數(shù)學(xué)建模案例分析

1、數(shù)學(xué)建模之?dāng)?shù)學(xué)建模之 數(shù)學(xué)建模案例分析數(shù)學(xué)建模案例分析重慶郵電大學(xué)重慶郵電大學(xué) 楊春德楊春德 教授教授案例一：離散概率模型案例一：離散概率模型 o 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 一個(gè)電子器件工廠生產(chǎn)一種二極管。質(zhì)量控制工程師負(fù)責(zé)保證在產(chǎn)品一個(gè)電子器件工廠生產(chǎn)一種二極管。質(zhì)量控制工程師負(fù)責(zé)保證在產(chǎn)品出廠前檢測(cè)出次品的二極管。估計(jì)這個(gè)廠生產(chǎn)的二極管有出廠前檢測(cè)出次品的二極管。估計(jì)這個(gè)廠生產(chǎn)的二極管有0.3是次品?？墒谴纹??？梢詫?duì)每個(gè)二極管逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，也可以把若干二極管串聯(lián)起來(lái)成組進(jìn)行檢以對(duì)每個(gè)二極管逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，也可以把若干二極管串聯(lián)起來(lái)成組進(jìn)行檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)通不過(guò)，也就是說(shuō)其中有一個(gè)或幾個(gè)二極管是次品。已知檢

2、驗(yàn)。如果檢驗(yàn)通不過(guò)，也就是說(shuō)其中有一個(gè)或幾個(gè)二極管是次品。已知檢驗(yàn)一個(gè)單個(gè)的二極管的花費(fèi)是驗(yàn)一個(gè)單個(gè)的二極管的花費(fèi)是5分錢(qián)，檢驗(yàn)一組分錢(qián)，檢驗(yàn)一組n1個(gè)二極管的花費(fèi)是個(gè)二極管的花費(fèi)是4+n分錢(qián)。如果成組檢驗(yàn)沒(méi)有通過(guò)，則這一組的每一個(gè)二極管必須逐個(gè)重新檢分錢(qián)。如果成組檢驗(yàn)沒(méi)有通過(guò)，則這一組的每一個(gè)二極管必須逐個(gè)重新檢驗(yàn)以便于找出這些次品。要求尋求檢測(cè)次品二極管的質(zhì)量控制的步驟使得驗(yàn)以便于找出這些次品。要求尋求檢測(cè)次品二極管的質(zhì)量控制的步驟使得用于檢驗(yàn)的花費(fèi)最少。用于檢驗(yàn)的花費(fèi)最少。 變量變量n是決策變量，同時(shí)隨便選取是決策變量，同時(shí)隨便選取n1,2,3,，變量，變量C是我們所是我們所選擇的質(zhì)量控

3、制步驟的隨機(jī)的結(jié)果。選擇的質(zhì)量控制步驟的隨機(jī)的結(jié)果。C是一個(gè)隨機(jī)變量。然而量是一個(gè)隨機(jī)變量。然而量A不是隨機(jī)的。它表示隨機(jī)變量不是隨機(jī)的。它表示隨機(jī)變量Cn的平均或期望值。顯然如果的平均或期望值。顯然如果n1，則，則A=5分，否則分，否則(n1)，當(dāng)分組檢驗(yàn)結(jié)果全部二極管都是好的，當(dāng)分組檢驗(yàn)結(jié)果全部二極管都是好的，則則C=4+n，當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果有次晶，則，當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果有次晶，則C(4+n)+5n，A(C的平均值的平均值)n。其目標(biāo)就是求。其目標(biāo)就是求n的數(shù)值，使的數(shù)值，使A最小最小 。 1 1、符號(hào)假設(shè)、符號(hào)假設(shè)2 2、問(wèn)題的分析、問(wèn)題的分析 n：每個(gè)檢驗(yàn)組內(nèi)二極管的數(shù)目；：每個(gè)檢驗(yàn)組內(nèi)二極管的數(shù)目

