機(jī)械臂的雅可比(新)

1、工業(yè)機(jī)器人技術(shù)工業(yè)機(jī)器人技術(shù)機(jī)電工程學(xué)院 黎萍在位移研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)行速度分析，研究在位移研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)行速度分析，研究操作空間速度操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性映射關(guān)系與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性映射關(guān)系-雅可比矩陣。雅可比矩陣。4.1 雅可比矩陣雅可比矩陣 微分運(yùn)動(dòng) 雅可比矩陣的定義及意義 雅可比矩陣的構(gòu)造 PUMA560的雅可比4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)對(duì)機(jī)械手進(jìn)行操作時(shí)，經(jīng)常涉及到機(jī)械手位置或姿態(tài)的微小對(duì)機(jī)械手進(jìn)行操作時(shí)，經(jīng)常涉及到機(jī)械手位置或姿態(tài)的微小變化，這些變化可由描述機(jī)械手位置的齊次變換矩陣的微小變化，這些變化可由描述機(jī)械手位置的齊次變換矩陣的微小變化來(lái)表示。變化來(lái)表示。把

2、對(duì)于一個(gè)坐標(biāo)系的微分變化變換為對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)系的微分把對(duì)于一個(gè)坐標(biāo)系的微分變化變換為對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)系的微分變化。變化。1.1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移和微分旋轉(zhuǎn) ,+ +=(,)( ,) (4.1)(,),( ,)TTTTTT已已知知坐坐標(biāo)標(biāo)系系可可表表示示為為表表示示基基系系中中微微分分平平移移變變換換，表表示示基基系系中中繞繞 軸軸的的微微分分旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的變變換換。xyzxyzxyzddTrans dddRot f dTrans ddddddRot f dfd= (4.2(,)( ,) =I TTTxyzTrans dddRot fdd4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)100010(,),00100

3、01d微微分分平平移移矢矢量量xyxyzxyzzddTrans dddidjdkdd00( , )00001fxxyxzzxyxyzyyzyxxzyyzxzzf f verscf f versf sf f versf sf f versf sf f verscf f versf sRotf f versf sf f versf sf f versc000limsin,limcos1,lim0,對(duì)對(duì)于于微微分分變變化化，代代入入上上式式vers1010( ,)100001fzyzxyxf df df df dRotdf df d 100101000010100100 =0011000100001

4、00(,)( ,0100010)000000fI xyzxzyyzxzyxzyxzxyyxzdf df ddf df ddf df df df ddf dTrans dddRotfdddf df dd0000000zyxzxyyxzddd4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng),fxyzxxyyzzdx yzf df df d繞 的微分旋轉(zhuǎn)等價(jià)于分別繞三個(gè)軸和 的微分旋轉(zhuǎn)， ，和4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng) +=(,)(,) (4.3 (,)(,)TT TTT也也可可用用的的微微分分平平移移和和微微分分旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)來(lái)來(lái)表表示示微微分分變變換換表表示示對(duì)對(duì)于于給給定定坐坐標(biāo)標(biāo)系系分分平平移移變變換換，表表示示給給定

5、定坐坐標(biāo)標(biāo)系系繞繞 軸軸的的對(duì)對(duì)于于給給微微分分旋旋定定坐坐標(biāo)標(biāo)系系的的微微轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的變變換換。TTTxTTTTxyyzTzTransdddRotf ddTransdddRotf dfd= (,)(,) (4.4)T TITTTTTTxyzdTransdddRotf d0000000 TTTzyxTTTTzxyTTTyxzddd類似地可得：4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng) ,Txyzxyzd d d dD剛體或坐標(biāo)系的剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量微分運(yùn)動(dòng)矢量由微分移動(dòng)矢量和微分轉(zhuǎn)動(dòng)矢由微分移動(dòng)矢量和微分轉(zhuǎn)動(dòng)矢量組成量組成,dxyzxyzidjdkdijk4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)【例題例題】已知坐標(biāo)系已

6、知坐標(biāo)系A(chǔ)A和對(duì)基系的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)為和對(duì)基系的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)為001101005,100.5 ,00.1001000001AdA試試求求微微分分變變換換ijkijkd000.110000=,-0.1000.50000TT 解解：，由由d000.110011000.101000010050000-0.1000.50100000.10.5000000010000AA 有有d4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)2.2.微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換微分運(yùn)動(dòng)的等價(jià)變換經(jīng)常需要將一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的微小變化，變換為另一個(gè)坐標(biāo)系經(jīng)常需要將一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的微小變化，變換為另一個(gè)坐標(biāo)系的等效表達(dá)。的等效表達(dá)。-1= = = =T

7、TT TTTTT據(jù)據(jù)和和，當(dāng)當(dāng)兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)系系等等價(jià)價(jià)時(shí)時(shí)，變變換換后后得得：，TTTdd4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)+=+0000zyyzzyyzzyyzzyyzxzxxzzxxzzxxzzxxzyzyyzzyyzzyyzyxxyznnooaappdnnooaappdnnooaappd()()()()()()()()=()()()()0000n o apdn o apdn o apdxxxxyyyyzzzz00=000000001Tzyxxxxxzxyyyyyyxzzzzzdnoapdnoapdnoap4.1.1微分運(yùn)動(dòng)和廣義速度微分運(yùn)動(dòng)和廣義速度-1 ()()()()()()()()=()(

