第五章應(yīng)力張量應(yīng)變張量與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

1、 本章擬進(jìn)一步討論應(yīng)力、應(yīng)變的性質(zhì)及線性彈性應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的一般規(guī)律，它將有助于對問題的深入認(rèn)識(shí)。 5-1 5-1 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換 應(yīng)力張量應(yīng)力張量 在給定載荷作用下，物體內(nèi)過一點(diǎn)的任意斜截面上應(yīng)力的大小和方向都是確定的，即一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是確定的。它不隨所取坐標(biāo)系而變化。但描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量又是在確定的坐標(biāo)系下確定的，它隨坐標(biāo)系的不同而不同。 我們通常習(xí)慣的右手坐標(biāo)系， 下面首先考察旋轉(zhuǎn)變換的情形: 考察物體內(nèi)任一點(diǎn)o。設(shè)oxyz為舊坐標(biāo)系下o點(diǎn)處的局部標(biāo)架（圖5-1（a），單位基矢量為 321eee、，相應(yīng)的應(yīng)力分量為: zzyzxyzyyxxzxyxijzyx

2、o設(shè) 為新坐標(biāo)系下o點(diǎn)處的局部標(biāo)架，單位基矢量為 321eee、，相應(yīng)的應(yīng)力分量: zyzxzzyyxyzxyxxj i新、舊坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸間的方向余弦為x111l211m311ny122l222m322nz133l233m333nxyz 作斜面abc 垂直于 軸，作用于該微面上的應(yīng)力矢量為 xT21TT 、3T。用舊系下沿坐標(biāo)軸的三個(gè)分量和，及Cauchy公式（2-4）式）可將 T表為 332211eeeTTTTijijiinTee在新系下， 沿坐標(biāo)軸的三個(gè)分量即為新系下該面上的三個(gè)應(yīng)力分量 、 和 。Txyx zx 將 向 、 和xyzT軸方向投影，并注意到這里 jjn1及剪應(yīng)力互等關(guān)系

3、jiij得 11eeeTijijxnijji1122eeeTijijyxnjiijijji1212ijji2133eeeTijijzxnjiijijji1313ijji31三個(gè)式子合起來，可簡寫為： ijj jij11同理，取微斜面abc分別垂直于 、 ，可以得到新系下的其余六個(gè)應(yīng)力分量與舊系下九個(gè)應(yīng)力分量間的類似關(guān)系： yzijj jij22ijj jij33（3） （4） （2） （2）（4）式可以統(tǒng)一寫為ijj ji ij i （5-1） 這就是應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式，式中 或 稱為轉(zhuǎn)換系數(shù)。 i ijj在數(shù)學(xué)上，將坐標(biāo)變換符合式（5-1）的一組量稱為二階張量。按此定義，決定一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力

4、分量就是一個(gè)二階張量，稱為應(yīng)力張量。 在式（5-1）中作指標(biāo)置換，并利用 的對稱性得 ijjii jj iijj ii ji j jiijjjii 應(yīng)力張量在經(jīng)坐標(biāo)變換后，其對稱性仍然保持不變。 在平面問題中，建立二維的新、舊坐標(biāo)系如圖5-2，新、舊坐標(biāo)軸的方向余弦為 22 1sinl cos 222msin 211mcos 111lyxx y 與前面推導(dǎo)類似 ijj ji ij i 指標(biāo)的取值為 2 , 1 ,ji2 , 1, ji當(dāng)取新系為正交曲線坐標(biāo)系，其中轉(zhuǎn)換系數(shù) i ijj 為點(diǎn)o處坐標(biāo)曲線切線方向單位基矢量在舊系下的方向余弦。 xyr 方向 方向 取 ijrjriryxrxryxy

5、ryrxyryryxrxrxxyyxcossin2sincos222sinsincos22xyyx同理 ijji2sincossin22xyyxijjrir)sin(coscossin)(22xyxyrr這就是極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與直角坐標(biāo)下應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換公式。 反過來，取直角坐標(biāo)系為新坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系舊坐標(biāo)系，根據(jù)（5-2）式，用極坐標(biāo)應(yīng)力分量表示直角坐標(biāo)應(yīng)力分量的關(guān)系為： rrrrrryrxryxryxryrxrxyrrryyryyryryryrrrxxrxxrxrxrxa)sin(cos)(cossin sin)sin(coscos)sin(sincos cossin2cossin 2co

6、ssin2sincos 222222225-2 5-2 主應(yīng)力主應(yīng)力 應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量Cauchy公式（2-4）給出了過一點(diǎn)任意斜截面上的應(yīng)力矢量的計(jì)算關(guān)系，寫成矢量的形式有ijijiinTeeT斜面上的應(yīng)力矢量不僅與該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與斜面的方向有關(guān)。 T為該截面的正應(yīng)力 )(，而剪應(yīng)力為零。 （5-4） 這個(gè)問題的數(shù)學(xué)描述是，求某個(gè)法線方向 ),(nml，使?jié)M足方程：T（5-5） 將（5-4）式代入（5-5）式得： iiijijnnee故 ijijnn整理合并后得0)(jijijn zyx圖5-3T將上式展開0)(0)(0)(nmlnmlnmlzzyzxyzyyxxzxy

7、x我們把只有正應(yīng)力，而沒有剪應(yīng)力的平面稱為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；主平面的法線方向，即主應(yīng)力方向稱為主方向。 代數(shù)上，（5-6）式是關(guān)于主方向 （5-6） ),(nml的線性齊次代數(shù)方程，它有非零解的條件是，其系數(shù)行列式為零，即 0zzyzxyzyyxxzxyx（5-7） 展開后得到關(guān)于主應(yīng)力的三次代數(shù)方程（5-7），稱為應(yīng)力張量的特征方程： 032213IIIzyxI12222zxyzxyxzzyyxIzzxxzxzzyyzyyyxxyx22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxIzzyzxyzyyxxzxyx可以證明方程（5-7）有3個(gè)實(shí)根，它們對應(yīng)該點(diǎn)的3個(gè)主應(yīng)力，分別用