4、；C：一組元件的檢驗(yàn)費(fèi)用：一組元件的檢驗(yàn)費(fèi)用(分分)；A：平均：平均檢驗(yàn)費(fèi)用檢驗(yàn)費(fèi)用(分二極管分二極管)。 考慮隨機(jī)一個(gè)變量考慮隨機(jī)一個(gè)變量X X，它可以取一個(gè)離散數(shù)值集合中的任何一個(gè)數(shù)值，它可以取一個(gè)離散數(shù)值集合中的任何一個(gè)數(shù)值 對(duì)于我們的問(wèn)題，任何的對(duì)于我們的問(wèn)題，任何的n1，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量C 取兩個(gè)可能數(shù)值中的一個(gè)：如果所有取兩個(gè)可能數(shù)值中的一個(gè)：如果所有的二極管都是好的，則的二極管都是好的，則C4+n否則否則C(4+n)+5n3、建模、建模 ,21xxX o 因?yàn)槲覀儽仨氈匦聶z驗(yàn)每一個(gè)二極管。用因?yàn)槲覀儽仨氈匦聶z驗(yàn)每一個(gè)二極管。用p表示所有的二極管都是表示所有的二極管都是正品的概率

5、，剩下的可能性正品的概率，剩下的可能性(有一個(gè)或更多的次品二極管有一個(gè)或更多的次品二極管)一定有概一定有概率率1-p。則。則C的平均或期望值是的平均或期望值是于是模型為：于是模型為：( )(4)(4)5 (1-)E Cn pnnp( )1min(4)(4)5 (1-)nE Cn pnnpnn隨機(jī)變量隨機(jī)變量C的期望值是的期望值是 4、模型求解、模型求解 ( )(4)0.997(4)5(1 0.997 ) (4)5 (1 0.997 ) 4650.997nnnnE Cnnnnnnn 由強(qiáng)大數(shù)定律可知，如果一直使用每組有由強(qiáng)大數(shù)定律可知，如果一直使用每組有n個(gè)二極管的分組檢驗(yàn)個(gè)二極管的分組檢驗(yàn)的方

6、法，這個(gè)公式提供了平均的檢驗(yàn)費(fèi)用，這時(shí)我們需要作為的方法，這個(gè)公式提供了平均的檢驗(yàn)費(fèi)用，這時(shí)我們需要作為n的的函數(shù)來(lái)極小化函數(shù)來(lái)極小化A。o 每一個(gè)二極管的平均檢驗(yàn)費(fèi)用為每一個(gè)二極管的平均檢驗(yàn)費(fèi)用為 465(0.997)nCn令令 4( )65(0.997)xf xCx則則 24( )5(0.997) ln0.997xfxx 5 5、結(jié)果分析、結(jié)果分析 對(duì)于檢驗(yàn)次品二極管的質(zhì)量控制步驟可以使用分組檢驗(yàn)的方法做得非常對(duì)于檢驗(yàn)次品二極管的質(zhì)量控制步驟可以使用分組檢驗(yàn)的方法做得非常經(jīng)濟(jì)逐個(gè)檢驗(yàn)的花費(fèi)是經(jīng)濟(jì)逐個(gè)檢驗(yàn)的花費(fèi)是5分分/個(gè)。次品的二極管出現(xiàn)得很少，每一千中只有個(gè)。次品的二極管出現(xiàn)得很少，每一

7、千中只有三個(gè)。使用每一組三個(gè)。使用每一組17個(gè)二極管串聯(lián)起來(lái)分組化驗(yàn)，在不影響質(zhì)量的前提下可個(gè)二極管串聯(lián)起來(lái)分組化驗(yàn)，在不影響質(zhì)量的前提下可以將檢驗(yàn)的費(fèi)用降低到三分之一以將檢驗(yàn)的費(fèi)用降低到三分之一(1.5分分/二極管二極管)。質(zhì)量控制步驟的實(shí)行將依。質(zhì)量控制步驟的實(shí)行將依賴(lài)于若干模型范圍之外的因素。也許由于我們操作的特殊性對(duì)于賴(lài)于若干模型范圍之外的因素。也許由于我們操作的特殊性對(duì)于10個(gè)或個(gè)或20個(gè)個(gè)一批的二極管或者一批的二極管或者n是是4或或5的倍數(shù)時(shí)檢驗(yàn)起來(lái)更容易。好在對(duì)于我們的問(wèn)題來(lái)的倍數(shù)時(shí)檢驗(yàn)起來(lái)更容易。好在對(duì)于我們的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，在說(shuō)，在n=10和和n=35之間時(shí)檢驗(yàn)的平均花費(fèi)之間時(shí)檢驗(yàn)

