回歸分析演示文稿

1、 回歸分析模型回歸分析模型 回歸分析是處理數(shù)據(jù)方法之一，其核心思想是：雖然自變量和因變量之間沒有嚴(yán)格的、確定的函數(shù)關(guān)系, 但可以從數(shù)據(jù)本身出發(fā)，設(shè)立參數(shù)，假設(shè)變量之間的關(guān)系，然后求出它們的點(diǎn)估計(jì)或區(qū)間估計(jì)，設(shè)法找出最能體現(xiàn)它們之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。最后用方差分析對模型進(jìn)行誤差評估，對模型的優(yōu)劣給出評價(jià)。 第一節(jié)第一節(jié) 回歸分析的基本問題回歸分析的基本問題回歸分析主要包括下幾個(gè)方面的問題:1、確定幾個(gè)變量之間是否存在相互關(guān)系, 如果存在的話, 找出它們之間合適的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立因變量與自變量之間的回歸模型；2、判斷每個(gè)自變量對的影響是否顯著，哪些是主要因素, 哪些是次要因素；3、對回歸模型的可

2、信度進(jìn)行檢驗(yàn)，診斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；4、根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的值, 預(yù)測或控制另一個(gè)變量的取值, 利用回歸模型對進(jìn)行預(yù)報(bào)或控制，并且估計(jì)這種預(yù)測或控制能達(dá)到什么樣的精確度。回歸分析按照自變量的個(gè)數(shù)，分為一元回歸分析和多元回歸分析。按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，回歸分析可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。本文所討論的模型均為線性回歸模型。第二節(jié)第二節(jié) 基本分布函數(shù)基本分布函數(shù)1、常用分布1）正態(tài)分布當(dāng)大量數(shù)據(jù)圍繞某個(gè)中心波動(dòng)，越邊緣數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率越小時(shí)，通常服從正態(tài)分布。密度函數(shù) . 記為2） 分布設(shè) 是來自總體 的樣本，則統(tǒng)計(jì)量 服從自由度為 的 分布。記為 . 22212xfxe2

3、,XN 212,.,nXXX0,1N222212nXXXn2 22n3） 分布設(shè) ，且 獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 的 分布。 記為 .t2,XN 2Yn,X YYnXt nt tt n4） 分布設(shè) 且 獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 的 分布.記為F 21Un22Vn,U V12UnFVn12,n nF12,FF n n2、一般結(jié)論1）設(shè) 是總體 的樣本， 是樣本均值，則有 ；2）設(shè) 是總體 的樣本， 分別是樣本均值和樣本方差，則有且 獨(dú)立；12,.,nXXX12,.,nXXX2,N 2,N X2,XNn 2,X S22211Snn2,X S3）設(shè) 是總體 的樣本， 分別是樣本均值和

4、樣本方差，則有12,.,nXXX2,N 2,X S1Xt nSn4）設(shè) 與 分別是來自總體 的樣本，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。則有(1)(2)當(dāng)112,.,nXXX212,.,nY YY211,N 222,N 22111222221,1SF nnS22212 121212211XYt nnSnn2211222121,12nSnSSnn其中： 第三節(jié)第三節(jié) 一元回歸模型一元回歸模型對于兩個(gè)隨機(jī)變量 ，如果隨機(jī)變量 的波動(dòng)能引起 改變，我們假設(shè)他們之間存在線性關(guān)系，設(shè) ，其中 是待估參數(shù)， 是隨機(jī)誤差， 是未知的參數(shù)。 稱上式為一元回歸模型一元回歸模型。yx和xy01yx20,N01,2一、基本理論一