8、 表示。 321、1222nml（5-9） 將（5-9）式與方程組（5-6）中的任意兩式聯(lián)立，即可求出與給定主應(yīng)力 對應(yīng)的主方向。 i321、 是方程（5-7）的三個(gè)根，所以，也可以將特征方程寫成 0)()(321展開后有 0)()(32113322123213與式（5-7）比較，得 321313322123211III對于一個(gè)給定的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力的大小和方向都是確定的，它不隨坐標(biāo)系的變換而變化，故 也不會(huì)因坐標(biāo)系的變換而改變。這種不因坐標(biāo)系變換而改變的量，稱為不變量. 321III、 分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。321III、主應(yīng)力的幾個(gè)重要性質(zhì)： （1）主應(yīng)力為實(shí)數(shù) （2

9、）主方向的正交性 設(shè)與主應(yīng)力 321、對應(yīng)的主方向?yàn)?3)(2)(1)(、 如果 3210(2)(1)0(3)(2)0(1)(3)則 這表明，三個(gè)主方向是相互正交的。321如果 則 0(3)(2)0(1)(3)表明 3的方向同時(shí)與 和 方向垂直； 12而 (2)(1)可為零，也可以不等于零，即 12 和 的方向可取與 垂直平面上的任意方向。即與 垂直的方向都是主方向。 (3)(3)如果 321，則 、 、 (2)(1)(3)(2)(1)(3) 三者可以是零，也可以不是零，這說明三個(gè)主方向可以相互垂直，也可以不垂直，也就是說，任何方向都是主方向。 （3）主應(yīng)力的極值性 命題1：最大（或最?。┲鲬?yīng)

10、力是相應(yīng)點(diǎn)處任意截面上正應(yīng)力的最大（或最?。┲怠?5-3 5-3 最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力現(xiàn)在我們來考察物體內(nèi)一點(diǎn)P的最大剪應(yīng)力及其作用面。取應(yīng)力主軸為參考軸（圖5-4）。斜面上應(yīng)力矢量 的分量及斜面上的正應(yīng)力分別為： TlT11mT22nT33232221nml z12y3x圖5-4將（1）、（2）式代入斜面上的剪應(yīng)力公式（2-7）得222| T)(232221223222221nmlnml利用幾何關(guān)系：1222nml得 23222221222)1 (nmnm23222122)1(nmnm（3） （4） （5） 2取極值的點(diǎn)也使 ，將（4）式代入方程 0/2m0/2n得 0)()()(2)(0)

11、()()(2)(11321221321231132122122122nmnnnmmm下面分三種情況考慮： （1）三個(gè)主應(yīng)力互不相等，即 321（6） 將（6）式的第一式除以 )(12，第二式除以 )(13，整理后得0)()( 2)(0)()( 2)(1321221313212212nmnnmm方程（7）有三組解： （7） 第一組是 0 , 0nm第二組是 2/1 , 0nm第三組是 0 ,2/1nm有了m、n就可以從（4）中求得相應(yīng)的l，并運(yùn)用（5）式得到相應(yīng)的極值剪應(yīng)力 ，由（2）式得到極值剪應(yīng)力面上的正應(yīng)力 。同理可從（3）和（4）中分別消去m和n，按上述方法又可以得到六組解，但其中三組是

12、重復(fù)的，獨(dú)立的解答一共六組，如表5-1所示。表中前三組解答對應(yīng)于主平面，其上剪應(yīng)力為零；而后三組解答對應(yīng)于經(jīng)過主軸之一而平分其他兩主軸夾角的平面，如圖5-5示，其上剪應(yīng)力為 )3()2()1 (、稱為主剪應(yīng)力。 如果 321，則最大剪應(yīng)力為 231max即最大剪應(yīng)力等于最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力差的一半，它作用在過oy軸（ 2軸）而平分ox軸（ 1軸）和oz軸（ 3軸）夾角的微分平面上。 （2）兩主應(yīng)力相等 為了確定起見，設(shè) 321則（6）式的第一式已滿足，第二式有0)(2)(13213nn由此可解得 0n2/1n第一個(gè)解 0n表示平面通過oz軸，將 0n及 21代入（5）式得 0即過oz軸的平面

13、都是主平面。 第二個(gè)解 2/1n，將其代入（4）式得 2122 ml它表示了任一個(gè)與圓錐面（圖5-6）相切的微分面。 對應(yīng)平面上的最大剪應(yīng)力 231)2(（3）三個(gè)主應(yīng)力相等，即 321過該點(diǎn)的任何微分面上都沒有剪應(yīng)力，即任一平面都是主平面，與5-2的結(jié)論也是一致的。 z4545yx圖5-65-4 5-4 笛卡爾張量基礎(chǔ)笛卡爾張量基礎(chǔ) 1. 坐標(biāo)變換 考察平面內(nèi)矢量 的坐標(biāo)變換關(guān)系。新、舊坐標(biāo)系的方向余弦為 a212cos222cos121cos111cosxyx y 將舊系下的矢量分量 21aa 、向新系坐標(biāo) x投影可得矢量 a在新坐標(biāo)系下的分量 2221212111coscos cosco

14、saaaaaa進(jìn)一步可表為 22211222211111aaaaaa2 , 1, ji令 則式（5-12）可簡記為 （5-12） 這就是矢量的坐標(biāo)變換公式。此式在三維空間中同樣成立，這時(shí)取 3 , 2 , 1, jijj iiaa（5-12） 2. 笛卡爾張量 上面證明了，同一矢量，當(dāng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，其分量之間滿足關(guān)系式（5-12）。下面我們將證明如果分量間滿足關(guān)系（5-12），則它們表示同一矢量。 我們注意到新系下的單位基矢量 ，在舊系下的分量即為方向余弦 ，故可用舊系下ieki的基矢量表為kkiiee反過來有 ikikee所以 l iklj iliklj ikj eeeekij i根據(jù)Kron