8、的平均花費(fèi)A沒(méi)有明顯的變化。在操作過(guò)程中的沒(méi)有明顯的變化。在操作過(guò)程中的次品率次品率qo.003同樣也是必須考慮的。例如，這個(gè)數(shù)值可能會(huì)隨著工廠內(nèi)的同樣也是必須考慮的。例如，這個(gè)數(shù)值可能會(huì)隨著工廠內(nèi)的環(huán)境條件而發(fā)生變化。環(huán)境條件而發(fā)生變化。將我們上面的模型推廣，我們有將我們上面的模型推廣，我們有 在在n17時(shí)我們有靈敏度：時(shí)我們有靈敏度：465(1)nCqn( , )0.16dCqS C qdq C于是，于是，q q的微小的改變很可能不會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)費(fèi)用大的變化。更一般的穩(wěn)健性的微小的改變很可能不會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)費(fèi)用大的變化。更一般的穩(wěn)健性分析要考慮獨(dú)立性的假設(shè)。我們這里必需要假設(shè)在操作過(guò)程中接連出現(xiàn)次

9、品的分析要考慮獨(dú)立性的假設(shè)。我們這里必需要假設(shè)在操作過(guò)程中接連出現(xiàn)次品的次數(shù)之間是無(wú)關(guān)的。事實(shí)上，有可能由于生產(chǎn)環(huán)境中的一些異常的原因，如工次數(shù)之間是無(wú)關(guān)的。事實(shí)上，有可能由于生產(chǎn)環(huán)境中的一些異常的原因，如工作臺(tái)的顫動(dòng)或電壓變化的沖擊，使得次品的二極管趨向于出現(xiàn)在一些批次中。作臺(tái)的顫動(dòng)或電壓變化的沖擊，使得次品的二極管趨向于出現(xiàn)在一些批次中。這時(shí)，獨(dú)立隨機(jī)變量模型的數(shù)學(xué)分析就不能完全處理這個(gè)問(wèn)題。這時(shí)，獨(dú)立隨機(jī)變量模型的數(shù)學(xué)分析就不能完全處理這個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題問(wèn)題 案例二：連續(xù)概率模型案例二：連續(xù)概率模型 1、符號(hào)說(shuō)明、符號(hào)說(shuō)明 3. 建模建模2. 問(wèn)題的分析問(wèn)題的分析( )1tF te 其密度函

10、數(shù)是其密度函數(shù)是( )tf te 指數(shù)分布的一個(gè)非常重要的性質(zhì)是指數(shù)分布的一個(gè)非常重要的性質(zhì)是“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”。對(duì)于任何。對(duì)于任何的的t和和0，我們有，我們有() s ttsP XsTp Xst XsP XseeeP Xt換句話說(shuō)換句話說(shuō)，對(duì)于下一次到達(dá)現(xiàn)象發(fā)生這件事情來(lái)說(shuō)，我們已經(jīng)等待的，對(duì)于下一次到達(dá)現(xiàn)象發(fā)生這件事情來(lái)說(shuō)，我們已經(jīng)等待的s s單位的單位的時(shí)間并不影響直到下一次到達(dá)現(xiàn)象發(fā)生的時(shí)間的時(shí)間并不影響直到下一次到達(dá)現(xiàn)象發(fā)生的時(shí)間的( (條件條件) )分布。指數(shù)分布會(huì)分布。指數(shù)分布會(huì)“忘忘記記”我們已經(jīng)等待了多長(zhǎng)的時(shí)間。我們假設(shè)放射性衰變以一個(gè)未知的速率久。我們已經(jīng)等待了多長(zhǎng)的時(shí)間