8、)()()00010000()()()()()()(=TTn p n o apdo p n o apda p n o apdn nn on anpdo no oo Txyzxxxxxyzyyyyxyzzzzznnnoooaaa)()()()()()0000aopda na oa aapd()(),()0ab cbca aac由由0()()()()0()()=()()0()0000n oanp nd nn oo ap od oano ap ad a 0()0()0()0000 a op nd n a np od o o np ad a 4.1.1微分運(yùn)動(dòng)和廣義速度微分運(yùn)動(dòng)和廣義速度0()00()

9、00()000000000=() =() =()= = a op nd n a np od o o np ad ap nd np od op ad a n o 對(duì)對(duì)比比和和，TTTzyxTTTTTzxyTTTyxzTxTyTzTxTydddddd= aTz()()() ()()()()()() 000 000000 p np np np op op op ap ap aTxyzxyzxxTxyzxyzyyTxyzxyzzzTxyzxxTxyzyyTxyzzznnnddoooddaaaddnnnoooaaa ()()=()=() =()=() =()=()= = = = =ab ccabp nd

10、 nnpdp od oopdp ad aapd nn oo aa 由由矢矢量量性性質(zhì)質(zhì)，TTxxTTyyTTzzTTxxTTyyTTzzdddddd4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)則相對(duì)坐標(biāo)系則相對(duì)坐標(biāo)系TT的微分運(yùn)動(dòng)為：的微分運(yùn)動(dòng)為：( )0ddRRp TTTTTSR00( )0zyzxyxppppS ppp反對(duì)稱陣()()() ()()()()()() 000 000000 p np np np op op op ap ap aTxyzxyzxxTxyzxyzyyTxyzxyzzzTxyzxxTxyzyyTxyzzznnnddoooddaaaddnnnoooaaa4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)【例題

11、例題2 2】已知坐標(biāo)系已知坐標(biāo)系A(chǔ)A和對(duì)基系的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)為和對(duì)基系的微分平移和微分旋轉(zhuǎn)為001101005,100.5 ,00.1001000001AAd試試求求對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)系系的的微微分分平平移移和和微微分分旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)ijkijk100.5 ,00.10010001100105000.10 +001100.51050ijkijkijkijkijkijkijkijkijkdnoappddd=()=()=()00.51 ,0.100= = =TxTyTzAATxTyTzdddijkijknpdopdapddn o a 等等價(jià)價(jià)微微分分平平移移和和微微分分旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)為為：，0000000.10

12、.500.10100000011000001005000.10.5010000.1010001000000.1010000000.10.50000AA TTd4.1.1微分運(yùn)動(dòng)微分運(yùn)動(dòng)相應(yīng)地，廣義速度的坐標(biāo)變換為相應(yīng)地，廣義速度的坐標(biāo)變換為TTT( )0vvww TTRR S pR0TTT()0vvwwAABAABBBBAABR SpRR任意兩坐標(biāo)系任意兩坐標(biāo)系 和和 之間廣義速度的坐標(biāo)變換為之間廣義速度的坐標(biāo)變換為 A B4.1.2雅可比矩陣的定義及意義雅可比矩陣的定義及意義 ( ) (4.1)xx qxq操操作作臂臂的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程表表示示操操作作空空間間 與與關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)空空間間 之之間

13、間的的位位移移關(guān)關(guān)系系 ) (Jqxxxqq q對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間求求導(dǎo)導(dǎo)，可可得得出出 與與 之之間間的的微微分分關(guān)關(guān)系系表表示示末末端端在在操操作作空空間間的的速速度度，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱操操作作速速度度； 為為關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)速速度度6J qqx( )為為操操作作臂臂的的雅雅可可比比矩矩陣陣，是是的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)速速度度 向向操操作作矩矩陣陣速速度度, ,的的線線性性變變換換n n自由度自由度機(jī)器人機(jī)器人的的速度雅可比速度雅可比121212121212.( )( ).x qJ qqnnnTxxxnyyynzzznXXXqqqYYYqqqZZZqqqqqqqqqqqq4.1.2雅可比矩陣的定義及意義雅

14、可比矩陣的定義及意義( ),1,2,6,1,2Jqiijjxijqijn第 行第 列的元素4.1.2雅可比矩陣的定義及意義雅可比矩陣的定義及意義剛體或坐標(biāo)系的剛體或坐標(biāo)系的廣義速度廣義速度由線速度和角速度組成由線速度和角速度組成01limvdx = tt00limlim( )( )dDxJ q qJ qq ttttd【例例】圖示圖示為二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人為二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人(2R機(jī)器人機(jī)器人)，端，端點(diǎn)位置點(diǎn)位置X、Y與關(guān)節(jié)與關(guān)節(jié)1、2的的關(guān)系關(guān)系:4.1.2 雅可比矩陣的定義及意義雅可比矩陣的定義及意義12121212ddddddXXXYYY其微分其微分112 12112 12cs

15、Xll cYll s121212ddddXXXYYY1212XXYYJdddXYX12ddd112 122 12112 122 12scll sl sll cl cJddJX4.1.2雅可比矩陣的定義及意義雅可比矩陣的定義及意義 對(duì)于關(guān)節(jié)空間的某些形位對(duì)于關(guān)節(jié)空間的某些形位 ，操作臂的雅可比矩陣的秩，操作臂的雅可比矩陣的秩減少，這些形位稱為減少，這些形位稱為操作臂的奇異形位操作臂的奇異形位。可利用雅可比矩可利用雅可比矩陣的行列式判別奇異形位陣的行列式判別奇異形位。 1 2 2det( ( )J ql l sq4.1.2雅可比矩陣的定義及意義雅可比矩陣的定義及意義1 12 122 121 12

