量子體系本征值問題的解法

1、量子體系本征值問題的解法關(guān)鍵詞：本征值；分析解法；矩陣解法；代數(shù)解法；線性諧振子摘 要：處理量子體系的本征值和本征態(tài)是量子理論的中心問題，對其求解方法進(jìn)行研究具有一定的實(shí)際意義。本文對量子體系本征值問題的求解進(jìn)行歸納與總結(jié)。對于處理本征值問題的常見方法（解析法、矩陣法），給出例證說明。另外，基于代數(shù)的方法，采用升降算符處理一維線性諧振子的本征值和本征態(tài)，進(jìn)而推廣到利用升降算符處理二維以及三維線性諧振子問題，得到二維以及三維線性諧振子的本征值；進(jìn)一步基于代數(shù)方法對角動量的本征值問題進(jìn)行研究。Solution methods of the eigenvalues for Quantum Syste

2、m Keywords: Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillatorAbstract: Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and

3、factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmon

4、ic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution.引 言 我們在初學(xué)量子力學(xué)時(shí)解決本征值問題我們通常選擇分析解法或者矩陣解法，而在物

5、理學(xué)的前沿領(lǐng)域廣泛使用代數(shù)的方法處理本征值問題也是一種很重要的方法和思想，運(yùn)用代數(shù)解法解決本征值問題可能會得到意想不到的效果，因此對于本征值問題的代數(shù)解法及其應(yīng)用的研究具有重要的理論和實(shí)際意義.這就是這篇文章所要達(dá)到的要求.此外，這篇文章還在已知的用升降算符處理一維、二維線性諧振子求本征值問題的基礎(chǔ)上，討論是否在三維線性諧振子的算符解法求本征值進(jìn)而為處理多維線性諧振子本征值問題提供了思路.1. 量子體系本征值問題的分析解法 運(yùn)用分析方法求解本征值，其本質(zhì)是討論定態(tài)問題求出體系有可能存在的波函數(shù)以及在這些定態(tài)所對應(yīng)的能量，歸根到底可以概括為解定態(tài)薛定諤方程，下面通過研究無限深勢阱來講解分析解法求

6、本征值. 假設(shè)現(xiàn)在有一維無限深勢阱為： （1-1）00xa/2-a/2U(x)如圖所示 我們知道一維無限深勢阱的特點(diǎn)是在時(shí)，它的勢能是零；在時(shí)，其勢能為無限大（如圖所示）.定態(tài)薛定諤方程為：在阱內(nèi)時(shí)， （1-2）在阱外時(shí)， （1-3）在（1-3）式.由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件我們知道應(yīng)滿足連續(xù)性和有限性，那么只有在時(shí)，式才成立.于是有 ， （1-4）顯然，（1-4）式是求解（1-2）式的邊界條件.為了運(yùn)算方便，我們通常引入符號 （1-5）則有 ， . 方程的解為 ， . （1-6）由邊界條件（即， ）知： 于是， 由此解得 （1-7） ;此時(shí)不管為何值恒為零，因此應(yīng)將這組解舍去. （1-8）由此解得

7、， （1-9） （1-10） 由此解得 ， （1-11）對第種情況的解，顯然為偶數(shù)；對于第 種情況的解，顯然為奇數(shù).對應(yīng)的解恒為零.而等于負(fù)整數(shù)時(shí)方程的解和等于正整數(shù)時(shí)方程的解只相差一個(gè)負(fù)號，即二者線性相關(guān).因此，綜合、 得 ， （1-12）則 （1-13）由（1-5）式和（1-13）式可得根據(jù)上式可以解得體系的能量為 （1-14）上式對應(yīng)于量子數(shù)的所有取值，有無窮多個(gè)與之對應(yīng)。把（1.8）式代入（1.6）式，可以得到波函數(shù)為 （1-15） （1-16） 所以波函數(shù)為 （1-17）由歸一化條件 （1-18） 可以解得 于是 （1-19） 2.量子體系本征值問題矩陣解法 我們知道態(tài)在不同的表象中

