與實(shí) 際應(yīng)用相結(jié)合。（3）在數(shù)