《任意角的概念》

1、1.1.1 1.1.1 任意角任意角你能說(shuō)說(shuō)初中所學(xué)的角的概念嗎？你能說(shuō)說(shuō)初中所學(xué)的角的概念嗎？分針旋轉(zhuǎn)分針旋轉(zhuǎn)1515分鐘，所形成的圖形是否構(gòu)成角？分鐘，所形成的圖形是否構(gòu)成角？這個(gè)角是多少度？這個(gè)角是多少度？如果是，那這個(gè)角又是多少度呢？如果是，那這個(gè)角又是多少度呢？分針旋轉(zhuǎn)分針旋轉(zhuǎn)1 1小時(shí)小時(shí)1515分鐘，所形成的圖形是否構(gòu)成角？分鐘，所形成的圖形是否構(gòu)成角？1、角的概念、角的概念從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線兩條射線構(gòu)成的幾何圖形構(gòu)成的幾何圖形. 這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它是從圖形形狀來(lái)定義角，因此角的范圍是但它是從

2、圖形形狀來(lái)定義角，因此角的范圍是0, 360， 這種定義稱(chēng)為這種定義稱(chēng)為靜態(tài)定義靜態(tài)定義，其弊端在于，其弊端在于“狹狹隘隘”.你能舉出生活中其他大于你能舉出生活中其他大于360360度的角嗎？度的角嗎？由此你對(duì)角的概念有什么新的想法？由此你對(duì)角的概念有什么新的想法？ 生活中很多實(shí)例不在該范圍。生活中很多實(shí)例不在該范圍。 體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體向外轉(zhuǎn)體1080； 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)1小時(shí)，時(shí)針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多小時(shí)，時(shí)針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？少度？ 這些例子不僅不在范圍這些例子不僅不在范圍0, 360 ，而且，而且方向不同，有方向不同，有必要必

3、要將角的概念將角的概念推廣推廣到到任意角任意角， 想想用什么辦法才能推廣到想想用什么辦法才能推廣到任意角任意角？ 2角的概念的推廣角的概念的推廣“旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)”形成角形成角 一條射線由原來(lái)的位置一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)繞著它的端點(diǎn)O按按逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置到另一位置OB，就形成角，就形成角 旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做叫做角角的的始邊始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角叫做角的的終邊終邊，射線的，射線的端端點(diǎn)點(diǎn)O叫做角叫做角的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)將瓶蓋轉(zhuǎn)動(dòng)將瓶蓋轉(zhuǎn)動(dòng)3030度，是旋緊了還是旋松了？度，是旋緊了還是旋松了？生活中是否還存在其他需要生活中是否

4、還存在其他需要區(qū)分旋轉(zhuǎn)方向的角？區(qū)分旋轉(zhuǎn)方向的角？如果存在，那如何從數(shù)學(xué)角度更好地如果存在，那如何從數(shù)學(xué)角度更好地刻畫(huà)這些角？刻畫(huà)這些角？“正角正角”與與“負(fù)角負(fù)角”、“0角角” 我們把我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做所形成的角叫做正角正角，把，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做所形成的角叫做負(fù)角負(fù)角，如圖，以，如圖，以O(shè)A為始邊的角為始邊的角=210，=150，=660， 一艘在暗礁區(qū)還是沿正北方向航行的測(cè)一艘在暗礁區(qū)還是沿正北方向航行的測(cè)量船為躲避暗礁而不斷改變航向：向右量船為躲避暗礁而不斷改變航向：向右轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3030度，再向左轉(zhuǎn)度，再向左轉(zhuǎn)4545度，再向

5、右轉(zhuǎn)度，再向右轉(zhuǎn)5050度，度，再向左轉(zhuǎn)再向左轉(zhuǎn)4545度，再向右轉(zhuǎn)度，再向右轉(zhuǎn)2020度，最后再度，最后再向左轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)1010度，問(wèn)此測(cè)量船最后沿怎樣的度，問(wèn)此測(cè)量船最后沿怎樣的方向前進(jìn)？方向前進(jìn)？面對(duì)這個(gè)結(jié)果，你覺(jué)得前面的面對(duì)這個(gè)結(jié)果，你覺(jué)得前面的角的概念還應(yīng)怎樣完善？角的概念還應(yīng)怎樣完善？ 特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零度角（叫做零度角（0） 角的記法：角的記法：角角或或可以簡(jiǎn)記成可以簡(jiǎn)記成.角既有大小、又有方向，角既有大小、又有方向，那該如何表示任意角？那該如何表