15、eker 的定義： kjjkee 由上式可得 jkkij ikkijj iiiaaeeaaeekkkjjkaa這就是我們所要證明的結(jié)論。 定義： 在坐標(biāo)變換時(shí)，滿足式（5-12）的一組量 稱為一階張量。 )(ja位移矢量、力矢量都是一階張量。 在5-1中，已知坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，新、舊系下應(yīng)力分量之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為ijj ji ij i ijj ji ij iTT 一般地，可寫為 （5-16） 凡坐標(biāo)變換符合（5-16）式的一組量 稱為二階張量。 )(ijT決定一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量 就是一個(gè)二階張量。 ij可以證明Kroneker 為二階張量。 類似地，可以定義n階張量，即坐標(biāo)變換滿足 個(gè)

16、指標(biāo)個(gè)指標(biāo)nnmijmtjqiptqpTT的一組量 mijT稱為n階張量。 這里的階數(shù)是指指標(biāo)的個(gè)數(shù)。標(biāo)量，比如密度、溫度等，它不隨坐標(biāo)變換而變化，即 ， TT 其指標(biāo)個(gè)數(shù)為零，稱為零階張量。 3. 二階張量的分解 （1）任何一個(gè)二階張量都可以分解為一個(gè)二階對稱張量和一個(gè)二階反對稱張量之和。 )(21)(21jiijjiijijTTTTTijijBA 式中 jiijjijiijijATTTTA)(21)(21為對稱二階張量； jiijjijiijijBTTTTB)(21)(21為反對稱二階張量。 （2）任何一個(gè)二階張量都可以分解為一個(gè)球張量與一個(gè)偏張量之和。 3/)(31332211iimTT

17、TTT則 ijijmijmijijmijSTTTTT)(令 ijmT稱為球張量； ijmijijTTS稱為偏張量。上式可用矩陣表示為mmmmmmTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT3332312322211312113332312322211312110000004. 張量的運(yùn)算凡是同階的兩個(gè)張量可以相加，并得到一個(gè)與原張量同階的張量，其分量等于原張量中標(biāo)號(hào)相同的諸分量的代數(shù)和。 ijaijb設(shè) 與 為兩個(gè)二階張量，其和為 ，記為 ijcijijijbac根據(jù)二階張量的定義， ijj ji ij iaa ijj ji ij ibb 兩式相加，有 )(ijijj ji ij ij i

18、baba ijj ji ij icc 由二階張量的定義， 為二階張量。 ijc（2）張量的外積（并乘） 兩個(gè)張量的外積定義為第一個(gè)張量中的每一個(gè)分量乘以第二個(gè)張量中的每一個(gè)分量所組成的集合。張量的外積仍為張量，其階數(shù)為兩個(gè)張量階數(shù)的和。向量 乘以二階張量 ，則外積 iajkbjkiijkbac為三階張量。由張量的定義，有ii iiaajkkkj jkjbbjkikkj ji ikjikj ibabac ijkkkj ji icijkc為三階張量。 （3）張量的縮并 對n階張量進(jìn)行縮并，就是對張量的某兩個(gè)指標(biāo)求和。張量縮并以后仍為張量，其階數(shù)為階。 2n階。 ijkA為三階張量，則有 ijkkr

19、jqiprqpAA對1、2個(gè)指標(biāo)求和，即令 qp得 ijkkrjpiprppAAjjkkrijkkrijAA符合一階張量的坐標(biāo)變換規(guī)律，即三階張量縮并以后為一個(gè)矢量。 （4）張量的內(nèi)積 內(nèi)積是兩個(gè)張量先并乘，然后進(jìn)行縮并的運(yùn)算。 ijkT為三階張量， lmS為二階張量，其外積為 lmijkijklmSTUjl 縮并，為 jmijkikmSTV用不變性的形式記為 STV （5）張量對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) 在笛卡爾直角坐標(biāo)系中，張量對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)仍然是張量，且為比原張量高一階的張量。 由坐標(biāo)變換關(guān)系： kjkjxxssssxx（1） ),(321xxxTijk設(shè) 為三階張量，在轉(zhuǎn)軸以后的新坐標(biāo)系下為 ),(3

20、21 xxxTkj i按普通的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)規(guī)則，并注意到（1）式有ssskj iskj ixxxTxT ssijkkkj ji isxxTx)(sijksskkj ji ixT符合四階張量的坐標(biāo)變換規(guī)律，故 sijkxT/為四階張量。 則 5. 商法則若九個(gè)分量 與任何一個(gè)向量 按一對指標(biāo)求和后構(gòu)成另一向量 ijajbija必為一個(gè)二階張量。 icjijibac 6. 二階張量的性質(zhì) 設(shè)有一個(gè)任意二階張量 ，它與任一個(gè)向量 的線性組合仍為一個(gè)向量，用 表示，則 ijaicjbjijibac 這相當(dāng)于一個(gè)變換，它把一個(gè)向量變換為另一個(gè)向量。若變換后的向量 與 共線， jbicjb即 經(jīng) 變換后只改變

