初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽——余數(shù)定理和綜合除法

1、.第1講 余數(shù)定理和綜合除法知識(shí)總結(jié)歸納一除法定理：和是兩個(gè)一元多項(xiàng)式，且，則恰好有兩個(gè)多項(xiàng)式及，使，其中，或者比次數(shù)小。這里稱為被除式，稱為除式，稱為商式，稱為余式.二余數(shù)定理：對(duì)于一元次多項(xiàng)式，用一元多項(xiàng)式去除，那么余式是一個(gè)數(shù)。設(shè)這時(shí)商為多項(xiàng)式，則有也就是說，去除時(shí)，所得的余數(shù)是.三試根法的依據(jù)（因式定理）：如果，那么是的一個(gè)因式.反過來，如果是的一個(gè)因式，那么。四試根法的應(yīng)用：假定是整系數(shù)多項(xiàng)式，又設(shè)有理數(shù)是的根（是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)），則是常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)，是首項(xiàng)系數(shù)的因數(shù).特別的，如果，即是首1多項(xiàng)式，這個(gè)時(shí)候，有理根都是整數(shù)根。典型例題一. 多項(xiàng)式的除法【例1】 已知，試求除以所得的商式

2、和余式.【例2】 已知，試求除以所得的商式和余式.【例3】 已知,，試求除以所得的商式和余式.二. 綜合除法【例4】 用綜合除法計(jì)算：.【例5】 用綜合除法求除以所得的商式和余數(shù).（1），；（2），.【例6】 用綜合除法計(jì)算：.【例7】 先用綜合除法求出除以所得的商式和余式，不再作除法，寫出除以的商式和余式.，.（1）；（2）.三. 余數(shù)定理和多項(xiàng)式理論【例8】 ，求余數(shù)的值.【例9】 除以的余數(shù)是多少？【例10】 （1）求除所得的余數(shù)；（2）求除所得的余數(shù).【例11】 多項(xiàng)式可以被和整除，求，.【例12】 試確定、的值，使多項(xiàng)式被整除.【例13】 已知能被整除，求的值.【例14】 證明：當(dāng)，

3、是不相等的常數(shù)時(shí)，若關(guān)于的整式能被，整除，則也能被積整除.【例15】 多項(xiàng)式除以、所得的余數(shù)分別為3和5，求除以所得的余式.【例16】 已知關(guān)于若的三次多項(xiàng)式除以時(shí)，余式是；除以時(shí)，余式是.求這個(gè)三次多項(xiàng)式.【例17】 已知關(guān)于的三次多項(xiàng)式除以時(shí)，余式是；除以時(shí)，余式是，求這個(gè)三項(xiàng)式.【例18】 已知除以整數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式所得的商式及余式均為，試求和，其中不是常數(shù).【例19】 已知除以，其余數(shù)比除所得的余數(shù)少，求的值.【例20】 若多項(xiàng)式能被整除，求，的值.【例21】 如果當(dāng)取，時(shí)，多項(xiàng)式分別取值，試確定一個(gè)二次多項(xiàng)式.四. 因式分解（試根法）【例22】 分解因式：.【例23】 分解因式：.【例2

4、4】 分解因式：.【例25】 分解因式：.【例26】 分解因式：【例27】 分解因式：【例28】 分解因式：【例29】 分解因式：【例30】 分解因式：【例31】 分解因式：思維飛躍【例32】 若，求的值.【例33】 若（）既是多項(xiàng)式的因子，又是多項(xiàng)式的因子，求.【例34】 求證：若，則多項(xiàng)式除以所得的余式是.【例35】 除以，多得的余數(shù)分別為，求除以多得的余式.【例36】 求證：能被整除.作業(yè)1. 分解因式：（1）.（2）.（3）.2. 若除以所得的余數(shù)為7，除以所得的余數(shù)為5，試求的值.3. 多項(xiàng)式除以、和所得的余數(shù)分別為1、2、3，試求除以所得的余式.4. 若能被整除，求與的值.5. 分解因式：.6. 分解因式：.7. 分解因式：.8. 分解因式：.9. 分解因式：.10. 分解因式：.11. 分解因式：.12. 分解因式：.13. 已知多項(xiàng)式能被整除，求的值.14. 求證：，都是的因式，