5、、基本理論1、參數(shù)估計(jì)01, 1）的估計(jì) （8-1）101 112012201,nnnyxyxyx進(jìn)行n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得： 2011nTTiiiYXYXyx 達(dá)到最小時(shí)模型最優(yōu)。 因此對求偏導(dǎo)并令其等于零?？汕蟮?，繼而得到一元回歸預(yù)測模型：01, 01 yx2） 的估計(jì)設(shè) 為在點(diǎn) 處的殘差，則稱為殘差平方和，他表示經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)所預(yù)測的值 與真實(shí)的 觀察值的偏差平方和，在一定程度上體現(xiàn)了回歸模型的準(zhǔn)確性?？勺C明 是的無偏估計(jì)（略）。2iiieyyix21niiiSSEyyiyiy212SSEn22、有關(guān)統(tǒng)計(jì)推斷總的離差平方和 稱 為殘差平方和，其自由度 ，它反映了 與 之間的線性關(guān)系以外的因素引起

6、數(shù)據(jù) 的波動(dòng)。即隨機(jī)誤差和不可控制的因素引起的誤差，顯然越小模型越準(zhǔn)。2211nniiiiiiSSTyyyyyy2211nniiiiiyyyySSESSR21niiiSSEyy2nyx12,.nyyy稱 為回歸平方和，其自由度 1 ，它反映了線性擬合值與他們平均值的總偏差，即由變量 的變化引起的 的波動(dòng)。顯然 值越大，說明由線性回歸關(guān)系所描述的 的波動(dòng)的比例越大，即線性關(guān)系越明顯。21niiSSRyyxiySSRiy3、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)由于 ，其中當(dāng) 為真時(shí)，因此對給定水平 ，如果 則拒絕 ，認(rèn)為回歸效果顯著，否則接受 .0111:0:0HH21,xxNS1nxxiiSxx01:0

7、H12xxtSt n02|(2)ttn01:0H0H另外也可以對 作區(qū)間估計(jì)，在置信水平下， 的置信區(qū)間為 （注：當(dāng)回歸效果不顯著時(shí)，可能是 與 不存在關(guān)系或影響 的不僅僅是因素 ，還有其他因素；也可能 是 與不是線性關(guān)系。）1111122(2),(2)xxxxtntnSSyxyxxy4、利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測當(dāng)回歸模型和系數(shù)通過檢驗(yàn)后，可由給定的 預(yù)測 ，其點(diǎn)估計(jì)為 （8-2） 的預(yù)測區(qū)間為0y0 x0y001 1 yx2002121xxxxytnnS5、可化為一元回歸的形式 對于兩個(gè)變量不是明顯的線性關(guān)系時(shí)，我們可以通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將其化成一元回歸來處理。1） ，其中 是與 無關(guān)的未知參

8、數(shù)。將 兩邊取對數(shù)，得 . 2,ln0,bxyaeN2ab， ，x,bxyaelnlnlnyabxln yy0lna1bxxln令：原模型轉(zhuǎn)化為一元線性回歸模型：01yx20,N2,ln0,byaxN2）lnlnlnlnyabx兩邊取對數(shù)，得： ,yabf x3） f xx提示：二、例題解析二、例題解析例例1 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過程中，溫度對產(chǎn)品得率的影響，測得數(shù)據(jù)如下：溫度100 110 120 130 140 150 160 170 180 190得率45515461667074788589求：（1） 關(guān)于 的線性回歸方程；（2）求 的無偏估計(jì)；(3)檢驗(yàn)回歸效果是否顯著（ ）；yx20.

9、05（4）求當(dāng)溫度 時(shí)，得率 的點(diǎn)估計(jì)和置信水平為 的區(qū)間估計(jì)。125oxCy0.95解：對于兩個(gè)隨機(jī)變量 ，從上述表格中可以看出來，隨機(jī)變量 的波動(dòng)能引起 改變，做散點(diǎn)圖可以觀察到趨于一條直線。我們假設(shè)他們之間存在線性關(guān)系，設(shè) 其中01yx20,Nxy, x y1） 的估計(jì)代入數(shù)據(jù)，利用最小二乘法：01,011012011010045,11051,19089, 210011TTiiiYXYXyx 01,2.739,0.483 使下式最?。旱茫?） 210.92SSEn3）假設(shè)檢驗(yàn)0111:0:0HH當(dāng) 為真時(shí) 01:0H12xxtSt n146.25xxtS0.05222.306tn經(jīng)計(jì)算0

