數(shù)值基本知識與理論(網(wǎng)易出品)

1、戰(zhàn)斗過程的基本原理戰(zhàn)斗過程的基本原理第一章第一章 標準戰(zhàn)斗過程標準戰(zhàn)斗過程網(wǎng)易公司網(wǎng)易公司理論研究組理論研究組 宋悅宋悅Ver 1.1 1內(nèi)容簡介內(nèi)容簡介對于大多數(shù)游戲來說，戰(zhàn)斗過程是最重要和最基本的數(shù)學模型，在游戲中我們可以見到各種各樣的戰(zhàn)斗，方式林林總總，數(shù)值名目繁多，過程千變?nèi)f化。在這讓人眼花繚亂的過程背后，有沒有基本的規(guī)律呢？是不是可以找到一種定量的方法，讓我們對戰(zhàn)斗過程的設計更加豐富，對平衡性的把握更加準確呢？本文要做的，就是力圖在這個方向上邁出第一步。作為戰(zhàn)斗過程分析的第一章，本文提出了戰(zhàn)斗過程最基本的一個結(jié)論：任何一場戰(zhàn)斗任何一場戰(zhàn)斗的雙方戰(zhàn)斗力差值不變的雙方戰(zhàn)斗力差值不變。給出

2、了戰(zhàn)斗力的基本算法，戰(zhàn)斗力是輸出對承受的積分，特別地，戰(zhàn)斗力是輸出對承受的積分，特別地，在輸出與承受無關的情況下，戰(zhàn)斗力在輸出與承受無關的情況下，戰(zhàn)斗力=輸出輸出*承受承受。并且針對單、多單位各種戰(zhàn)斗情況進行了分析，均證明了這一結(jié)論。本文分為 5 個小節(jié)。其中引言部分，從心理學層面解釋為什么戰(zhàn)斗過程在游戲中如此頻繁，也說明戰(zhàn)斗過程的設計對游戲非常重要。第一節(jié)分析了單個單位之間的戰(zhàn)斗過程，提出了最基本的戰(zhàn)斗力計算方法以及結(jié)論，分析了常見的單體戰(zhàn)斗力計算公式類型，舉出了暗黑破壞神 、 英雄無敵 、 魔獸世界與魔獸爭霸的基本傷害公式，并進行了簡單的分析。第二節(jié)分析了多對多情況下由數(shù)量帶來的戰(zhàn)斗力平方

3、增長效應，即蘭徹斯特定律，進而得到了在多單位戰(zhàn)斗情況下戰(zhàn)斗力的計算方法。第三節(jié)分析了單對多情況下的戰(zhàn)斗力對比圖，驗證了上述定律，并對一種特殊情況：AOE 過程進行了分析。第四節(jié)提出了在各種戰(zhàn)斗過程下的總的規(guī)律和結(jié)論。第五節(jié)對其它的因素進行了一些考量。包括戰(zhàn)斗時間、隨機化、離散化對戰(zhàn)斗造成的影響。版本介紹版本介紹時間版本內(nèi)容06.9.111.0完成了基本內(nèi)容：戰(zhàn)斗力計算方式與守恒定律06.9.181.01加入了事例分析、加入了 AOE 分析，加入魔法傷害簡單評價，更名為戰(zhàn)斗過程的基本數(shù)學原理內(nèi)容簡介內(nèi)容簡介.1戰(zhàn)斗過程分析戰(zhàn)斗過程分析.2引言.2第一章標準戰(zhàn)斗過程.4第一節(jié)單個單位的戰(zhàn)斗過程.4

4、第二節(jié)多個戰(zhàn)斗單位的戰(zhàn)斗過程.13第三節(jié)單個單位與多個單位的戰(zhàn)斗過程.19第四節(jié)結(jié)論.24第五節(jié)其它影響戰(zhàn)斗過程的因素.25 2戰(zhàn)斗過程分析戰(zhàn)斗過程分析引言引言戰(zhàn)斗是網(wǎng)絡游戲玩家進行游戲，尤其是練級的最主要方式。這主要是因為以下原因?qū)е碌模?.毀滅都是人天生的欲望之一。在進化心理學中，K.Lorentz 認為正是有了攻擊行為，種群的后代才能有最強壯的父母，物種才能代代相傳。攻擊行為是人類生活不可避免的組成部分。里查德.勞爾也認為，攻擊性起源于人類的進化過程，并且因為其生存適應價值一直保存了下來。弗洛伊德的精神分析觀點認為，人類存在一種死本能，死本能“極力把個體推向毀滅，減少個體的生命力，直至其