21、大小，不改變方向，數(shù)學(xué)上表為 ijaiibc則向量 的方向稱為張量 的主方向或主軸，稱為張量 的主值，將（6）式代入（5）式得 jbijaija0)(jijijba為張量ij的主值， 為張量 的主方向。jnij求應(yīng)力張量主應(yīng)力及其相應(yīng)的主方向的方法就可以用來求任意二階張量的主值和主方向 。 5-5 5-5 物體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)位置物體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)位置的變化的變化 轉(zhuǎn)動(dòng)張量轉(zhuǎn)動(dòng)張量 在2-4中，我們曾指出，物體的位形應(yīng)由三部分組成：物體的整體剛體位移，單元的變形以及由相鄰單元變形引起的本單元的方位的變化。 下面分兩種情況研究單元繞oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。 設(shè)所考察單元e沒有變形。由圖5-8的幾何關(guān)系可知單

22、元e由于相鄰單元的變形引起的轉(zhuǎn)角（方位的變化），可用它的角平分線的轉(zhuǎn)動(dòng)表示為： 1()2yxxy單元e的剪應(yīng)變: 0 xyyxxy因?yàn)檫@里 xy應(yīng)為負(fù)值。 下面來考察當(dāng)單元e有變形時(shí)，由于相鄰單元的變形所引起的單元e的方位的變化。由圖5-9可知單元e方位的變化，即轉(zhuǎn)角 1()2 24yxxyyx)(21)(21yuxvxyyx通常令 ，即用兩倍轉(zhuǎn)角來表示這一轉(zhuǎn)動(dòng)，則式（3）可寫為2z2zvuxy同理，可以得到單元e繞oy軸及ox軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。xwzuqy 2zvywpx 2（4b、c） （4a） 已知幾何方程xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx （5） 利用式（4）和（5）反解出

23、三個(gè)位移的九個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，寫成矩陣的形式，并進(jìn)行分解得zxzyyzxxyzyzyxyxzzxyxzwywxwzvyvxvzuyuxu)(21)(21)(21)(21)(21)(21021212102121210212121212121xyxzyzzzyzxyzyyxxzxyx簡記為 ijijjiu,六個(gè)應(yīng)變分量 和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量 在純變形情況下可以完整地描述變形后單元的形位。 ijzyx、注意到（4）和（5）式，則有 )(21)(21,ijjiijijjiijuuuu（5-20） （5-19） jiu,ij在（5-19） 式中 的分解, 為對稱部分,稱為應(yīng)變張量，且 ;而 為其反對稱部分，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)張

24、量。 )(21jiijijij將（5-19）式兩邊同乘以 ，并注意到相鄰兩點(diǎn)的位移變化量 ，故得 jxdjjiixxuudjijjijixxudd（5-21） )(zyxP、)d ,d ,d(zzyyxxQ設(shè) 和 為物體內(nèi)無限鄰近的兩點(diǎn)，在物體發(fā)生變形以后，分別移動(dòng)到 和 ，相應(yīng)的位移為 和 ，如圖5-10示。 PQiuiu 將（5-21）式展開得zyxzyxwvuwvuxyxzyzzzyzxyzyyxxzxyxddd021212102121210ddd 212121212121（5-22） 式（5-22）說明，與P點(diǎn)無限鄰近的一點(diǎn)Q的位移由3部分組成：（1）隨同P點(diǎn)的平移 （2）繞P點(diǎn)的剛性

25、轉(zhuǎn)動(dòng) （3）線元PQ自身變形 )(iu)(ij)(ij5-6 5-6 應(yīng)變的坐標(biāo)變換應(yīng)變的坐標(biāo)變換 應(yīng)變張量應(yīng)變張量 首先，討論微線元 的相對伸長。 rd設(shè) 的方向余弦為 ，變形后線元為 ，相應(yīng)的方向余弦為 rd)(nml、nrd)(nml、n線元兩端點(diǎn)A、B的位移分別為 和 iuiu變形前后線元的位置如圖5-11所示。 B(x+dx, y+dy, z+dz) B(xi+dxi+ui)drA(xi+ui)A(x, y, z)圖5-11drrd線元 的分量 iirnxddB點(diǎn)的位移: jjiiixxuuud則變形后的線元矢量的分量: (d)()iiiiidxxxuxu)d(iiiuux)dd(j

26、jiixxux（3） （2） （1） 變形后的線元長度 可由下式算出 rd )dd)(d(d)d(2kkiijjiixxuxxxuxddr rr線元 的相對伸長： rddrdrrdr于是，變形后線元的長度又可表為 rrdrd)1 (（5） （4） 將（5）代入（4）式的左邊，并將右邊展開，得kikijijiiirxxxuxxxuxxrdddddd)1 ()d(22kjkijixxxuxudd在小變形條件下，略去應(yīng)變及轉(zhuǎn)角的二次項(xiàng)得jijiiirxxxuxxrdd2dd)21 ()d(2（6） 將（1）式兩邊自乘，并注意到幾何關(guān)系 1iinn則有 )d()d(dd2rnnrxxiiii代入（6）

27、式，兩邊同除以 2)d( r得 jijirnnxu2121jijirnnxu所以 （5-23） 將（5-23）式展開，并運(yùn)用幾何方程（2-11），得任一線元的正應(yīng)變：nlmnlmnmlzxyzxyzyxr222（5-23） 兩線元夾角的變化 1dr2dr1rd2rd變形前 變形后 QRdr1dr2PQR dr1dr2P圖5-12由關(guān)系式（3）可知，變形后兩線元矢量分別為 )d()d()2()2(2)1 ()1 (1jjiijjiixxudxdxxudxdrr（7） 由（5）式，變形后兩線元的長度分別為 1) 1 (1d)1 (rrdr2)2(2d)1 (rrdr（8） 變形后線元 的方向余弦為

28、 1rd1)1 ()1 ()1 ()1 (d)1/()dd(rxxuxnrjjiii1)1 ()1 (1)1 (1d)1/()dd(rnrxunrrjjii)1/()()1 ()1 ()1 (rjjiinxun)1)(2) 1 () 1 () 1 () 1 (rrjjiinxun) 1 () 1 () 1 ()1 (jjirinxun（9） 展開后得： 1) 1 (11111) 1 (11111) 1 (11111) 1 () 1 (11)1 ()1 ()1 ( )1 ( )1 (nzwmywlxwnnzvmyvlxvmnzumyulxunzumyulxulnxullrrrrjjr同理可得變形