16、122 12scJll sl sll cl c當(dāng)當(dāng)2=0或或2=180，機(jī)械手的雅可比行列式為，機(jī)械手的雅可比行列式為0，矩陣的秩，矩陣的秩為為1，因而處于奇異狀態(tài)。從幾何上看，機(jī)械手完全伸直，因而處于奇異狀態(tài)。從幾何上看，機(jī)械手完全伸直（2=0），），或完全縮回（或完全縮回（2=180）時(shí)，機(jī)械手末端喪失了徑向自由度，）時(shí)，機(jī)械手末端喪失了徑向自由度，僅能沿切向運(yùn)動(dòng)。在奇異形位時(shí)，機(jī)械手在操作空間的自由僅能沿切向運(yùn)動(dòng)。在奇異形位時(shí)，機(jī)械手在操作空間的自由度將減少。度將減少?！纠咳缛鐖D圖所所示示的二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系的二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以軸正向以1.0

17、m/s的速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)的速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)l1=l2=0.5 m。設(shè)在某瞬時(shí)。設(shè)在某瞬時(shí)1=30 ，2=60 ，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。4.1.2雅可比矩陣的定義及意義雅可比矩陣的定義及意義解解：對(duì)于平面對(duì)于平面2R機(jī)械手，逆雅可比可由上例中的機(jī)械手，逆雅可比可由上例中的J(q)的的表達(dá)式表達(dá)式求得：求得：于是得到與末端于是得到與末端速度速度 相應(yīng)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度反解為：的關(guān)節(jié)速度反解為：2 122 1211 12 121 12 121 2 21( )l cl sJql cl cl sl sl l s1, 0 Tx .;2112221221121slcslcslc112 122

18、 12112 122 12scll sl sll cl cJ1( )qJq x4.1.2雅可比矩陣的定義及意義雅可比矩陣的定義及意義4.1.3 雅可比矩陣的構(gòu)造雅可比矩陣的構(gòu)造雅可矩陣雅可矩陣J(q)既可被看成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間的速度傳既可被看成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間的速度傳遞的線性關(guān)系，也可被看成是微分運(yùn)動(dòng)的線性關(guān)系。遞的線性關(guān)系，也可被看成是微分運(yùn)動(dòng)的線性關(guān)系。( ) , ( )Vq qDqqJJd( )63q對(duì)對(duì)于于 個(gè)個(gè)關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)的的機(jī)機(jī)器器人人，其其雅雅可可比比矩矩陣陣是是階階矩矩陣陣，其其中中前前 行行表表示示對(duì)對(duì)手手爪爪的的線線速速度度 的的傳傳遞遞比比，后后三三行行表表示示對(duì)

19、對(duì)手手爪爪的的角角速速度度 的的傳傳遞遞比比；每每一一列列代代表表相相應(yīng)應(yīng)的的關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)速速度度對(duì)對(duì)于于手手爪爪線線速速度度和和加加速速度度的的傳傳遞遞比比inJnvq112212 lllnaaannliaiqJJJqJJJJJiqv和和分分別別表表示示關(guān)關(guān)節(jié)節(jié) 的的單單位位關(guān)關(guān)節(jié)節(jié)速速度度引引起起的的手手爪爪線線速速度度和和角角速速度度4.1.3 雅可比矩陣的構(gòu)造雅可比矩陣的構(gòu)造(1)(1) 矢量積矢量積法法 ,00iiiivzzq Jw ,ioioininiiiivzpzpq Jwzz 00iininpR p對(duì)移動(dòng)關(guān)節(jié)對(duì)移動(dòng)關(guān)節(jié) 對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié) i0表示手爪坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系表示手爪

20、坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系 的位置矢量的位置矢量在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系 中的表示中的表示z zi i表示坐標(biāo)系表示坐標(biāo)系i i的的z z軸單位向量在基坐標(biāo)系軸單位向量在基坐標(biāo)系00中的表示中的表示4.1.3 雅可比矩陣的構(gòu)造雅可比矩陣的構(gòu)造(2(2）微分變換法）微分變換法 對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，連桿對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，連桿i i沿沿ZiZi相對(duì)連桿相對(duì)連桿i-1i-1移動(dòng)移動(dòng) , ,相當(dāng)?shù)南喈?dāng)?shù)奈⒎诌\(yùn)動(dòng)矢量為微分運(yùn)動(dòng)矢量為000 d,010idd 引起的手爪相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)為：引起的手爪相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)為： d0 00 TzxTzyTzziTxTyTzndodadddid()()() ()()()()()() 000 00

21、0000 p np np np op op op ap ap a TxyzxyzxxTxyzxyzyyTxyzxyzzzTxyzxxTxyzyyTxyzzznnnddoooddaaaddnnnoooaaa4.1.3 雅可比矩陣的構(gòu)造雅可比矩陣的構(gòu)造(2(2）微分變換法）微分變換法 對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，連桿對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，連桿i i相對(duì)連桿相對(duì)連桿i-1i-1繞坐標(biāo)系繞坐標(biāo)系 i i 的的 軸軸作為分轉(zhuǎn)動(dòng)作為分轉(zhuǎn)動(dòng) , ,相當(dāng)?shù)奈⒎诌\(yùn)動(dòng)矢量為相當(dāng)?shù)奈⒎诌\(yùn)動(dòng)矢量為idiz000 ,0 d01id 引起的手爪相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)為：引起的手爪相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)為：() ()() d pnpopaTzxTzyTzziT