6、示任意角？角的概念擴(kuò)展的意義：角的概念擴(kuò)展的意義：用用“旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)”定義角之后，定義角之后，角的范圍角的范圍大大地大大地?cái)U(kuò)大擴(kuò)大了了 角有正負(fù)之分角有正負(fù)之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可以任意大; 實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周（周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ） 還有零角還有零角, 一條射線，沒(méi)有旋轉(zhuǎn)一條射線，沒(méi)有旋轉(zhuǎn). 角的概念推廣以后，角的概念推廣以后，它包括它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角任意大小的正角、負(fù)角和零角 要注意，正角和負(fù)角是表示具有要注意，正角和負(fù)角是表示具有相反意義相反意義的的旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)

7、量，它的正負(fù)規(guī)定純屬于，它的正負(fù)規(guī)定純屬于習(xí)慣習(xí)慣，就好象，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無(wú)正負(fù)，就好與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無(wú)正負(fù)，就好象數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣象數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣用旋轉(zhuǎn)來(lái)描述角，需要注意三個(gè)要素用旋轉(zhuǎn)來(lái)描述角，需要注意三個(gè)要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量） （2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針逆時(shí)針和順時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)兩種，這是一對(duì)意義相反的量意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來(lái)表示，那么許多問(wèn)題就反的量用正負(fù)數(shù)來(lái)表示，那么許多問(wèn)題就可以解決了

8、；可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn).（3）旋轉(zhuǎn)量：）旋轉(zhuǎn)量： 當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過(guò)當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過(guò)360，角度的絕對(duì)值可大于角度的絕對(duì)值可大于360 .于是就會(huì)出現(xiàn)于是就會(huì)出現(xiàn)720 ， 540等角度等角度.n為了方便，用數(shù)軸和直角坐標(biāo)系研究為了方便，用數(shù)軸和直角坐標(biāo)系研究點(diǎn)時(shí)，都有一個(gè)基準(zhǔn)位置點(diǎn)時(shí)，都有一個(gè)基準(zhǔn)位置原點(diǎn)，原點(diǎn)，那研究角時(shí)能否也找一個(gè)類(lèi)似的那研究角時(shí)能否也找一個(gè)類(lèi)似的“基基準(zhǔn)位置準(zhǔn)位置”或或“標(biāo)準(zhǔn)位置標(biāo)準(zhǔn)位置”呢？呢？n角的放置有了角的放置有了“統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”后，能否有恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)以便后，能否有恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)以便更好的討論和

9、研究角？更好的討論和研究角？3“象限角象限角” 為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角。系中來(lái)討論角。 角的頂點(diǎn)重合于角的頂點(diǎn)重合于坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊重合，角的始邊重合于于x軸的正半軸軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角（角的象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限）限） 例如：例如：30 、390 、 330 是第一象限角，是第一象限角， 300 、 60 是第四象限角，是第四象限角， 585

10、、1300 是第三象限角，是第三象限角， 135 、 2000 是第二象限角等是第二象限角等4終邊相同的角終邊相同的角 觀察：觀察： 30 ，390 ， 330 角，有何特點(diǎn)角，有何特點(diǎn)?探究：探究：終邊相同的角都可以表示成一個(gè)終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0 到到360 的角與的角與k(kZ)個(gè)周角的和個(gè)周角的和： 390 =30 +360 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 結(jié)論：結(jié)論： 所有與所有與 終邊相同的角連同終邊相同的角連同 在內(nèi)可以構(gòu)在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)

11、成一個(gè)集合集合：| =+k360(kZ) 即：任何一個(gè)與角即：任何一個(gè)與角 終邊相同的角，都可終邊相同的角，都可以表示成以表示成角角 與整數(shù)個(gè)周角的和與整數(shù)個(gè)周角的和注意以下四點(diǎn)：注意以下四點(diǎn)： kZ； 是任意角；是任意角； k360與與 之間是之間是“+”號(hào)，如號(hào)，如k36030,應(yīng)應(yīng)看成看成k360+(30)； 終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差相差360的整數(shù)倍的整數(shù)倍.下列說(shuō)法是否正確？為什么？下列說(shuō)法是否正確？為什么？n（1 1）第一象限角是銳角；）第一象限角是銳角；n（2 2）小于）小