8、，可以用不同的波函數(shù)表述，而算符在表象中是用矩陣表述的，并且我們知道算符在其自身表象中是一個(gè)對角矩陣，下面將通過矩陣的形式來處理量子體系的本征值問題. 我們先來討論這樣一個(gè)問題，在任意一個(gè)力學(xué)量的表象中，怎樣描述所描寫的狀態(tài)呢？ 我們可以先假設(shè)具有分立的本征值它對應(yīng)的本證函數(shù)是 .將其按的本證函數(shù)展開，則有 . （2-1）由歸一化條件， . （2-2）假設(shè)也滿足歸一化條件，于是 于是 . （2-3）據(jù)此，我們知道在所描寫的態(tài)中測量力學(xué)量的結(jié)果是的概率 .那么在中可以表示為 . （2-4）用矩陣表示為： （2-5）其共軛矩陣為： . （2-6）我們知道算符在表象中用矩陣表示，所以力學(xué)量在表象中的

9、矩陣表示為 （2-7）其中，. 將按照表象的本征函數(shù)展開 （2-8）代入期望值公式有 （2-9） （2-10）那么 ， （2-11）所以有 . （2-12） （2-13）即 . （2-14）本征值方程為 （2-15）令 ， 則有 . （2-16）把上式用矩陣表示為： . （2-17）移向并化簡得： . （2-18）顯然，上式是一個(gè)線性齊次的代數(shù)方程組： （2-19）根據(jù)相關(guān)條件，系數(shù)行列式等于零這個(gè)方程組才有非零解，即 ，則久期方程為 （2-20）解這個(gè)久期方程，可以得到的本征值，它是一組值，即，我們?nèi)绻阉蟮玫闹荡耄?-38）式，可以求出與之相對應(yīng)的本征矢 .由此可知，我們就把解微分方程

10、求解本征值的問題變換為了求解（2-21）式的根的問題.3.運(yùn)用代數(shù)解法處理量子體系的本征值問題前面我們講到了用分析解法和矩陣解法處理量子體系的本征值問題，我們也比較習(xí)慣用這兩中解法來求解；但應(yīng)用最早且在物理學(xué)的前沿領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的卻不是這兩種解法而是用代數(shù)的解法來求本征值問題。下面，將分別從一維、二維、三維線性諧振子的角度運(yùn)用代數(shù)的解法來求其本征值和本征函數(shù)，這對于今后的學(xué)習(xí)很有幫助。3.1用升降算符求解一維線性諧振子的本征值 求一維線性諧振子的本征值問題主要是對因式分解法和 經(jīng)典表達(dá)式與算符表達(dá)式的關(guān)系，得出諧振子的升降算符，進(jìn)而求出一維線性諧振子的本征值以及本征函數(shù).首先寫出一維線性諧振

11、子的量為： （3-1）我們知道自然單位是我還知道能量單位和長度單位分別為、，下面進(jìn)行因式分解處理 （3-2）由對易式可以知道， （3-3）現(xiàn)在，令 （3-4） 由 （3-2）式和 （3-4）式知道 （3-5）由 （3-3）式、（3-4）式得： （3-6）令 （3-7）則 （3-8）由 （3-8 ）式可知，由于都是正定厄米算符，對于任意一個(gè)量子態(tài)，若求得的本征值，則的本征值也就可以隨之求出來了.由對易式， （3-9） 現(xiàn)在假設(shè)的本征態(tài)為， （3-10）由（3-5）式以及（3-9）式可以得到 因此，我們可以得到 （3-11）而 （3-12）由（3-11）式和（3-12）式知道， 所以， （3-13

12、）同理 所以，若的本征態(tài)為，其本征值為，顯然，也是的本征態(tài)其征，值為；也是的本征態(tài)，其本征值為.由（3-10）知 于是 所以 （3-14）由（3-14）式可知的最小本征值為，對應(yīng)的本征態(tài)為，即 現(xiàn)在從本征態(tài)開始，逐次用算符進(jìn)行運(yùn)算，于是可以得到所有的本征態(tài)：的本征態(tài)： ；的本征值： .運(yùn)用歸納法可知的歸一化本征態(tài)為 （3-15） 通過前面的敘述知道，有共同的本征函數(shù)，就有由式（3-6），知 于是可以得到 假設(shè)能量本征值為,則有 . （3-16） 由上式可知，最小本征值，即基態(tài)能量為 ， .由式（3-6）和式（3-11）得， ， ，顯然也是的本征態(tài)，其本征值為，以此類推 也是能量本征值。將上述情