22、zxTzyTzzdddnoa()()() ()()()()()() 000 000000 p np np np op op op ap ap a TxyzxyzxxTxyzxyzyyTxyzxyzzzTxyzxxTxyzyyTxyzzznnnddoooddaaaddnnnoooaaa4.1.3 雅可比矩陣的構(gòu)造雅可比矩陣的構(gòu)造雅可比矩陣的第雅可比矩陣的第i i列為（表示關(guān)節(jié)列為（表示關(guān)節(jié)i i微分運(yùn)動(dòng)引起的末端微微分運(yùn)動(dòng)引起的末端微分運(yùn)動(dòng)）分運(yùn)動(dòng)）()()(),()()0() ,0 ()0zznnzlilizzzznnaizaiznJiJoianJoiJia pnpopa轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)移動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)

23、節(jié)移動(dòng)關(guān)節(jié)n,o,apTin和 是的四個(gè)列向量4.1.3 雅可比矩陣的構(gòu)造雅可比矩陣的構(gòu)造微分變換法的步驟微分變換法的步驟1 1）計(jì)算各連桿變換）計(jì)算各連桿變換01112nnT TT， ，2 2）計(jì)算各連桿至末端連桿的變換）計(jì)算各連桿至末端連桿的變換112211100111,nnnnniiinnnnnninnnTTTTTTT TTT T3 3）計(jì)算）計(jì)算 各列元素，第各列元素，第i i列列 由由 決定決定( )J qBiJinT4.1.4 PUMA560的雅可比的雅可比(1 (1）用微分變換法）用微分變換法 1111234 5 64 623 5 6234 5 64 623 5 623 4 52

24、3 5( )()()xyzJJJJ qsc c cs sc s csc c ss cc s ss c sc c 12234 5 64 623 5 6223 234 234 5 64 612234 5 64 623 5 6223 234 234 5 64 61223 4 523 5223 234 234 5()()()()()()()()xyzJd cc c cs ss s ca ca cd ss c cc sJdcc c cs ss s ca ca cd ss c cc sJd c c cs ca ca cd ss s ()()()() zzznizzzJinoapnpopa轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)11111

25、11111363611110001xxxxyyyyzzzznoapnoapTT Tnoap1234 5 64 623 5 614 5 64 61234 5 64 623 5 61234 5 64 623 5 614 5 64 61234 5 64 623 5 6()()()()xyzxyzncc c cs ss s cns c cc snsc c cs sc s cocc c ss cs s sos c sc cosc c ss cc s s 1234 523 514 51234 523 51223234231213 2322423xyzxyzac c ss cas sas c sc cpa

26、ca cd spdpa sa sd c 4.1.4 PUMA560的雅可比的雅可比4.1.4 PUMA560的雅可比的雅可比(2(2）用矢量變換法）用矢量變換法 102060162666126( )zpzpzpJ qzzz000000012345612345612345666666661020304050606666661234561),()2) ,3),(T)4),5) ( )( ),( ),( ),( ),( ),( )iiRRRRRRTz zz zzzppppppppppppJ qJ q Jq J q Jq Jq Jq和和由由和和由由的的各各列列0(),ioiiniiniiizpzR p

27、Jzz 為了為了便于表示機(jī)器人手部端點(diǎn)的力和便于表示機(jī)器人手部端點(diǎn)的力和力矩力矩（簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱為為端點(diǎn)端點(diǎn)廣義力廣義力F），可可將將 fn和和nn合并合并寫成一個(gè)寫成一個(gè)6維維矢量矢量：nnfFn各各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫成一個(gè)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫成一個(gè)n維矢量維矢量的的形式形式：12n4.2 力雅可比力雅可比 關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)虛位移虛位移為為dqi，末端執(zhí)行器的虛位移，末端執(zhí)行器的虛位移為為dX,d= dX DT12ddddnqqqq4.2 力雅可比力雅可比假設(shè)假設(shè)發(fā)生上述虛位移時(shí)，各關(guān)節(jié)力矩為發(fā)生上述虛位移時(shí)，各關(guān)節(jié)力矩為i (i=1，2, , n)，環(huán)境作用在機(jī)器人手部端點(diǎn)上的力和力矩

28、分別為環(huán)境作用在機(jī)器人手部端點(diǎn)上的力和力矩分別為fn，和和nn。由上述力和力矩所作的虛功可以由下式求出：由上述力和力矩所作的虛功可以由下式求出：1122ddddnnnnqqqWf dn TTdddWqFDTTTTdd()ddJ qWqFJ FqTJ F對(duì)任意的對(duì)任意的q，欲，欲使使dW =0成立成立，必，必有有或?qū)懗苫驅(qū)懗?4.2 力雅可比力雅可比 式式中中,JT表示手表示手部端點(diǎn)部端點(diǎn)力（操作力）和力（操作力）和廣義關(guān)節(jié)廣義關(guān)節(jié)力（矩）力（矩）之間之間的力的力傳遞關(guān)系傳遞關(guān)系,稱為稱為機(jī)器人力雅克比機(jī)器人力雅克比。 機(jī)器人機(jī)器人力雅克比正好是速度雅克比的轉(zhuǎn)置力雅克比正好是速度雅克比的轉(zhuǎn)置。