29、后線元 的方向余弦 2rd)2()2()2()2()1 (jjiriinxunn（11） 展開后 2)2(22222)2(22222)2(2)1 ()1 ()1 (nzwmywlxwnnzvmyvlxvmnzumyulxulrrr（12） 由矢量代數(shù)，變形前、后線元夾角余弦： 212121)2() 1 ()2() 1 (cosnnmmllnnnn212121)2()1 ()2()1 (cosnnmmllnnnn（13） （14） 將（10）及（12）式代入（14）式，并利用（13）式，得)(2coscos212121nnmmllzyx)()(12211221nlnlnmnmxzyzcos)()

30、()2()1 (1221rrxymlml（5-24） 由此可見,只要知道了某點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)變分量就可以求出過該點(diǎn)任意兩個(gè)微線元間夾角的變化。 2令 , 在小變形條件下可得: )(21sin)(21sin2coscos于是,（5-24）式可以化為 )()(21221212121nmnmnnmmllyzzyx)()(12211221mlmlnlnlxyxz（5-25） 表示兩正交線元直角的變化，按定義就是剪應(yīng)變。 下面研究三維空間中任意三個(gè)正交線元的相對伸長和剪應(yīng)變。 取線元 方向?yàn)?方向，利用（5-23）式，并注意到 ，可得線元 xd dr)(2jiijijxd 的正應(yīng)變分量與舊系下應(yīng)變分量間的關(guān)系

31、： zyxx313121211111yzyxxy312111212111xzzxzy311111312131ijji11同理，可得 ijjiy22ijjiz33利用（5-25）式，可得新系下的6個(gè)剪應(yīng)變與舊系下應(yīng)變分量間的關(guān)系： zyxyx3131222112112yzyxxy322112212211xzzxzy321111312231)(21xyijji（5-26a）)(32xyijjizy)(13zxijjixz（5-26b）顯見，（5-26a）和（5-26b）式可以統(tǒng)一寫為ijjqipqp（5-27） 符合二階張量的定義。因此，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是一個(gè)二階張量。 5-7 5-7 主應(yīng)變主應(yīng)變

32、 應(yīng)變張量不變量應(yīng)變張量不變量 （5-27）式表明，在給定了一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)ij以后，該點(diǎn)的應(yīng)變分量將隨坐標(biāo)系的變換而變化。 當(dāng)在某坐標(biāo)系下，只有正應(yīng)變，而無剪應(yīng)變，即沿新系坐標(biāo)軸方向的三個(gè)正交線元只有相對伸長，而無直角的變化。這三個(gè)方向稱為應(yīng)變主方向，其相對伸長稱為主應(yīng)變。 由5-6式（9）可知，具有方向?yàn)?)(nml、n的線元 rd，變形后為 ，相應(yīng)的方向余弦 rd)(nml、n滿足： jjiiinxunn)1 (（1） 式中，為線元 的相對伸長。式（1）可以改寫為 rdjijjijijjiiinuunuunn)(21)(21)1 (,jijjijinnn)1 (我們知道，純變形時(shí)單元的運(yùn)動(dòng)

33、由單元本身的變形和單元方位的變化兩部分組成。 rd1rd設(shè) 與 為兩個(gè)沿應(yīng)變主方向的正交線元，則按主方向的定義，該兩線元變形后仍然正交，只是方位發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖5-13示。顯然，如果限制方位的轉(zhuǎn)動(dòng)，即令 0ij，有 iinn 于是，（2）式就成為 jijiinnn)1 (（3） 式中，為主應(yīng)變。將（3）式整理后得 0)(jijijn（5-28） jn這是關(guān)于應(yīng)變主方向 的齊次代數(shù)方程，有非零解的條件是其系數(shù)矩陣行列式為零，即 0ijij（5-29） 展開后得032213JJJ（5-30） 212121212121)(41 322221zzyzxyzyyxxzxyxxyzxyzyxxzzyzyx

34、JJJ（5-31） 稱為應(yīng)變張量的第一、第二、第三不變量。 運(yùn)用（5-28）式中的兩個(gè)方程，及幾何關(guān)系 1iinn 可以確定與任一主應(yīng)變 相伴的應(yīng)變主方向。 i5-8 5-8 廣義廣義HookeHooke定律的一般形式定律的一般形式 前面我們討論了各向同性體的廣義Hooke定律，其中還強(qiáng)制性地給出了一些附加假設(shè)。從這一節(jié)起，我們將對廣義Hooke定律作一般性的討論。 應(yīng)力作為應(yīng)變的函數(shù)，一般地可以寫為 )(klijijf（1） 將分量 在自然狀態(tài)附近展開，在小變形條件下， xklklxxxff00)(（2） 式中，右下角0表示在自然狀態(tài)取值。根據(jù)基本假設(shè)，在自然狀態(tài)下有 和 。 0ij0ij0

35、)(0 xf（2）式中， 0klxf 由材料性質(zhì)決定，一般來講，它是坐標(biāo)的函數(shù)；如果材料是均勻的，則它與坐標(biāo)無關(guān)而成為材料常數(shù)。于是（2）式就可寫為 xyzxyzzyxxyxyzxyzzyxzxxyzxyzzyxyzxyzxyzzyxzxyzxyzzyxyxyzxyzzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211（5-32） 同理 )6 , , 2 , 1 ,(nmcmn式中系數(shù) 稱為彈性常數(shù)，一共有36個(gè)。（5-32