13、況綜合整理，可以知道 . （3-17）即 . （3-18）3.2用升降算符求解二維線性諧振子的本征值 上面我們講過了一維線性諧振子的處理方法，接下來討論怎樣用升降算符求解二維線性諧振子的本征值。 與一維線性諧振子的情況類似，在其基礎(chǔ)上對于二維線性諧振子也可以通過因式分解和量來求其本征值和本征函數(shù)。二維線性諧振子的量： （3-19） （3-20）在一維線性諧振子中有，則（3-20）式也可以做類似的處理結(jié)果為 （3-21） 由于與對易，即，根據(jù)對易關(guān)系有 （3-22） （3-23） 參考一維線性諧振子的推導(dǎo)， （3-24）同理有 （3-25）綜上所述，可以求得二維線性諧振子的本征函數(shù) （3-26）

14、 （3-27）3.3用升降算符求解三維線性諧振子的本征值 上面我們我們講到了用升降算符求解一維、二維線性諧振子的本征值問題，那么這種方法是否也同樣適用于三維線性諧振子的本征值問題呢？下面我們就來用升降算符處理三維線性諧振子。按照一維、二維的方法，三維我們也同樣采用因式分解和 量來求其本征值和本征函數(shù)。三維線性諧振子的量可以表示為： （3-28）顯然， （3-29）在一維線性諧振子中有，則（3-32）式也可以做類似的處理結(jié)果為 （3-30）由于與對易，即，根據(jù)對易關(guān)系 以一維以及二維線性諧振子的處理方法為基礎(chǔ)，可以做如下推導(dǎo) （3-31） 參考一維線性諧振子的推導(dǎo)， 同理有 綜上所述，可以求得三

15、維線性諧振子的本征函數(shù) （3-32） （3-33）4. 角動量的本征值問題 我們知道軌道角動量用表示，自旋角動量用表示，總角動量用表示，則有.那么怎么求矢量算符的本征值呢？我們可以根據(jù)角動量算符的厄米性和基本的對易關(guān)系求解。假設(shè)矢量算符的三個(gè)分矢量分別為由對易關(guān)系則有 ， （4-1） ， （4-2） . （4-3） 且有 . （4-4） 以二維各向同性諧振子為例，兩類聲子的算符用來表達(dá)。由一維線性諧振子本征值問題中的正定厄米算符我們知道，正定厄米算符滿足，則在二維諧振子中有 類比一維線性諧振子本征值的解法可知其本征值為 則歸一化本征態(tài)為 （4-5）由于本題討論的是角動量的本征值，所以需要對角動

16、量的三個(gè)分量進(jìn)行定義 （4-6） （4-7）因此 （4-8） （4-9）則其本征值為 （4-10）那么，就是的本征值， （4-11）顯然 （4-12）把，于是有 （4-13） （4-14）現(xiàn)在來討論的取值范圍 （4-15）由上面可知，的取值范圍為根據(jù)（4-13）式、（4-14）式、（4-15）式可以推出 （4-16）于是 （4-17）根據(jù)（4-12）式知 （4-18） 因此 （4-19）5.結(jié)語通過上述求解量子體系本征值問題的討論，我們可以發(fā)現(xiàn)在實(shí)際問題問題中用代數(shù)的方法求本征值這種方法是很重要的，而且可能會使問題變得簡單；在解決問題的過程中我們發(fā)現(xiàn)不管是分解解法、矩陣解法還是代數(shù)的解法我們會得到相同的結(jié)果，這也啟示我們在遇到問題時(shí)我們可以采取較簡單的辦法，而不必拘泥于經(jīng)驗(yàn)。總之，對于量子體系本征值問題的解法的研究具有十分重要的理論和實(shí)踐意義。 參考文獻(xiàn)：1 周世勛.量子力學(xué)教程M.第二版.北京：高等教育出版社.2009.2 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)教程M.第二版.北京：科學(xué)出版社，2008.3 錢伯初，曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析M.第二版.北京：科學(xué)出版社，1988.4 劉宇峰