29、TJ F4.2 力雅可比力雅可比 若若J是是關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)空間向向操作空間操作空間的映射（微分運(yùn)動(dòng)矢量），的映射（微分運(yùn)動(dòng)矢量），則則JT 把把操作空間的廣義力矢量操作空間的廣義力矢量映射到映射到關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)力矢量關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)力矢量。關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)空間操作空間操作空間雅可比雅可比J力雅可比力雅可比JT4.2 力雅可比力雅可比( )TJ q F( )xJ q q4.2 力雅可比力雅可比( )J q 是是 階矩陣，對(duì)于給定的階矩陣，對(duì)于給定的 ， 的的值域空間值域空間 表表示關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)所能產(chǎn)生的全部操作速度的集合示關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)所能產(chǎn)生的全部操作速度的集合當(dāng)當(dāng) 退化，操作臂處于奇異形位。退化，操作臂處于奇

30、異形位。mnq( )J q( ( )R J q( )J q 的的零空間零空間 表示不產(chǎn)生操作速度的關(guān)節(jié)速度集合，表示不產(chǎn)生操作速度的關(guān)節(jié)速度集合，若不只含若不只含 ，則對(duì)于給定的操作速度，關(guān)節(jié)速度的反解無(wú)限多，則對(duì)于給定的操作速度，關(guān)節(jié)速度的反解無(wú)限多( ( )N J q0 ( ( ) ( ( ) 0R J qqxnmN J q維維xJq( )J q4.2 力雅可比力雅可比靜力映射的靜力映射的零空間零空間 表示不需要任何關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力而能表示不需要任何關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力而能承受的操作力的集合，末端操作力由機(jī)構(gòu)本身承受。承受的操作力的集合，末端操作力由機(jī)構(gòu)本身承受。 ( ) 0 ( )TTRJ qFnmNJ

31、 q維維TJ F ( )TN Jq值域空間值域空間 表示操作力能平衡的所有關(guān)節(jié)矢量的集合。表示操作力能平衡的所有關(guān)節(jié)矢量的集合。( ) TR Jq若已知若已知?jiǎng)t有則有T00T()()()()()()()()()000000000TxyzxyzxxTxyzxyzyyTxyzxyzzzTxxyzxTyxyzyTzxyzznnnpnpnpnddooopopopoddaaapapapaddnnnoooaaa000000000()()()()()()()()()TxxxxxTyyyyyTzzzzzTxxxxyzxxTyyyxyzyyTzzzxyzzznoaffnoaffnoaffpnp opannnnn

32、pnp opaooonnpnp opaaaann4.2 力雅可比力雅可比ABBA 根據(jù)前面導(dǎo)出的兩坐標(biāo)系根據(jù)前面導(dǎo)出的兩坐標(biāo)系A(chǔ)和和B之間廣義速度的坐標(biāo)變換之間廣義速度的坐標(biāo)變換關(guān)系，可以導(dǎo)出關(guān)系，可以導(dǎo)出A和和B之間廣義操作力的坐標(biāo)變換關(guān)系。之間廣義操作力的坐標(biāo)變換關(guān)系。4.2 力雅可比力雅可比0()0BABBAABABABARSpvRvwwR00()AABBAAAABBBBRffSpRRnn解：解：由前面的推導(dǎo)知由前面的推導(dǎo)知【例例】如如圖圖3-18所示的平面所示的平面2R機(jī)械手，手爪端點(diǎn)與外界接觸，機(jī)械手，手爪端點(diǎn)與外界接觸，手爪作用于外界環(huán)境的力手爪作用于外界環(huán)境的力為為 ，若關(guān)，若關(guān)

33、節(jié)無(wú)摩擦力存在，求力節(jié)無(wú)摩擦力存在，求力 的等效關(guān)節(jié)力矩的等效關(guān)節(jié)力矩 。所以得：所以得：圖圖3-18 關(guān)節(jié)力和操作力關(guān)系關(guān)節(jié)力和操作力關(guān)系y0 x012TyxFFF,00(,) (,) )TTTxyxyFF FFff0F12( ,)T 1 12 122 1201 12 122 12l sl sl sJl cl cl c10021 12 122 121 12 122 12TTxyJFFl sl sl sFl cl cl c 【例例】如如圖所示的機(jī)械手夾扳手?jǐn)Q螺絲，在腕部（圖所示的機(jī)械手夾扳手?jǐn)Q螺絲，在腕部（Os）裝有力裝有力/力力矩傳感器，若已測(cè)出傳感器上的力和矩傳感器，若已測(cè)出傳感器上的力和

34、力矩力矩 ，求這時(shí)作用在螺釘上的力和求這時(shí)作用在螺釘上的力和力矩力矩 。( ),zyxSOTrrrP(,)TuvuvPF F FMMM(,)TxyzxyzQF F F MMM解：解：根據(jù)圖示的相應(yīng)位姿關(guān)系得根據(jù)圖示的相應(yīng)位姿關(guān)系得因此可得兩坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系和靜力傳遞關(guān)系為：因此可得兩坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系和靜力傳遞關(guān)系為：STST微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系時(shí)：微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系時(shí)：靜力傳遞關(guān)系時(shí)：靜力傳遞關(guān)系時(shí)：0100010001010001xTTyTSsSzrrRPTr0( )00zyzxyxpps ppppp4.3 奇異性和靈巧度 剛度和變形4.3.1 奇異性和靈巧度奇異性和靈巧度1、速度反解2、雅可比的