36、）式對材料彈性性質(zhì)未加任何限制，稱為完全各向異性。 根據(jù)能量守恒定律和應(yīng)變能的存在（5-11），可以證明，彈性常數(shù)之間存在關(guān)系 ，這就是說（5-32）式的系數(shù)是對稱的。因此，即使是對于完全各向異性體，獨(dú)立的彈性常數(shù)也只有21個(gè)。對（5-32）式也可寫成用應(yīng)力表示應(yīng)變的形式，即)(klijijgnmmncc能量守恒定律指出：封閉系統(tǒng)中總能量的增加（包括動(dòng)能增加和內(nèi)能增加 ）等于外力對系統(tǒng)所做的功和系統(tǒng)從外界吸收的熱量之和，即 ： 5-9 5-9 彈性體變形過程中的能量彈性體變形過程中的能量UKQW兩端除以 ，并令 t0tQUKW這就是熱力學(xué)第一定律的速率形式。 區(qū)域的動(dòng)能： d21iivvK（1

37、） 上式對時(shí)間求導(dǎo)，得 diivvK（2） 1U設(shè) 為單位體積的內(nèi)能，則區(qū)域的內(nèi)能 1dUU將上式兩邊對時(shí)間微分得 1dUU（3） 外力功率： ddsvTvFWiiii（4） 式中Ti為區(qū)域的邊界 上的作用面力，由Cauchy公式 及高斯（Gauss）積分公式，并注意到應(yīng)力的對稱性得jijinT ddsvnsvTijijii ,d)(jiijv , ,ddjiijijijvv , ,)d(21djijiijijijvvv , ,d21d21dijjijiijijijvvv , ,)d(21dijjiijijijvvv ,ddijijijijv（5） 將（5）代入（4）式，得 ,dd)(ijij

38、iijijvFW（6） 對于一個(gè)絕熱過程，即物體在變形過程中既無熱量損失，也不從外界吸入能量，則 。此時(shí)，熱力學(xué)第一定律成為 0QUKW（7） 將（2）、（3）、（6）式代入式（7）得 ,dd)(ijijiiijijvvF 1dU（8） 22tuvii式中 ，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)微分方程，（8）式左邊第一個(gè)積分為零，故有 1 ddUijij（9） 由區(qū)域的任意性，我們有 ijijU1（10） 兩邊同乘以dt，得 ijijUdd1（5-33） 由于內(nèi)能U1是狀態(tài)的單值函數(shù)，即與過程無關(guān)， 故 必須是全微分，即有 1dUijijUdUd11（11） 與（5-33）式比較可得ijklijU)(1（5-34） 當(dāng)

39、一個(gè)過程進(jìn)行得異常迅速，以致來不及和外界發(fā)生顯著熱交換，則可近似地按絕熱過程處理。 熱力學(xué)第二定律涉及到兩個(gè)重要的狀態(tài)量：溫度T和熵H。溫度是表示物體冷熱程度的物理量。熵是熱力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，與系統(tǒng)熱量的增加和絕對溫度的比值有關(guān)。 在變形過程中，熵的改變量 由兩部分組成，輸入熱量引起的熵增量 ，稱為供熵，及變形和熱流阻力引起的熵變化量 )( H)(eH，稱為產(chǎn)熵，即 )(iHieHHHTQHe/（12） （13） 式（12）兩邊除以 tieHHH（14） 表示熵的增大率等于熵的輸入速率與熵的生成速率之和，其中，熵的輸入速率TQHe/（15） 熱力學(xué)第二定律告訴我們：自然界中發(fā)生的一切熱力

40、學(xué)過程都不會(huì)使產(chǎn)熵減少，或者是熵的生成率總是非負(fù)的，即0iH0iH（16） 對于不可逆過程，比如塑性變形 0iH對于可逆過程，比如彈性變形， 0iH因此，在彈性變形情況下，（14）式化為TQH/HTQ（18） 將（18）代入（1）式得 HTUKWHTTHUK)(（19） 對于等溫過程， 0T)(ddddddTHUttKtW（20） 設(shè) 為單位體積的熵，定義 TU 1F（21） F稱為單位體積的自由能，則區(qū)域的自由能： 1 )(dTHUdTUF從而，有 d)(ddtFTHUt（22） 將（6），（2）和（22）式代入（20）得 ,dddd)(tvvvFiiijijiijijF運(yùn)用運(yùn)動(dòng)微分方程，立

41、即可得 ddijijtF由的任意性，ijijtF兩邊同乘以dt得 ijijddF（23） 在等溫條件下， 僅與應(yīng)變分量有關(guān)，也是狀態(tài)的單值函數(shù)，故 亦為全微分，即 FFdijijddFF（24） 比較（23）、（24）式，得ijijF（5-35） 將（5-34）和（5-35）式統(tǒng)一寫為ijklijA)()(klA（5-36） 稱應(yīng)變能函數(shù)，式（5-36）稱為格林（Green）公式，它是一種能量形式的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。如果應(yīng)變能函數(shù)用6個(gè)工程應(yīng)變分量表示，即 )(xyzxyzzyxAA、zzyyxxAddddxyxyzxzxyzyzddd（5-36）式就展開為（5-37） xxAyyAyzyzAz

42、xzxAxyxyAzzA如果變形過程進(jìn)行得非常緩慢，由變形產(chǎn)生的熱量有足夠時(shí)間散發(fā)掉，從而使物體溫度保持不變，則這一過程可近似地按等溫過程處理。而彈性變形沒有能量的耗散，因此將彈性變形視為等溫過程是合乎邏輯的。（5-38） 5-10 5-10 應(yīng)變能和應(yīng)變余能應(yīng)變能和應(yīng)變余能 當(dāng)彈性體受到外力作用而變形時(shí)，外力將對物體作功，并將全部轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能和儲(chǔ)存于物體內(nèi)的應(yīng)變能。如果外力變化得足夠慢，則動(dòng)能的變化可以忽略，這時(shí)外力的功將全部轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能。 zyxzzxzyyzxzyxxydzdxdyxy圖5-14ijdxyyxx從物體中取出一個(gè)如圖5-14所示的微元體。對微元體而言，作用其表面上的應(yīng)力