5、回到原來的無生命狀態(tài)” 。當它指向人外部的時候，就表現(xiàn)為對他人的攻擊與暴力行為。死本能指出了人有被驅(qū)動去攻擊、侵略的行為本性。在一般的網(wǎng)絡游戲中，新人的第一個動作經(jīng)常就是關掉了所有對話，然后跑出去打怪，這里面既有人們進行網(wǎng)絡游戲的游戲習慣，也說明了人類對于戰(zhàn)斗的本能需求。2.游戲是對現(xiàn)實的一種模擬，而在現(xiàn)實中，戰(zhàn)斗幾乎貫穿了人類歷史的始終，對于戰(zhàn)斗的模擬和研究理論，也是非常成熟的。從中國的孫子兵法到克勞塞維茨的戰(zhàn)爭論 ，這些都對游戲中戰(zhàn)斗的設計提供了非常好的理論依據(jù)。從可實現(xiàn)性上來說，游戲是對現(xiàn)實進行數(shù)字化的模擬，對人的行為做出相對應的數(shù)學理論模型，并且在其中做出玩家可控的部分。戰(zhàn)斗中的攻防和

6、傷害，包括加入了神話、奇幻之后的魔法、詛咒，都能夠進行很好的量化和數(shù)學模擬，如 D&D 之類的桌面游戲就是量化的方法之一，這些手段使得用計算機來建立模型，構(gòu)建游戲成為非常容易實現(xiàn)的過程。（吃飯也可以滿足上面 2 個條件，為什么不能是游戲的主要玩法？）3.戰(zhàn)斗過程中存在著矛盾和斗爭，情形相對復雜，而且在戰(zhàn)斗過程中可以做出豐富的音樂美術效果，滿足人在視聽方面的需求，存在著大量的信息量，在其中也可以加入非常多的元素供玩家進行控制，如裝備的選擇、技能的使用。用信息論的角度來看，一個戰(zhàn)斗過程，帶給玩家的信息要比其它的動作多的多，因此戰(zhàn)斗成為網(wǎng)絡游戲中玩家最經(jīng)常體驗的過程。正因為如此，戰(zhàn)斗過程，可

7、以說是網(wǎng)絡游戲中玩家經(jīng)歷的最多，最為經(jīng)常的游戲體驗。對于戰(zhàn)斗過程的設計，包括和戰(zhàn)斗過程相關的數(shù)值設計，也常常成為一個網(wǎng)絡游戲設計非常重要的地方。 魔獸世界能夠受到廣大玩家的喜歡，最大亮點之一就是戰(zhàn)斗過程的設計，一個好的戰(zhàn)斗過程，能夠讓玩家的游戲過程中充滿樂趣，進而影響到玩家的代入感，在玩家看來，與此相關的裝備、技能，包括經(jīng)濟系統(tǒng)都是有意義的，玩家也就愿意更投身到游 3戲中去，體驗與此相關的各個系統(tǒng)設計。本文所提到的戰(zhàn)斗過程，主要指狹義上的戰(zhàn)斗，而非廣義上的對抗，如泡泡糖的炸彈人、賽車、棋牌等，均不計算入本文所討論的戰(zhàn)斗范圍。 4第一章第一章標準戰(zhàn)斗過程標準戰(zhàn)斗過程第一節(jié)第一節(jié) 單個單位的戰(zhàn)斗過