35、奇異性3、雅可比矩陣的奇異值分解4、靈巧性度量指標(biāo)1、速度反解、速度反解 機(jī)器人在執(zhí)行某一特定任務(wù)時(shí)，所需抓手獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)機(jī)器人在執(zhí)行某一特定任務(wù)時(shí)，所需抓手獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)目的數(shù)目m隨隨任務(wù)的性質(zhì)而異，最多為任務(wù)的性質(zhì)而異，最多為6，有些則小于，有些則小于6。獨(dú)。獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)目即為操作空間的維數(shù)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)目即為操作空間的維數(shù)m (操作手自由度操作手自由度) 。 （1）當(dāng)）當(dāng)mn，且，且 是是滿秩時(shí)，機(jī)器人具有冗余自由滿秩時(shí)，機(jī)器人具有冗余自由度，冗余度定義度，冗余度定義為為 ； （2）當(dāng)）當(dāng)m=n，且，且 是是滿秩的，稱為滿自由度；滿秩的，稱為滿自由度； （3）當(dāng)）當(dāng)mn，機(jī)器人是欠

36、自由度的。，機(jī)器人是欠自由度的。)(q qJdim( )N J)(q qJ 對(duì)于滿自由度的機(jī)器人對(duì)于滿自由度的機(jī)器人， 是是方陣，一般情況下，可以方陣，一般情況下，可以反解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度反解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。 對(duì)于冗余度機(jī)器人，其雅可比的列數(shù)多于行數(shù)，即對(duì)于冗余度機(jī)器人，其雅可比的列數(shù)多于行數(shù)，即nm。當(dāng)當(dāng) 是是滿秩的時(shí)，冗余度為滿秩的時(shí)，冗余度為速度反解不唯一，其通解可表示為速度反解不唯一，其通解可表示為)(q qJ1( )( )xJ q qqJq x. 0)(dim(mnJNq qoskq qq qq q1、速度反解、速度反解)(q qJ2、雅可比的奇異性、雅可比的奇異性 操作臂的雅可比

37、依賴于形位操作臂的雅可比依賴于形位 ，關(guān)節(jié)空間的奇異形位，關(guān)節(jié)空間的奇異形位 定義為操作臂定義為操作臂 的的雅可比的秩不是滿秩的這些關(guān)節(jié)矢雅可比的秩不是滿秩的這些關(guān)節(jié)矢量量 ，即滿足即滿足 (4.35)相應(yīng)的操作空間中的相應(yīng)的操作空間中的點(diǎn)點(diǎn) 為為工作空間的奇異點(diǎn)工作空間的奇異點(diǎn)。q qq qq qn6Rank( ( )min(6, )Jnq q)(q qxx 機(jī)器人的奇異形位分為兩類：機(jī)器人的奇異形位分為兩類：（1）邊界邊界奇異形位奇異形位： 當(dāng)當(dāng)機(jī)器人臂全部伸展開(kāi)或全部折回時(shí)，使手部處于機(jī)器人工機(jī)器人臂全部伸展開(kāi)或全部折回時(shí)，使手部處于機(jī)器人工作空間的邊界上或邊界作空間的邊界上或邊界附近出

38、現(xiàn)附近出現(xiàn)逆雅可比奇異，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)受逆雅可比奇異，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)受到物理結(jié)構(gòu)的約束。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形到物理結(jié)構(gòu)的約束。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位位稱為稱為邊界邊界奇異形奇異形位位。（2）內(nèi)部?jī)?nèi)部奇異形位奇異形位： 兩兩個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)節(jié)軸線重合時(shí)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)相互抵個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)節(jié)軸線重合時(shí)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)相互抵消，不產(chǎn)生操作消，不產(chǎn)生操作運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，稱，稱內(nèi)部?jī)?nèi)部奇異形位。奇異形位。 機(jī)器人機(jī)器人處在奇異形位時(shí)會(huì)產(chǎn)生處在奇異形位時(shí)會(huì)產(chǎn)生退化退化現(xiàn)象，喪失現(xiàn)象，喪失1或多個(gè)自由或多個(gè)自由度度。不管機(jī)器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇不管機(jī)器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇, 手部也不可能動(dòng)手部也不可能動(dòng)2、雅可比的奇異性、雅可

39、比的奇異性 冗余度機(jī)器人對(duì)于避免碰撞，避開(kāi)奇異狀態(tài)，冗余度機(jī)器人對(duì)于避免碰撞，避開(kāi)奇異狀態(tài)，增加操作臂的靈巧性，改善動(dòng)態(tài)性能會(huì)帶來(lái)好處。增加操作臂的靈巧性，改善動(dòng)態(tài)性能會(huì)帶來(lái)好處。2、雅可比的奇異性、雅可比的奇異性3、雅可比矩陣的奇異值分解、雅可比矩陣的奇異值分解 根據(jù)矩陣的奇異值分解理論，根據(jù)矩陣的奇異值分解理論，對(duì)操作臂在任意形位的對(duì)操作臂在任意形位的雅可比雅可比 進(jìn)行奇異值分解，進(jìn)行奇異值分解，即即式中，式中， ； ，為正交矩陣，為正交矩陣對(duì)角對(duì)角陣與雅可比矩陣陣與雅可比矩陣 具有相同的秩具有相同的秩)(q qJVUJ)(q qnmRUnnRV1212000000, 000mmJ為 的奇