10、.05246.2522.306ttn拒絕 認(rèn)為回歸效果是顯著的。 01:0H4）模型預(yù)測當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)預(yù)測 預(yù)測區(qū)間為 2.7390.48357.64yx 0125oxC200212157.642.34xxxxytnnS例例2 下表是1957年美國舊轎車價(jià)格的調(diào)查資料， 表示轎車的使用年數(shù)， 表示相應(yīng)的平均價(jià)格，求 關(guān)于 的回歸方程。預(yù)測使用15年后舊轎車的平均價(jià)格。xy 元123456789102651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204xyyxx解：解：當(dāng)我們做散點(diǎn)圖去描繪 與 的關(guān)系時(shí)，明顯會看到，他們之間的關(guān)系并不是線性的，而是趨于指數(shù)分布，因此我

11、們想到用變量替換的方法，化成線性關(guān)系，再利用一元回歸去擬合。yx設(shè)： ， 兩邊取對數(shù) 1 1101xye1011lnlnlnyx1ln yy00ln1ln1xx01yx令：原模型化為 數(shù)據(jù)經(jīng)變換后為1xx1lnyy123456789107.88 7.57 7.30 6.99 6.63 6.28 6.18 5.66 5.42 5.311) 由最小二乘法得01,8.165, 0.298 8.1650.298yx 0.052132.369382.3060 xxtSt經(jīng)計(jì)算拒絕 ， 認(rèn)為回歸效果是顯著，01:0H代回原變量，得曲線回歸方程 當(dāng) 0.297681exp3514.26xyye015x 14

12、0.42y 01122110PPYXXXN2，0N2，其中： 稱誤差項(xiàng) 多元回歸模型多元回歸模型()n npn12,1(,;),iii pixxxyn101 112121 1,112012122212,12011221,1,ppppnnnpn pnyxxxyxxxyxxx進(jìn)行 次獨(dú)立觀測，得到組數(shù)據(jù)（稱為樣本） 12,n 2(0,)N相互獨(dú)立且均服從分布。為了方便，引入矩陣記號：11121,121221,112,111,1ppn pnnn pxxxxxxXxxx121,nnYYYY0112111,pnnpYX得到：由于我們所做的實(shí)驗(yàn)通常情況下是相互獨(dú)立的，因此為列滿秩矩陣，即rank( )=

13、.上式稱為線性回歸模型的矩陣型式。Xp 2110pnTTiijjijYXYXyx 011,pTTX XX Y對求偏導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)等于零。 得方程 1TTX XX Y解得： 1、參數(shù)估計(jì)1） 的最小二乘估計(jì)011,p0112211PPYXXX回歸方程22111nTiiiyye enpnp2）： 的估計(jì)2 2、相關(guān)統(tǒng)計(jì)推斷1）總的離差平方和 21212211niiniiiinniiiiiSSTyyyyyyyyyySSESSR21niiiSSEyy殘差平方和其自由度為 ，它反映了 與 之間的線性關(guān)系以外的因素引起數(shù)據(jù) 的波動(dòng)。即隨機(jī)誤差和不可控制的因素引起的誤差，值越小模型越準(zhǔn)。npY121,pXXX

14、12,.ny yy回歸平方和 21niiSSRyy其自由度為 ，它反映了線性擬合值與他們平均值的總偏差，即由變量 的變化引起 的的波動(dòng)。顯然值越大，說明由線性回歸關(guān)系所描述的的波動(dòng)的比例越大，即線性關(guān)系越明顯。1p iy121,pXXX方差來源自由度平方和均方回歸誤差總和1pnp1nSSRSSESSTSSEMSEnp1SSRMSRp3、模型的假設(shè)檢驗(yàn)0121:0pH 1:0iH至少某個(gè) 1,REMSFF pnpMS構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量計(jì)算 與查表 比較，如果 接受 ，認(rèn)為模型不顯著；如果 ，拒絕 ，接受 認(rèn)為模型顯著，即與之間存在明顯的線性回歸關(guān)系。0FF0FF0H0FF0H1H 4、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

