線性代數(shù)課件：1-5 克拉默法則

1、1.5 克拉默法則克拉默法則 利用利用n階行列式來給出含有階行列式來給出含有n個未知量的線性方程組的公式解。個未知量的線性方程組的公式解。定理定理11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 設含有設含有n n個未知量的線性方程組為，個未知量的線性方程組為，如果系數(shù)行列式如果系數(shù)行列式則方程組有唯一解則方程組有唯一解:1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa1212(2),nnDDDxxxDDD 其中其中Dj j( (j j=1,2,=1,2, ,n n) )是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式D中第

2、中第j j 列的元列的元素換成方程組的右端常數(shù)項所構成的素換成方程組的右端常數(shù)項所構成的n n階行列式階行列式, ,即即111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 證證略略該定理說明當該定理說明當D0時，方程組有時，方程組有唯一解唯一解, ,而且利用行而且利用行列式的概念，該唯一解可以用列式的概念，該唯一解可以用簡潔的公式來表示。簡潔的公式來表示。211112122221111nnnnnnaaaaaaDaaa 例例設設aiaj （i j，i，j1,2,n)求解方程組求解方程組解2111213121122232211323

3、33211231111nnnnnnnnnnnxa xa x. axxa xa x. axxa xa x. ax.xa xa x. ax 系數(shù)行列式系數(shù)行列式范德蒙德行列式1()jinjiaa 0 由克拉默法則解方程組有唯一解：由克拉默法則解方程組有唯一解：1212,nnDDDxxxDDD 現(xiàn)在，現(xiàn)在，1,DD 而當而當j22時，時，Dj中會出現(xiàn)第中會出現(xiàn)第1 1列和第列和第j j 列都是列都是1 1，故，故Dj0 0，所以方程組的唯一解是，所以方程組的唯一解是，121,0,0nxxx 性質性質111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa x

4、a xa x 設含有設含有n n個未知量的線性方程組為，個未知量的線性方程組為，如果系數(shù)行列式如果系數(shù)行列式則則,方程組只有零解，方程組只有零解，0,D 120,0,0nxxx 為什么呀為什么呀111111D 例例問問取何值時，下面線性方程組只有零解取何值時，下面線性方程組只有零解. .解123123123000 xxxxxxxxx 系數(shù)行列式系數(shù)行列式21RR31RR110-11- -101- 321()CCC+2110-10-100 2(1) (2) 由性質知道，當由性質知道，當D0D0時，即時，即1 1且且2 2時，該方時，該方程組只有零解。程組只有零解。作業(yè)：（注：每周一早上8點交作業(yè)

5、）P30 1.（2）（3） 2.1.6 概要與小結概要與小結概要概要本章重點內(nèi)容可以歸結為三個方面：本章重點內(nèi)容可以歸結為三個方面：一個概念（一個概念（n n階行列式）階行列式）兩種計算行列式的方法兩種計算行列式的方法九類可直接求出的行列式九類可直接求出的行列式一、一、n n階行列式階行列式n n階行列式階行列式| |aij| |n n是所有不同行不同列元素乘積的代數(shù)和，其定義可是所有不同行不同列元素乘積的代數(shù)和，其定義可分為三個步驟，分為三個步驟，1 2 nj jj1212njjnjaaa1 2()( 1) nj jj 取項取項(不同行不列)冠符冠符(以逆序數(shù)確定符號)求和求和(乘積項的和）

6、|aij|n此處行指標是標準排列，此處行指標是標準排列，若非標準排列，那如何若非標準排列，那如何確定符號呢？確定符號呢？1211 21,nnnnaaaa0二、二、九類可直接求出的行列式九類可直接求出的行列式11121222000nnnnaaaaaDa11212212000nnnnaaaaaa 1121nna aa1211 21,nnnnaaDaa0()(),1211211n nnnna aa1.2.3.4.1111111111110000rrrrrsssrsssaaaaccbbccbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb5.1111111111110000rsrrrrrsssss

7、aaccaaccbbbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb6.1111111111110000rrrrsrsssssraaaabbccbbcc 1111rrrraaaa1111ssssbbbb7.1111111111110000srrrsrrrssssccaaccaabbbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb8.() 1rs() 1rs9.n階范德蒙德階范德蒙德行列式行列式12222121211112111(,.,)nnnnnnnaaaaaaD a aaaaa 213113221()().()().().()nnnnaaaaaaaaaaaa 1().jinj i

8、aa 記為三、兩種計算行列式的方法三、兩種計算行列式的方法計算行列式可歸結為兩個字：計算行列式可歸結為兩個字：化簡化簡化簡為前面九類基本行列式化簡為前面九類基本行列式降階降階最常用最基本的就是把行最常用最基本的就是把行列式化為上列式化為上三角行列式三角行列式利用行列式性質，在某一行利用行列式性質，在某一行（列）構造出盡可能多的零，（列）構造出盡可能多的零，再按該行（列）展開再按該行（列）展開構造盡可能多的零例例求多項式求多項式 f (x) 的全部根，其中的全部根，其中1211211211231231111( )11nnnnnxaaaaxaaaaxaf xaaaxaaaa 解法一鄰近兩行非常接近

9、，為鄰近兩行非常接近，為了構造盡可能多的零，了構造盡可能多的零，可以考慮相鄰兩行相減可以考慮相鄰兩行相減( )f x R1R2R2R3 .RnRn+1 12312310000000000000001nnnxaaxxaxaxaaaaa 按第n+1列展開 1230000000000nnxaaxxaxaxa ()()()12nx ax ax a所以，所以，f（x) )的全部根是：的全部根是：a1，a2，an。解法二對于對于n階行列式，也可考慮利用遞推關系求解。階行列式，也可考慮利用遞推關系求解。( )f x 記為1112112112111231231()101010101nnnnnnxaaaaaax

10、aaaaxaDaaaxaaaa 11212121123231101010101nnnnnnxaaaaxaaaxaDaaxaaa 1121121121123123111111nnnnnaaaaaxaaaaxaaaaxaaaa () 2n 12n 112323n 1nxaa1axa1xa0aax1aaa1所以所以11(), nnDxa D對任意對任意n都成立，即都成立，即,111211212121121()()()()()()1()()()()()()()1nnnnnnnnDxa DxaxaDxaxaxaDxxaxaxaxaxaxaxaa所以，所以， f（x)x)的全部根是：的全部根是：a1，a2，an。解