40、異值)(q qJrJ)(Rank)(Rank 當(dāng) r m 時(shí)， 的形式為式中， 是最大奇異值， 是最小奇異值。0000000000000000021r1r3、雅可比矩陣的奇異值分解、雅可比矩陣的奇異值分解4、靈巧性度量指標(biāo)、靈巧性度量指標(biāo) 條件條件數(shù)數(shù)Salibury和和craig利用利用 的條件數(shù)作為評(píng)判的條件數(shù)作為評(píng)判stanford手手爪理想尺度最優(yōu)化的準(zhǔn)則（矩陣求逆的數(shù)值穩(wěn)定性）爪理想尺度最優(yōu)化的準(zhǔn)則（矩陣求逆的數(shù)值穩(wěn)定性）( )J q( )( ) ,()( )( )J qJqmnk JJ qJqmn當(dāng)且 非 奇 異， 當(dāng)可以證明，條件數(shù)與奇異值的關(guān)系為：可以證明，條件數(shù)與奇異值的關(guān)系

41、為：1(),1rk Jk 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，操作臂具有的形位稱為各向同性，這時(shí)時(shí)，操作臂具有的形位稱為各向同性，這時(shí)靈巧度最高，各奇異值相等。靈巧度最高，各奇異值相等。1k 4、靈巧性度量指標(biāo)、靈巧性度量指標(biāo)v最小奇異值最小奇異值最小奇異值可作為控制所需關(guān)節(jié)速度上限的指標(biāo)最小奇異值可作為控制所需關(guān)節(jié)速度上限的指標(biāo)(1)rqX最小奇異值越大，操作臂終端對(duì)關(guān)節(jié)速度的相應(yīng)越快最小奇異值越大，操作臂終端對(duì)關(guān)節(jié)速度的相應(yīng)越快4、靈巧性度量指標(biāo)、靈巧性度量指標(biāo)v運(yùn)動(dòng)靈巧性指標(biāo)運(yùn)動(dòng)靈巧性指標(biāo)Angeles和和Rojas提出把最小條件數(shù)提出把最小條件數(shù) 的倒數(shù)作為度量操的倒數(shù)作為度量操作臂靈巧性的指標(biāo)作臂靈巧性的指標(biāo)

42、1100%mDk實(shí)際上條件數(shù)只與中間的關(guān)節(jié)變量實(shí)際上條件數(shù)只與中間的關(guān)節(jié)變量 ，可記，可記為為mk2345,min()mqqqqkk J2345,q q q q2345(,)mkk qqqq4、靈巧性度量指標(biāo)、靈巧性度量指標(biāo)v可操作性可操作性Yoshikawa將雅可比與其轉(zhuǎn)置之積的行列式定義為可操作將雅可比與其轉(zhuǎn)置之積的行列式定義為可操作性的度量指標(biāo)性的度量指標(biāo)12det( )( )TmJ qJ q 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，當(dāng)雅可比處于奇異形位，當(dāng)雅可比處于奇異形位時(shí)，時(shí)， ，操作臂的可操作性為，操作臂的可操作性為0mndet( )J q( ),0Rank J qm4.3.2 剛度和變形剛度和變形操

43、作臂的剛度是影響它動(dòng)態(tài)性能和定位精度的主要因素操作臂的剛度是影響它動(dòng)態(tài)性能和定位精度的主要因素產(chǎn)生變形的部位有連桿本身，連桿支承和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)裝置產(chǎn)生變形的部位有連桿本身，連桿支承和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)裝置對(duì)大部分工業(yè)機(jī)器人而言，變形的主要來(lái)源是傳動(dòng)、減速對(duì)大部分工業(yè)機(jī)器人而言，變形的主要來(lái)源是傳動(dòng)、減速裝置和伺服系統(tǒng)裝置和伺服系統(tǒng)整個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（包括傳動(dòng)減速機(jī)構(gòu)）的剛度用一個(gè)彈簧系整個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（包括傳動(dòng)減速機(jī)構(gòu)）的剛度用一個(gè)彈簧系數(shù)數(shù) 表示表示qikiiqik dq各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力(矩矩)可寫成矩陣形式：可寫成矩陣形式：12 (,)qqqqqnddiag kkkKqK4.3.2 剛度和變形剛度和變

44、形 ( ),( )TqdJdJKqDqq q F由且 11( )( )( )TqqJJJDq Kq Kq F得 由于由于 嚴(yán)格正，所以嚴(yán)格正，所以 的逆的逆 存在，稱為關(guān)節(jié)柔度存在，稱為關(guān)節(jié)柔度qikqK1qK1( )( )( )TqCJJqq Kq為為操作臂的柔度矩陣（操作柔度）操作臂的柔度矩陣（操作柔度），表示操作空間的力和表示操作空間的力和變形之間的線性關(guān)系變形之間的線性關(guān)系( )CDq F當(dāng)雅可比矩陣當(dāng)雅可比矩陣 滿秩，滿秩， 的逆的逆 存在，稱為存在，稱為操作臂的剛度矩陣操作臂的剛度矩陣( )J q( )C q1( )Cq4.3.2 剛度和變形剛度和變形當(dāng)當(dāng) 退化，零空間退化，零空間