11、。我們假設(shè)放射性衰變以一個(gè)未知的速率久。令令1nnnXTTnnXaY 4.模型求解模型求解 01()tnE Yt edt121limnnXXXan以概率以概率1 1成立成立 數(shù)學(xué)模型的建立與建模目的密切相關(guān)數(shù)學(xué)模型的建立與建模目的密切相關(guān)幾類(lèi)常見(jiàn)幾類(lèi)常見(jiàn)建模建模目的目的: : 1. 描述描述或或解釋解釋現(xiàn)實(shí)世界的各類(lèi)現(xiàn)象現(xiàn)實(shí)世界的各類(lèi)現(xiàn)象( (常采用機(jī)理分析的方法常采用機(jī)理分析的方法, ,探索研究對(duì)象的探索研究對(duì)象的 內(nèi)在規(guī)律性內(nèi)在規(guī)律性) )；（二）、建立數(shù)學(xué)模型（二）、建立數(shù)學(xué)模型 2.2. 預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)感興趣的事件是否會(huì)發(fā)生感興趣的事件是否會(huì)發(fā)生, ,或者事物的發(fā)展趨勢(shì)或者事物的發(fā)展趨勢(shì) (

12、 (常采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)或模擬常采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)或模擬的方法的方法) )；3.3. 優(yōu)化優(yōu)化管理、管理、決策決策或者或者控制控制 (事物需合理地定義可量化的評(píng)價(jià)指標(biāo)及評(píng)價(jià)方事物需合理地定義可量化的評(píng)價(jià)指標(biāo)及評(píng)價(jià)方法法) ) 1nTannnTna5 5、結(jié)果分析、結(jié)果分析 2dda2( , )aSaa121nXXXan案例三：公共地的悲劇案例三：公共地的悲劇 o 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 有一個(gè)關(guān)于牧民與草地的故事，說(shuō)的是當(dāng)村莊的草地向村民有一個(gè)關(guān)于牧民與草地的故事，說(shuō)的是當(dāng)村莊的草地向村民完全開(kāi)放時(shí)，每一個(gè)村民都想多養(yǎng)一頭牛，因?yàn)槎囵B(yǎng)一頭牛增完全開(kāi)放時(shí)，每一個(gè)村民都想多養(yǎng)一頭牛，因?yàn)槎囵B(yǎng)一頭牛增加的收益大于其購(gòu)養(yǎng)成

13、本，是有利潤(rùn)的。盡管因?yàn)槠骄萘肯录拥氖找娲笥谄滟?gòu)養(yǎng)成本，是有利潤(rùn)的。盡管因?yàn)槠骄萘肯陆?，增加一頭?？赡苁拐麄€(gè)草地的牛的單位收益下降。試問(wèn)村降，增加一頭?？赡苁拐麄€(gè)草地的牛的單位收益下降。試問(wèn)村民應(yīng)該如何養(yǎng)羊才能使收益最大呢？民應(yīng)該如何養(yǎng)羊才能使收益最大呢？1、假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明、假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明2 2、問(wèn)題分析、問(wèn)題分析o 村民可以從增加的羊只上獲得所有的利益負(fù)面：草地的承載力因?yàn)轭~外增加的羊只有所耗損。然而，關(guān)鍵性在于這兩者的代價(jià)并非平等：村民獲得所有的利益，但是資源的虧損卻是轉(zhuǎn)嫁到所有村民的身上。因此，就理性觀點(diǎn)考量，每一位村民勢(shì)必會(huì)衡量如此的效用，進(jìn)而增加一頭頭的羊只。但是當(dāng)所有的村民皆做

