拋物樣條曲線的原理說明

1、拋物樣條曲線的原理說明及拋物曲線程序說明假如我們采用矢量表達式來表示參數(shù)化的二次曲線，那么可以把拋物線的表達式寫成如下的一般形式：P(t)=A 1+ A 2t+ A 3t2(0=<t<=1)該拋物線過 P1, P2, P3三個點，并且：1. 拋物線以 P1 點為始點。當參變量 t=0 時，曲線過 P1點；2. 拋物線以 P3 點為終點。當參變量 t=0 時，曲線過 P3點；3. 當參變量 t=0.5 時，曲線過 P2 點,且切矢量等于 P3P1。t=0: P(0)= A 1= P1A 2、 A3 分別為：t=1: P(1)= A 1 + A2+ A 3=P3 t=0.5:P(0.5

2、)= A 1 + 0.5A 2+0.25 A 3=P2 通過解聯(lián)立方程，得到三個參數(shù)A1A1 = P1A2=4 P2 P3 3P1A 3=2P1+2P3 4P2把求出的這三個系數(shù)的值，代入拋物線的表達式P(t)=A 1+ A2t+ A3t2得： P(t)= (2t 3t+1 ) P1 +(4t4t2)P2+(4t2t)P3 (0=<t<=1)設有一離散型值點列Pi( i=1,2, ,n) ,每經(jīng)過相鄰三點作一段拋物線，由于有n個型值點，所以可以做 n-2 條拋物線段。在這 n2條拋物線段中， 第 i條拋物線段為經(jīng)過 Pi, Pi+1, Pi+2三點，所以它的表達式 應為： Si(t

3、i)=(2t2i3ti+1)Pi +(4 ti4 t2i) Pi+1 +(2t 2i ti) Pi+2(0=< ti <=1)同理， 第 i+1 條拋物線段為經(jīng)過 Pi+1, Pi+2, Pi+3 三點， 所以它的表達式應為： Si+1(ti+1)= 2t2i+13ti+1+1)Pi+1 +(4 ti+14 t2i+1) Pi+2 +(2t2i+1ti+1) Pi+3(0=< ti+1 <=1)一般來說， 每兩段曲線之間的搭接區(qū)間， 兩條拋物線是不可能重合的。 如下圖所示：顯然，對于擬合曲線來說，整個型值點必須只能用一條光滑的曲線連接起來。為了做到這一點，必須找一種方法

4、把Si 和 Si+1 這樣的曲線段的共同區(qū)間結合起來。這種方法就是加權合成方法。我們設共同區(qū)間的函數(shù)是 Pi+1(t)=f (T ) S i(ti)+g ( T) S i+1(ti+1). 其中 f (T ) 和 g ( T) 是 權函數(shù)。在拋物樣條曲線中我們?nèi)『唵蔚囊淮魏瘮?shù)為權函數(shù)，且具有互補性，設 f (T ) =1 T g ( T) =T這樣 Pi+1(t)= (1T ) Si(ti)+ T S i+1(t i+1).因為 函數(shù)中有 T、ti和 ti+1三個參數(shù)，因此接下來我們 的工作是統(tǒng)一參數(shù)。我們可以三個參變量統(tǒng)一形式為：T=2t ti=0.5+t ti+1=t這樣 Pi+1(t)=

5、 ( 2t3+4t2 t) Pi +(12t3410t2+1) Pi+1 +( 12t3+8t2+t) Pi+2 +(4t 3 2t2) Pi+3 (0=< ti <=0.5)從幾何意義上說，函數(shù) Pi+1(t)表示的上圖的點 Pi+1,到 Pi+2 之間的線段。但是我們應該看 到這種方法從 n 個點中只能得到 n3 段曲線。但是 n個型值點應有 n1 段曲線。一個直接 的想法是添加兩個輔助點。那么如何添加呢？ 方法一：兩個輔助點為 P0和 Pn+1, P0=P1，Pn+1= Pn ,這樣畫出的曲線為一條不閉合的自由曲 線。方法二：添加三個輔助點， P0、 Pn+1和 Pn+2，然后 P0=Pn，Pn+1= P1, ，Pn+2= P2,這樣畫出的曲 線為一條閉合的曲線。拋物曲線程序說明： 這個程序主要是通過新建一個 class CParspl 來實現(xiàn)的，即將存貯控制點， 畫自由端拋 物曲線以及封閉拋物曲線都 封裝在這 個類里。 在 class CCurve2View 主要實現(xiàn)設置線型、線寬和線色以及客戶區(qū)的一下操作。當然 這個程序還有改進的空間， 比如我在 class CParspl 已經(jīng)有了一個序列化函數(shù)， 但是還沒有實現(xiàn)文檔序