15、和區(qū)間估計(jì)01:0:0jjHH 1TSMSE X X,0,1,1jjjt npjps求出可證得其中 為 的對角線上第 個(gè)元素的平方根。 js Sj當(dāng) 成立時(shí) ，若 不為真時(shí)， ，則 有偏大趨勢。因此對給定水平 ，若 ，接受 ，否則拒絕 。0Hjjtnps0H0jjEt2|()jttnp0H0H在置信水平 下122(),()jjjjtnp stnp s5、利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測0010110,1ppyxx點(diǎn)估計(jì)：區(qū)間估計(jì): 002ytnp s y120001TTsyMSExX Xx其中：eooeoeoe(a)(c)(b)(d)二、殘差分析圖二、殘差分析圖 1、時(shí)序殘差圖在實(shí)際問題中，如果觀測值是按

16、時(shí)間序列測量的，我們就以觀測時(shí)間或觀測值序號為橫坐標(biāo)，以殘差為縱坐標(biāo)作出散點(diǎn)圖，稱為時(shí)序殘差圖。擬合較好的模型其時(shí)序殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)落在以時(shí)間軸為中軸線的帶狀區(qū)域內(nèi)，且無明顯的趨勢性，即圖（a）的形狀；圖（b）說明回歸函數(shù)中應(yīng)包含時(shí)間的二次項(xiàng)為自變量；圖（c）表明誤差方差隨時(shí)間增大，即等方差的假定是不合理的。此時(shí)，可利用數(shù)據(jù)變換可以在一定程度上改善誤差的異方差性。圖（d）表明回歸函數(shù)中應(yīng)包含時(shí)間的線性項(xiàng)。12,1,;1,2,iii pixxxyin2、以擬合值為橫坐標(biāo)的殘差圖若模型適當(dāng)，以擬合值 為橫坐標(biāo)的殘差圖也應(yīng)呈現(xiàn)圖（a）的水平帶形式。若出現(xiàn)如圖（b）說明回歸函數(shù)應(yīng)包含某些變量的高次項(xiàng)或交

17、叉乘積項(xiàng)，或者在擬合模型前應(yīng)對變量 作變換；若出現(xiàn)圖（c）說明誤差方差不是常數(shù)；若出現(xiàn)圖（d）說明擬合數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)間存在系統(tǒng)偏差。這有可能是測量數(shù)據(jù)時(shí)，遺漏了某些對因變量有顯著影響的自變量或者回歸方程遺漏了常數(shù)項(xiàng) 。YY03、以自變量為橫軸坐標(biāo)的殘差圖以每個(gè) 的各觀測值 為點(diǎn)的橫坐標(biāo)即得以此自變量為橫坐標(biāo)的殘差圖。同樣，滿意的殘差圖應(yīng)呈現(xiàn)如圖（a）的水平帶狀。若呈現(xiàn)圖（b）的形狀，則需在模型中添加 的高次項(xiàng)或者對 做變換；若呈現(xiàn)圖（c）的形式說明誤差等方差的假定不合理；若呈現(xiàn)圖（d）說明 的線性效應(yīng)未完全消除。1jXjn1ijxin jXYjX進(jìn)一步，我們還可以 做出以為橫坐標(biāo)的殘差圖，以考

18、察有無必要將 與 的乘積項(xiàng)引入到回歸函數(shù)中（此項(xiàng)也稱為 與 對 的交互影響）。如果該殘差圖呈現(xiàn)某種線性趨勢，說明我們應(yīng)在回歸函數(shù)中加入 項(xiàng)，即應(yīng)考慮如下模型：如果該殘差圖無明顯的趨勢性，即不需考慮 與 的乘積項(xiàng)。12X X1X2X2X1XY12X X01122312YXXX X1X2X第五節(jié)第五節(jié) 回歸模型的選取方法回歸模型的選取方法一、窮舉法一、窮舉法窮舉法是從所有可能的回歸模型中按照一個(gè)準(zhǔn)則選取一個(gè)或幾個(gè)最優(yōu)的模型。 101121MMMMMMpMCCCp1、復(fù)相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則（ 準(zhǔn)則）2pR21,ppPSSRSSERSSTSST 越大說明該線性回歸方程描述因變量總變化量的比例越大，從而擬合的誤