43、即為微元體的外力。設(shè)在加載過程中ijxijd下一時(shí)刻的應(yīng)變增量某一時(shí)刻各微分面上的應(yīng)力微元體沿x方向的伸長 應(yīng)力分量 xxxdd在相應(yīng)位移上的功 x 0 0 dd)dd()dd(dVxzyWxxxxxx同樣，可以得到其他應(yīng)力分量在相應(yīng)變形上的功，把這些功疊加起來，并除以微元體積dV后得單位體積內(nèi)的應(yīng)變能：ijijijVW 0 ddd又由Green公式（5-36），有AAijijijijddd積分上式ijijijA 0 d（5-39） 比較（2）和（5-39）式可知，應(yīng)變能函數(shù)等于單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，又稱應(yīng)變能密度。 定義:單位體積的應(yīng)變余能（應(yīng)變余能密度）為 )(ABijij注意到 ijiji

44、jijijijdd)(dijijAdd兩邊積分后得 ijijijijijA 0 d代入（5-40）式，有ijijijB 0 d顯然，B為應(yīng)力分量的函數(shù)，與過程無關(guān)。因此，當(dāng)應(yīng)力發(fā)生微小變化時(shí)，應(yīng)變余能密度的變化為ijijBBdd又由式（5-41）：ijijBdd（4） （3） （5-41） 比較（3）、（4）式，有ijijB)(（5-42） 上式稱為卡斯蒂利亞諾（Castigliano）公式，它是以能量表示的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的另一種形式。在單向拉伸的情況下，式（5-39）和（5-41）分別退化為 0 d A 0 d B一般非線性情況:應(yīng)變能密度A為曲線下與軸所圍面積;而B為曲線與 軸所圍面積，如

45、圖5-15(a)所示。 材料為線性彈性時(shí)，見圖5-15(b)。 d B0AAB圖5-15圖5-15在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，線性彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，如式（5-32）所示。要保證用（5-36）式導(dǎo)出（5-32）式，則應(yīng)變能密度（A）必須是應(yīng)變分量的二次齊次函數(shù)。 根據(jù)齊次函數(shù)的Euler定理，二次齊次函數(shù)對各變量的偏導(dǎo)數(shù)并乘以對應(yīng)的變量之和，等于此函數(shù)的兩倍。注意到（5-38）式，有xyxyzxzxyzyzzzyyxxAAAAAAA2xyxyzxzxyzyzzzyyxxxyxyzxzxyzyzzzyyxxA21（5-43） 縮寫為 ijijA21應(yīng)變余能密度 ijijijijAB21可見，在線彈性條

46、件下，應(yīng)變能密度（A）與應(yīng)變余能密度（B）的值相等，但應(yīng)變能密度函數(shù)的自變量是 ，而應(yīng)變余能密度函數(shù)的自變量是 . ijij5-11 各向異性彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 1. 完全各向異性彈性體完全各向異性彈性體 考察（5-32）式的第二式和第五式，并注意到（5-38）式，有 xyzxyzzyxyccccccA262524232221xyzxyzzyxzxccccccA565554535251（1） （2） 將（1）和（2）式分別對 和 求偏導(dǎo)數(shù)，得 zxy252cAzxy522cAyzx（3） 由于A具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故與求導(dǎo)次序無關(guān)，于是由（3）式得到5225cc對于其他任何兩個(gè)常數(shù)也可同樣

47、證明它們是相等的，即 nmmncc（5-45） 因此，式（5-32）中對于對角線成對稱的彈性常數(shù)均相等。故在36個(gè)彈性常數(shù)中，獨(dú)立的彈性常數(shù)有 個(gè)。 21263662. 具有一個(gè)彈性對稱面的各向異性彈性體具有一個(gè)彈性對稱面的各向異性彈性體 如果物體內(nèi)的每一點(diǎn)都存在這樣一個(gè)平面，與該平面對稱的兩個(gè)方向具有相同的彈性，則該平面稱為物體的彈性對稱面，而垂直于彈性對稱面的方向，稱為物體的彈性主方向。如果取彈性主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向，由彈性對稱面的定義可知，當(dāng)該坐標(biāo)軸反向以后，由（5-32）式所確定的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系保持不變。 設(shè)yz平面為彈性對稱面，x軸沿彈性主方向（圖5-16）。作坐標(biāo)變換： 根據(jù)二階張量

48、的坐標(biāo)變換公式（5-16），新系下的應(yīng)力分量 xxyy zz zyxxx2311121211xx211yyzzyzzyzxxzxyyx（4） 彈 性 主 方 向x0 y ( y )z(z)彈 性 對 稱 面x圖5-16新系下的應(yīng)變分量：xyyxzxxzyzzyzzyyxx, , ,（5） 將（5）代入（5-32）式得：yxxzzyzyxxyyxxzzyzyxzxyxxzzyzyxyzyxxzzyzyxzyxxzzyzyxyyxxzzyzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc66656463626156555453525146454443424136353

49、4333231262524232221161514131211 （6） 由于彈性對稱性，在新系下，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系仍具有（5-32）式的形式，即 yxxzzyzyxyxyxxzzyzyxxzyxxzzyzyxzyyxxzzyzyxzyxxzzyzyxyyxxzzyzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 （7） 將（6）和（7）代入（4）式，并比較兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得：04645363526251615cccccc

