第3章一元函數積分學3-2(第一換元積分法與第二換元積分法(1))-副本

1、高等數學A第3章 一元函數積分學3.1.4 3.1.4 不定積分的換元積分法不定積分的換元積分法 中南大學開放式課堂教學3.1 3.1 不定積分不定積分3.1.4 換元積分法換元積分法 第二換元積分法第二換元積分法第一換元積分法第一換元積分法 第二換元積分法應用習例第二換元積分法應用習例18-20第一換元積分法應用習例第一換元積分法應用習例1-17 常見的一些湊微分形式常見的一些湊微分形式基本積分表基本積分表2小結與思考題小結與思考題 換元積分法換元積分法3.1.4 不定積分的換元法不定積分的換元法 利用積分性質和簡單的積分表可以求出利用積分性質和簡單的積分表可以求出不少函數的原函數不少函數的

2、原函數, 但實際上遇到的積分憑但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的這些方法是不能完全解決的. 現在介紹與復合函數求導法則相對應的現在介紹與復合函數求導法則相對應的積分方法積分方法 不定積分換元法不定積分換元法. 它是在積分它是在積分運算過程中進行適當的變量代換運算過程中進行適當的變量代換, 將原來的將原來的積分化為對新的變量的積分積分化為對新的變量的積分, 而后者的積分而后者的積分是比較容易積出的是比較容易積出的. :公式首先看復合函數的導數 )( ),( 上的可構成區(qū)間設可微函數IxuuFy ),()()(xxFxF ),( 則可微的復合函數xFy 它的微分形式為xxxFxFd)()

3、()(d( ),()( 則記ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF原函數原函數?被積表達式被積表達式?也是被積表達式也是被積表達式?一、第一換元積分法一、第一換元積分法 積分形式不變性積分形式不變性引理引理.)(,)()(,)()(可微可微其中其中則則若若xuCuFduufCxFdxxf 例如例如 xdx2cos,2sinCx 原式變形為原式變形為 xdx2cos211cossin22uxuduuC令.2sin21Cx ( ( )( )dfxxx第一換元法第一換元法(湊微分法湊微分法)定理定理1設設)(uf具有原函數，具有原函數， dxxxf)()( )()(xuduuf )(

4、xu 可可導導，則則有有換換元元公公式式.)(CxF 注意注意: .)()1(來湊微分來湊微分選取選取第一換元法關鍵是適當第一換元法關鍵是適當xu (2)第一換元法的過程是第一換元法的過程是:dxxxfdxxg )()()( )()(xdxf duufxu)()( CuF )(.)()(CxFxu 實際解題時實際解題時,常常省略上述過程中的第三與第四等號常常省略上述過程中的第三與第四等號.二、常見的一些湊微分形式二、常見的一些湊微分形式xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬能湊

5、冪法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd常見的一些湊微分形式常見的一些湊微分形式:21(8)(cot )(cot ) (cot )sinfxdxfx dxx 21(9)(arcsin )(arcsin ) (arcsin )1fxdxfx dxx21(10)(arctan )(arctan ) (arctan )1fxdxfx dxx(11)()()xxxxf ee dxf e de21(7)(tan )(tan ) (tan )cosfxdxfx dxx1(6)(ln )(ln ) (ln )fxdxfx dxx例

6、例1 .sin dxxx 計算計算例例2 計算計算.231dxx 例例3 計算計算.)ln21(1dxxx 例例4 計算計算.)1(3dxxx 例例5 計算計算.122dxxa 例例6 計算計算221.dxax例例7 計算計算.122dxax 例例8 計算計算.11dxex 例例9 計算計算.)11(12dxexxx 例例10 計算計算三、第一換元積分法習例三、第一換元積分法習例.dtanxx例例11 計算計算 .cos11 dxx例例12 計算計算.cossin52 xdxx例例13 計算計算.2cos3cos xdxx例例14 計算計算.csc xdx例例15 計算計算 .2arcsin4

7、12dxxx 例例17 ).(,cos)(sin22xfxxf求求設設 例例16 計算計算 101.(1)dxxx例例1.sin dxxx 計算計算解解dxxxdxxx)(sin2sin xdx sin2duuux sin2Cu cos2.cos2 Cxux 例例2 計算計算.231dxx 解解dxx 231dxxx)23(23121 duuux 12123Cu ln21.23ln21Cx )23(23121xdx 例例3 計算計算.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.ln21