19、差平方和就越小，即擬合效果就越好。因此 可作為衡量擬合擬合優(yōu)劣的一個(gè)的統(tǒng)計(jì)量。2pR2pR可以證明當(dāng)回歸方程中添加自變量時(shí)， 的值單調(diào)不減。因而，當(dāng)所有個(gè)自變量都在回歸方程中時(shí)值最大。故利用 達(dá)到最大來選擇最優(yōu)回歸方程是不可行的。因此在處理問題時(shí)，對于確定的 值，對于包含個(gè)自變量的個(gè)回歸方程中，選取使達(dá)到最大的回歸方程作為候選模型。當(dāng) 增加時(shí)， 的值最開始增長較快，后趨于平緩，則將由較快增加到趨于平緩的分界點(diǎn)處的 值所對應(yīng)的那個(gè)回歸方程選為最優(yōu)的回歸方程。2pR2pR2pR2pRpp利用 選擇回歸方程可簡述如下：1）擬合所有可能的 個(gè)線性回歸模型，并計(jì)算各模型的 值。2）在包含相同個(gè)數(shù)自變量的

20、所有回歸方程所有對應(yīng)的值 中，選擇出的最大值，再同后一組的最大值的 值作比較，當(dāng) 值的增加不再明顯時(shí)，便選擇相應(yīng)的值的回歸方程為最優(yōu)方程。2pR2pR2pR2pR2M2pR2、修正的復(fù)相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則或均方殘差準(zhǔn)則（ 或 準(zhǔn)則）2aRpMSE上述的 法則中，并沒有直接考慮模型中待估參數(shù)的個(gè)數(shù) 的作用。一個(gè)較好的模型應(yīng)該既能從分反映 的變化，又包含較少的待估參數(shù)，為此將 的控制作用引入到 中，得到它的一個(gè)修正量為2pRp1iyin p2pR21111PPpSSEMSEnRSSTnpSSTn 由于 并不隨 的變化而改變， 當(dāng) 增加時(shí)， 和 均在減少，因而在包含不足 個(gè)自變量的回歸方程中使 達(dá)到最小是可

21、能的。因此 達(dá)到最大相當(dāng)于使 達(dá)到最小。利用使 達(dá)到最大選擇最優(yōu)回歸方程得準(zhǔn)則稱為修正的復(fù)相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則。在實(shí)際應(yīng)用中，在一定精度要求下可選擇使 接近于最小，取包含較少數(shù)目的自變量的回歸方程作為最優(yōu)方程。1SSTnpppSSEMSEnppPSSEnpMpMSE2pRpMSE2aRpMSE例例1 某公司在15城市銷售一種服裝。該公司觀測了15個(gè)城市在某季度內(nèi)對該服裝的銷售量 及各地區(qū)人數(shù) 和人均收入 得到數(shù)據(jù)如下表所示。假設(shè)誤差服從正態(tài)分布 。（1）建立 與 ， 之間的線性回歸方程；（2）討論相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)推斷分析模型的可行性。（ ）（3）討論殘差的正態(tài)性。Y1X2X), 0(2NY1X2X0.012

22、,126.93F地 區(qū)銷售（箱）人口（千人）人均收入（元）人均收入（元）1 1162162274274245024502 2120120180180325432543 3223223375375380238024 4131131205205283828385 567678686234723476 6169169265265378237827 781819898300830088 8192192330330245024509 91161161951952137213710105555535325602560111125225243043040204020121223223237237244274

23、427131314414423623626602660141410310315715720882088151521221237037026052605iiy1 ix2ix解解：(1) 設(shè)線性回歸模型的方程為：其中 代表銷售量， 是待估系數(shù)。設(shè) 與 ， 得觀測值之間滿足關(guān)系：由 是 的最小二乘估計(jì)，且 即 是 得無偏估計(jì)?？捎?jì)算得 ，即01122YXXY012, Y1X2X,15, 2 , 1,22110ixxyiiiiYXXXTT1)()(E)01. 0,50. 0,45. 3(2101. 050. 045. 3XXY(2) 相關(guān)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)a)模型檢驗(yàn)：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量設(shè) 至少有一個(gè)非零經(jīng)計(jì)算 。由于