50、cc這樣，獨(dú)立的彈性常數(shù)為 個(gè)。于是，（5-32）式簡化為13821 6665565544434241343332312423222114131211xyzxxyxyzxzxyzzyxyzyzzyxzyzzyxyyzzyxxcccccccccccccccccccc(5-46)單斜晶體的晶體（如正長石）便具有這類彈性對稱。3. 正交各向異性彈性體正交各向異性彈性體如果存在兩個(gè)彈性對稱面，比如yz面和zx面，由于以yz面為彈性對稱面時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系已由（5-46）式給出，只需要在此基礎(chǔ)上討論以zx面為彈性對稱，y軸為彈性主方向的情況就可以了。作圖5-17所示的坐標(biāo)變換。同樣，按二階張量的坐標(biāo)變換

51、公式可得： y0 x ( x )彈 性 對 稱 面彈 性 對 稱 面z(z) y圖5-17xyyxzxxzyzzyzzyyxx, , , , ,（8） xyyxzxxzyzzyzzyyxx, ,（9） 將（9）式代入（5-46）式，得zyzyxxcccc14131211 66655655444342413433323124232221yxzxxyyxzxzxzyzyxyzzyzyxzzyzyxycccccccccccccccc（10） 由于彈性對稱性，在新系下，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系仍具有（5-46）的形式，即 6665565544434241343332312423222114131211yxxzy

52、xyxxzxzzyzyxzyzyzyxzzyzyxyzyzyxxcccccccccccccccccccc（11） 將（10）和（11）式代入（8）式兩邊，并比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得：056342414cccc于是，（5-46）式簡化為xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxcccccccccccc663332315523222144131211 （5-47） 如果再設(shè)xy平面為彈性對稱面，而z軸為彈性主方向，在（5-47）式的基礎(chǔ)上，進(jìn)行與前面相同方法的推演，發(fā)現(xiàn)沒有新的結(jié)果。這表明，相互正交的3個(gè)平面中，如果有兩個(gè)是彈性對稱面，則第三個(gè)平面必然也是彈性對稱面。這種具有三個(gè)彈性對稱面的彈性體稱

53、為正交各向異性彈性體。 式（5-47）表明：（1）正交各向異性彈性體只有9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)；（2）當(dāng)坐標(biāo)軸方向取為彈性主方向時(shí)，正應(yīng)力只與正應(yīng)變有關(guān)，剪應(yīng)力只與對應(yīng)的剪應(yīng)變有關(guān)，即拉壓與剪切，及不同平面內(nèi)的剪切之間不耦合。 各種增強(qiáng)纖維復(fù)合材料、木材等為正交各向異性彈性體。 4. 橫觀各向異性彈性體 假定物體內(nèi)每一點(diǎn)都具有一個(gè)彈性對稱軸，也就是說，每一點(diǎn)都有一個(gè)各向同性平面，在這個(gè)平面的所有方向上彈性都相同。 這種彈性體稱為橫觀各向同性彈性體。 取xy面為各向同性面，即z軸為彈性對稱軸。根據(jù)上述定義，任何一個(gè)過z軸平面都是彈性對稱面，由以上推論可知，各向同性面也必然是一個(gè)彈性對稱面，從而z軸為

54、彈性主方向，符合正交各向異性的定義，因此，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（5-47）成立。由于xy平面內(nèi)的任一個(gè)方向都為彈性主方向，因此，將坐標(biāo)系繞z軸旋90（圖5-18），應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系仍然滿足式（5-47）。 yz(z)y(x)x圖5-18xx 根據(jù)二階張量的坐標(biāo)變換可得：xyyxyzxzzxzyzzxyyx, ,xyyxyzxzzxzyzzxyyx , , , ,（12） （13） 將（13）代入（5-47）式，得 yxxyzxyzzyzxzxyyxzyzzxyxcccccccccccc663332315523222144131211 , , ,（14） 在新系下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：yxyxzxyzxzx

55、zzxyyzyzyzxyxcccccccccccc663331325523212244131112 , , ,（15） 將（14）、（15）代入（12）式，比較兩邊系數(shù)，得如下關(guān)系：2211cc2313cc5544cc至此，獨(dú)立彈性常數(shù)的個(gè)數(shù)減少到6個(gè)，而（5-47）式簡化為xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxcccccccccccc663313134413111244131211 , , ,(16)現(xiàn)在，再將坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)任意角 ，如圖5-19示。 圖5-19 yxxz(z)y由二階張量坐標(biāo)變換公式得 xyyyxxxxyxxyx2cos2sin)(21xyxyxyyyxxxxy

56、xxyx2cos2sin)(21xyxy（17） （18） 式（18）寫為工程應(yīng)變形式：2cos2sin)(xyxyyx（18） 由彈性對稱性，在新系下，仍有yxyxc66將（17）、（18）式代入（19）式，得2cos2sin)(21xyxy2cos2sin)(66xyxycxyxyc66將代入上式，化簡后，有 )(266xyxyc（20） 將（16b）減去（16a）得)(1211xyxycc（21） 比較（20）、（21）式，可得可見，橫觀各向同性體只有5個(gè)獨(dú)立彈性常數(shù)，將（22）代入（16）式，有 1211662ccc（22） xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxccccccccccccc)(21 , , ,12113313134413111244131211（5-48） 5-12 5-12 各向同性彈性體應(yīng)力各向同性彈性體應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系 如果物體內(nèi)所有方向的彈性都相同，就稱該物體為各向同性彈性體。此時(shí)，物體內(nèi)任一平面都是彈性對稱面。 它可以視為一種特殊的橫觀各向同性體：各向同性面的彈性性質(zhì)與彈性對稱軸方向的彈性性質(zhì)相同。于是，（5-48）式成立。 設(shè)xy平面為各向同性面，z軸為面外方向（圖5-20（a）。將坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)90，如圖5-20（b）示 如果在新系下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與舊系下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系相