45、 包含非零向量，其中的包含非零向量，其中的操作力操作力 映射為零關(guān)節(jié)力矩，不產(chǎn)生任何變形，意味著映射為零關(guān)節(jié)力矩，不產(chǎn)生任何變形，意味著這個(gè)方向的剛度無(wú)限大。這個(gè)方向的剛度無(wú)限大。( )J q( )TNJ qF ( ),( )TqdJdJKqDqq q F由且 為了說(shuō)明操作柔度矩陣為了說(shuō)明操作柔度矩陣 的物理特征，對(duì)其進(jìn)行主變的物理特征，對(duì)其進(jìn)行主變換，找出最大變形和最小變形方向。換，找出最大變形和最小變形方向。( )C q對(duì)對(duì)2R機(jī)械手，操作力矢量機(jī)械手，操作力矢量 ，相應(yīng)的操作，相應(yīng)的操作空間變形為空間變形為 ，其操作手柔度矩陣為，其操作手柔度矩陣為,TxyffF,TxyddD122221

46、 12 122121 12121 12 12212 12121222221 12121 12 12212 121 12122121212( )( )( )()()() =()()()TqCJJl sl sl sl cl cl sl sl c skkkkl cl cl sl sl c sl cl cl ckkkkqq Kq4.3.2 剛度和變形剛度和變形1( )( )( )TqCJJqq Kq由于由于 是正定對(duì)角陣，是正定對(duì)角陣， 為對(duì)稱方陣，為對(duì)稱方陣，1qqKK和( )C q對(duì)某一對(duì)某一 ，單位操作力引起的變形的大小與作用力的方單位操作力引起的變形的大小與作用力的方向有關(guān)，向有關(guān)，最大變形和

47、最小變形對(duì)應(yīng)的方向?yàn)樽冃沃鬏S最大變形和最小變形對(duì)應(yīng)的方向?yàn)樽冃沃鬏Sq( )( ) (4.56)TTTCCD DFqq F變 形 的 模 方單位操作力單位操作力 約束條件約束條件1TFFF求最大柔度和最小柔度所對(duì)應(yīng)的主軸方向，即在求最大柔度和最小柔度所對(duì)應(yīng)的主軸方向，即在操作力的操作力的約束條件下求約束條件下求(4.56)的條件極值的條件極值，引入拉格朗日算子，引入拉格朗日算子，定定義拉格朗日函數(shù)：義拉格朗日函數(shù)：( )( ) -(1) TTTLCCFqq FFF4.3.2 剛度和變形剛度和變形( )( ) -(1) TTTLCCFqq FFF(4.56)的條件極值存在的必要條件是的條件極值存在

48、的必要條件是:0 10; (4.58)0 ( )( ) -0TTLLCC FFqq FFF由此可見(jiàn)，拉格朗日乘子由此可見(jiàn)，拉格朗日乘子 為平方柔度矩陣為平方柔度矩陣 的特征值，的特征值，最大柔度和最小柔度對(duì)應(yīng)的方向即為特征向量最大柔度和最小柔度對(duì)應(yīng)的方向即為特征向量方向方向，因此問(wèn)題歸結(jié)為求，因此問(wèn)題歸結(jié)為求 的特征值和特征向的特征值和特征向量，解方程量，解方程(4.58)，可得到最大最小特征值，可得到最大最小特征值 ( )( )TCCqq( )( )TCCqq4.3.2 剛度和變形剛度和變形main1()4,( )( )2TaaaaaaaCCaaqq解方程解方程(4

49、.58)，可得到最大最小特征值，可得到最大最小特征值 由特征方程由特征方程(4.58)可得出操作臂末端變形的模方為可得出操作臂末端變形的模方為( )( ) TTTTCCD DFqq FFF因此因此最大與最小變形分別為最大與最小變形分別為 ，對(duì)應(yīng)的特，對(duì)應(yīng)的特征向量方向，互相正交，稱為主方向。選這兩個(gè)方向?yàn)樽鴺?biāo)征向量方向，互相正交，稱為主方向。選這兩個(gè)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，操作柔度矩陣相對(duì)于主坐標(biāo)系表示時(shí)，將變?yōu)閷?duì)角陣。軸，操作柔度矩陣相對(duì)于主坐標(biāo)系表示時(shí)，將變?yōu)閷?duì)角陣。maxmin 和max*min12120( )( )0 , ,TCE CEEeeee qq為 沿 主 軸 的 單 位 矢 量 ,正 交4.4 誤差標(biāo)定與補(bǔ)償誤差標(biāo)定與補(bǔ)償v通常通常將參數(shù)誤差分為兩類：將參數(shù)誤差分為兩類：wa. 關(guān)節(jié)變量誤差，關(guān)節(jié)變量誤差，wb. 固定參數(shù)誤差。固定參數(shù)誤差。v“小誤差模型小誤差模型”是指連桿變換的微小誤差（包括位置誤是指連桿變換的微小誤差（包括位置誤差和方位誤差）可由連桿參數(shù)的微小偏差進(jìn)行建模。差和方位誤差）可由連桿參數(shù)的微小偏差進(jìn)行建模。v對(duì)于對(duì)于標(biāo)定而言，可以只測(cè)量參考點(diǎn)的直角坐標(biāo)位置，也標(biāo)定而言，可以只測(cè)量參考點(diǎn)的直角坐標(biāo)位置，也可同時(shí)測(cè)量參考點(diǎn)的位置和方位。可同時(shí)測(cè)量參考點(diǎn)的位置和方位。v相鄰連桿坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)關(guān)系由四