14、出如此的結(jié)論，并且無(wú)限制的放牧?xí)r，草地負(fù)載力的耗損將是必然的后果。于是每一個(gè)個(gè)體依照理性反應(yīng)所做出的決定將會(huì)相同，畢竟獲得的利益將永遠(yuǎn)大于利益的耗損。 o 盡管因?yàn)槠骄萘肯陆担黾右活^牛可能使整個(gè)草地的牛的單位收益下降。但對(duì)于單個(gè)村民來(lái)說(shuō)，他增加一頭牛是有利的?？墒侨绻械拇迕穸伎吹竭@一點(diǎn)，都增加一頭牛，那么草地將被過(guò)度放牧，從而不能滿足牛的需要，導(dǎo)致所有牧民的牛都餓死。這個(gè)故事就是公共資源的悲劇。 3 3、建模與求解、建模與求解iniiinicggggggvggggu )(),(112121111,0iiiiniuggg ggg也就是也就是0)()(*1*1*2*1*1*1*2*1 cg

15、ggggvggggggvniiinii), 2 , 1( , 0)()(*nicGvgGvi 再把上式全部相加，并除以再把上式全部相加，并除以n，可得，可得0)(1)(* cGvGnGvio 從全村放養(yǎng)總量從全村放養(yǎng)總量G的最優(yōu)選擇考慮，則應(yīng)最大化全村養(yǎng)羊的總收益，即的最優(yōu)選擇考慮，則應(yīng)最大化全村養(yǎng)羊的總收益，即 0maxGGv GGco 它的一價(jià)微分條件為它的一價(jià)微分條件為0v GG v Gc4 4、結(jié)果分析、結(jié)果分析o 和全村最優(yōu)條件相比，納什均衡時(shí)放養(yǎng)的羊的總量太多了，全村的草地被和全村最優(yōu)條件相比，納什均衡時(shí)放養(yǎng)的羊的總量太多了，全村的草地被過(guò)度使用，這就是公共地的悲劇。現(xiàn)在，對(duì)一些沒(méi)

16、有排他性使用權(quán)的資源過(guò)度使用，這就是公共地的悲劇?，F(xiàn)在，對(duì)一些沒(méi)有排他性使用權(quán)的資源和環(huán)境，群體（某些個(gè)人。某些地區(qū)、某些國(guó)家）對(duì)資源和環(huán)境使用的均和環(huán)境，群體（某些個(gè)人。某些地區(qū)、某些國(guó)家）對(duì)資源和環(huán)境使用的均衡結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)全社會(huì)總體的最優(yōu)使用的結(jié)果，從而導(dǎo)致的衡結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)全社會(huì)總體的最優(yōu)使用的結(jié)果，從而導(dǎo)致的“公共地的悲公共地的悲劇劇”形象的發(fā)生。形象的發(fā)生。 案例四：案例四：最后要價(jià)仲裁最后要價(jià)仲裁問(wèn)題問(wèn)題1、假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明、假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明2 2、問(wèn)題分析、問(wèn)題分析3 3、建模與求解、建模與求解uufufufuuffuuffwwwFwwwwFwwwFwwpwwpww 2)(212被被選

17、選中中被被選選中中uuffuufwwwFwwwwwu 2)(),(1由此，就可以用期望工資水平由此，就可以用期望工資水平 uufufufuuffuuffwwwFwwwwFwwwFwwpwwpww 2)(212被被選選中中被被選選中中的解。的解。uufufufwwwFwwwwwu 2)(),(2 1max,max2fffufuufuwwwwuwwwwFw 2max,max2uufufufuuwwwwuwwwwFw 122211222fufuuffufuufwwwwwwfFwwwwwwfF 由上述方程組可得由上述方程組可得122fuwwF 上式表明，雙方要價(jià)的平均值一定等于仲裁人偏好方案的中值。將上式表明，雙方要價(jià)的平均值一定等于仲裁人偏好方案的中值。將上式代入式前方程組中任何一個(gè)方程，可得上式代入式前方程組中任何一個(gè)方程，可得12uffuwwwwf 上式表示雙方要價(jià)之差等于仲裁人偏好方案中值點(diǎn)概率密度的倒數(shù)。上式表示雙方要價(jià)之差等于仲裁人偏好方案中值點(diǎn)概率密度的倒數(shù)。 設(shè)若仲裁人的偏好方案服從均值設(shè)若仲裁人的偏好方案服從均值為為m，方差為，方差為2 2的正態(tài)分