8、ln21Cx 例例4 計算計算.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 例例5 計算計算.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 作為公式作為公式想到公式21duuCu arctan練習題練習題 .25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12.34arctan31Cx )4(3)4(122 xdx練習題練習題 .25812dxxx 例例6 計算計算).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解2)(1daxax)

9、(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例7 計算計算.122dxax 解解dxax 221dxaxaxa)11(21 )(1)(121 axdaxaxdaxaCaxaxa lnln21.ln21Caxaxa 例例8 計算計算.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例9 計算計算.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例10 計算計算tan.xdx解解xxxd

10、cossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan類似類似 例例11 計算計算解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2sincos1 dxxxdxx22sincossin1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 例例12 計算解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin3

11、1753Cxxx 注意注意:當被積函數是三角函數相乘時，當被積函數是三角函數相乘時，拆開奇次項去湊微分拆開奇次項去湊微分.例例13 計算計算解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx )5(5cos51cos21 xxdxdx例例14 計算計算解解(1) dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22tan2sec2xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcscln

12、Cxx （使用了三角函數恒等變形）（使用了三角函數恒等變形）解解(2) dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdx )(cos1cos12xdx.1cos1cosln21Cxx 同理可得同理可得.tanseclnsec Cxxxdx例例15 計算計算 解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 例例16 101.(1)dxxx解（解（1） 用萬能湊冪法用萬能湊冪法 ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx10d x1011d10

13、(1)uu u11d10(1)uuuuu1111dln(1)10110uduulu uCuu10101ln101xCx解解(2)xxxd) 1(110 ) 1(d10 xxx10)x10(x解解(3) ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10dx101解解例例17).(,cos)(sin22xfxxf求求設設 xu2sin 令令,1cos2ux ,1)(uuf duuduufuf 1)()(,212Cuu .21)(2Cxxxf 另解另解 )(sin)(sin)(sin222xdxfxf )(sincos22xxd )(sin)sin1 (22xdx.)(sin21sin22

14、2Cxx 問題問題)0( ?22 adxxa方法方法改變中間變量的設置方法改變中間變量的設置方法.taxsin 令令,costdtadx dxxa22tdtataacossin222 tdta22cos （應用（應用“湊微分湊微分”即可求出結果）即可求出結果）四、第二換元積分法四、第二換元積分法定理定理 2其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數數. .證證 設設 為為 的原函數的原函數,)(t )()(ttf 設設)(tx 是單調的、可導的函數，是單調的、可導的函數， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又設又設)()(ttf 具有原函數

15、，具有原函數，,)()(CxCt 左邊左邊令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf )(1t CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 說明說明)(xF為為)(xf的原函數的原函數,注意注意:dtttfdxxftx )()()()1()( dttg )(Ct )(. )()(Cxxt (2)一般規(guī)律如下：當被積函數中含有一般規(guī)律如下：當被積函數中含有22)(xaa 可令可令;sintax 22)(xab 可令可令;tantax 22)(axc 可令可令.sectax (3)以上三種代換稱為三角代換以上三種代換稱為三角代

16、換.通常通過三角代換去根號通常通過三角代換去根號.,)4(22222222dxxaxaxaxxa 如如也也可可湊湊微微分分用用三三角角代代換換的的積積分分都都并并不不是是所所有有含含.1)5(及及其其他他換換外外還還有有倒倒代代換換第第二二換換元元法法除除了了三三角角代代tx 五、第二換元積分法習例五、第二換元積分法習例例例19 計算計算).0(122 adxax例例20 計算計算).0(122 adxax例例18 計算計算22(0).ax dxa. )0(d22axxa解解 令, ),(,sin22ttax則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcos

17、ttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例18 計算計算例例19 計算計算).0(122 adxax解解 令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsec1tanseclnCtt tax22ax 122lnCaxaax 2,2t.)ln(22Caxx )ln(1aCC例例20 計算計算).0(122 adxax解解 令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsec1tansecl

18、nCtt tax22ax 122lnCaaxax .ln22Caxx 注意：注意：以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是消去根式是消去根式.一般規(guī)律如下：當被積函數中含有一般規(guī)律如下：當被積函數中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax tax22ax tax22xa tax22ax 基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;tanseclnsec)18( Cxxxdx;cotcsclncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 基本積分表基本積分表2公式公式16-24;ln211