全等三角形的專題

1、.全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造兩條邊之間的相等，兩個(gè)角之間的相等。1、添加輔助線的方法和語(yǔ)言表述（1）作線段：連接；（2）作平行線：過(guò)點(diǎn)作；（3）作垂線（作高）：過(guò)點(diǎn)作，垂足為；（4）作中線：取中點(diǎn)，連接；（5）延長(zhǎng)并截取線段：延長(zhǎng)使等于；（6）截取等長(zhǎng)線段：在上截取，使等于；（7）作角平分線：作平分；作角等于已知角；（8）作一個(gè)角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運(yùn)用（1）倍長(zhǎng)中線：倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形（2）截長(zhǎng)補(bǔ)短法：

2、若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時(shí)，通?？紤]截長(zhǎng)補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形。截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條較短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長(zhǎng)線段；或延長(zhǎng)一條較短線段等于較長(zhǎng)線段，然后證明延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段 （3）角平分線：以角平分線為對(duì)稱軸利用”軸對(duì)稱性“構(gòu)造全等三角形，利用的思維 模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”?？梢栽诮瞧椒志€上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等

3、三角形?？梢栽谠摻堑膬蛇吷?，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。（4）一線三等角問題（“K”字圖、弦圖、三垂圖）：兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊恰好是一個(gè)等腰直角三角形的直角邊。(5)角含半角、等腰三角形的（繞頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)重合法：）圖形補(bǔ)全：有一個(gè)角為60°或120°的，把該角添線后構(gòu)成等邊三角形。1、 倍長(zhǎng)中線1、已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，比較BE+CF與EF的大小.二、截長(zhǎng)補(bǔ)短3、如圖，ADBC，EA,EB分別

4、平分DAB,CBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;ABAD+BC。 4： 如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD5、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 3、 角平分線造全等6、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 四、“K”字圖、弦圖、三垂圖由ABEBCD導(dǎo)出 BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD五、旋轉(zhuǎn)（一）、含半角繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)如圖，四邊形ABCD是正方形，方法：延長(zhǎng)其中一個(gè)補(bǔ)角的線段（延長(zhǎng)CD到E，使ED=BM ，連AE或延長(zhǎng)CB到F，使FB=DN ，連AF ） 結(jié)論：MN=BM+DN AM、AN分別平分BMN和

5、DNM翻折： 思路:分別將ABM和ADN以AM和AN 為對(duì)稱軸翻折，但一定要證明 M、P、N三點(diǎn)共線.（B+D=180°且AB=AD）（二）、等腰三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)ABE和ACF均為等邊三角形 結(jié)論：（1）ABFAEC；（2）B0E=BAE=60°（“八字型”模型證明）；（3）OA平分EOF拓展： 條件：ABC和CDE均為等邊三角形 結(jié)論：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ為等邊三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE （7）、OA=OB+OC（8）、OE=OC+OD （7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）條件：ABD和ACE

6、均為等腰直角三角形 結(jié)論：（1）、BE=CD （2）BECD 條件：ABEF和ACHD均為正方形 結(jié)論：（1）、BDCF （2）、BD=CF變形一：ABEF和ACHD均為正方形，ASBC交FD于T，求證：T為FD的中點(diǎn). 方法一： 方法二： 方法三： 變形二：ABEF和ACHD均為正方形，M為FD的中點(diǎn)，求證：ANBC 練習(xí)鞏固1、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC2、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.3、已知：如圖，是等邊三角形， 求證：.4、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD 5、 已知：正方形ABCD中，MAN=45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N（1）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN=MN（2）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A