24、 ，故拒絕 ，即認(rèn)為 與 的線性回歸關(guān)系是高度顯著的。MSEMSRF 211210,:0:HH466.56790F)12, 2(0FF 0HY21, XXb)參系數(shù)檢驗(yàn)：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量由 又由 可知， 均顯著。jjt nps 12120.4960050.0091990.006050.00096811ss 1181.924s229.502s0.052122.179t2|()1,2jttnpj12, （3）以擬合值為橫坐標(biāo)做殘差圖，殘差圖無明顯變化趨勢，模型較為滿意。同樣，我們可以以每個(gè) 為橫坐標(biāo)做殘差圖，均可以看到圖形無明顯變化趨勢。模型較為滿意。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化殘差得 ：0.048，-1.225，-0.

25、657，-0.111，-0.321，-0.315，0.582，1.069，-1.760，0.785，-0.788，1.520，-0.450，1.133，0.488；由上述數(shù)據(jù)可知，實(shí)際頻率在(-1,1)之間66% ，在(-1.5,1.5)區(qū)間為87% ，在(-2,2)已經(jīng)達(dá)到100%，符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以殘差具有正態(tài)性，模型可適用性較強(qiáng)。例例2 某牙膏廠為了更好的拓展產(chǎn)品市場，有效的管理庫存，公司董事會要求銷售部門根據(jù)市場調(diào)查，找出公司生產(chǎn)的牙膏銷售量與銷售價(jià)格、廣告投入等之間的關(guān)系，從而預(yù)測在出不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的銷售量。下表為過去三十個(gè)周期的公司記錄。請根據(jù)數(shù)據(jù)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析牙

26、膏的銷售量與其他因素的關(guān)系，制定價(jià)格策略和廣告策略提供依據(jù)。銷售周期銷售價(jià)格(元)其他廠家平均價(jià)格(元)廣告費(fèi)用(百萬元)價(jià)格差(元)銷售量銷售量(百萬支百萬支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.5133.704.307.250.609.5243.703.705.5007.5053.603.857.00.0259.3363.603.806.500.208.2873.603.756.750.158.7583.803.855.250.057.8793.803.655.25-0.157.10103.854.006.000.158.00113.904.1

27、06.500.207.89123.904.006.250.108.15133.704.107.000.409.10143.754.206.900.458.86153.754.106.800.358.90163.804.106.800.308.87173.704.207.100.509.26183.804.307.000.509.00193.704.106.800.408.75203.803.756.500.057.95213.803.756.250.057.65223.753.656.000.107.27233.703.906.500.208.00243.553.656.700.108.502

28、53.604.106.800.508.75263.654.256.800.609.21273.703.656.50-0.058.27283.753.755.7507.67293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.26解：解：1、問題分析處于顧客心里，在購買牙膏時(shí)大多數(shù)的顧客往往更多的注重相同檔次、不同品牌的價(jià)格差異，而不是產(chǎn)品本身的價(jià)格。因此考慮用產(chǎn)品的差價(jià)取代公司銷售價(jià)格和其他廠家的平均價(jià)格。2、基本模型 ：設(shè)牙膏銷售量； ：其他廠家平均價(jià)格與公司銷售價(jià)格之差； ：廣告費(fèi)； ：其他廠家平均價(jià)格； ：公司銷售價(jià)格；y1x2x3x4x做 的散點(diǎn)圖，可以觀察到明顯的線性關(guān)系。做 的散點(diǎn)圖可以觀察到圖像趨于二次曲線。因此建立以下回歸模型：20112232yxxx1, y x用最小二乘估計(jì)得0123(17.32,1.30,3.70,0.35)區(qū)間估計(jì)為0123: 5.728228.9206: 0.68291.9311:7.49890.1077: 0.03