8、程單個單位的戰(zhàn)斗過程最簡單的戰(zhàn)斗示例最簡單的戰(zhàn)斗示例（出于數(shù)學分析方便，我們采用連續(xù)的函數(shù)，離散過程以后再進行討論）讓我們首先來看一個最基本的戰(zhàn)斗過程：事例 1：一個 100 血的戰(zhàn)士出城，看到了一只血為 90 野豬，戰(zhàn)士上去砍野豬，野豬同時開始反擊。戰(zhàn)士每秒的傷害是 20，野豬每秒的傷害為 10。當戰(zhàn)斗進行了 4.5 秒，野豬被殺死。在此期間野豬一共對戰(zhàn)士進行了總量為 45 的傷害，戰(zhàn)士還剩下 55 點血。（出于數(shù)學分析方便，我們采用連續(xù)的函數(shù)，離散過程以后再進行討論）整個戰(zhàn)斗過程的圖如下（不同顏色的線對應野豬的不同傷害值，從右至左分別為10，15，18，20，22.22）：從這個圖，我們可

9、以看到一些規(guī)律：戰(zhàn)士和野豬的初始血量是整個曲線的起始點，整個戰(zhàn)斗過程就是從起始點回到某個坐標軸的過程。整個戰(zhàn)斗過程沿著直線移動，這條直線的斜率，就是戰(zhàn)士和野豬的輸出速度之比。 5在這個過程中，我們可以看到，作為互相斗爭的雙方，都至少存在兩個因素，一個是生命，用以保證自己的生存。這個值在有些戰(zhàn)斗情況下是人數(shù)/耐久等等，在這里統(tǒng)一定義為承受承受。另一個是傷害，用以破壞對方的生存，在這里同樣定義為輸出輸出。雙方所比較的，其實是時間，看誰能在最短的時間內(nèi)破壞對方的生存條件。我們可以得到一個最簡單的結(jié)論：戰(zhàn)斗的結(jié)果，取決于一個值：。XYYXdpthpdpthp注：上述公式中，下標 X、Y 分別指在一場戰(zhàn)

10、斗中對立的雙方，在這里，X 指玩家，Y 則指野豬。其中，為玩家和怪物的生命，單位為點。、為玩家和怪物的單位XhpYhpXdptYdpt時間輸出傷害，單位為點/單位時間。這個單位時間一般是秒，但在很多游戲里，不一定以秒為單位時間，比如暗黑破壞神 II ，常常采用的單位是楨（每秒為 24 楨） 。題外話：暗黑破壞神 II （1.09 版）也因此遇到過 Bug，其中德魯伊可以用一個技能：狂暴（Fury） 。這個技能的效果除了傷害加成以外，在 20 技能等級的情況下會連續(xù)攻擊 5次。有的玩家采用了相對較快的武器以后，平均每不到 5 楨就可以使用狂暴，這樣系統(tǒng)就無法判定每一次傷害發(fā)生在哪一楨了，最終結(jié)果

11、是這個終極技能無法產(chǎn)生傷害。最后玩家被迫使用相對較慢的裝備來發(fā)動 Fury，這也直接導致了游戲里物理系德魯伊沒有多少人玩。從式子看，前面一個數(shù)是玩家能夠堅持的時間，后面一個數(shù)值則是玩家殺死怪物的時間。就像兩個水池，各自插了一個水管放水，比較哪個水池先被放空就可以了。玩家要戰(zhàn)勝怪物，只需要這個值大于 0 即可。也就是 0XYYXdpthdpth做一點簡單的變換，也就是需要 XX*dpthYY*dpth我們可以將玩家的定義成玩家的戰(zhàn)斗力，記為 FC （Fighting Capacity）那么我dpth*們就有了一個標準用以衡量角色的戰(zhàn)斗能力。在上述的戰(zhàn)斗過程中，雙方的戰(zhàn)斗力之差是一個恒定的值。戰(zhàn)斗

12、過程，其實就是一個FC 相減的過程，要預估戰(zhàn)斗的結(jié)果，只需要用 FCX FCY 即可，我們不僅僅可以判定戰(zhàn)斗的勝利者，還可以，我們還可以計算雙方的戰(zhàn)斗力比例和勝者所能保留的戰(zhàn)斗力。在事例 1 中，我們可以計算出，戰(zhàn)士的戰(zhàn)斗力為 2000，而野豬為 900。因此如果一只一只的攻擊，一個戰(zhàn)士可以在無恢復的情況下戰(zhàn)勝兩只野豬。同樣還可以計算出，在戰(zhàn)勝第一只后，戰(zhàn)士的戰(zhàn)斗力還剩下 1100，由于每秒輸出是 20，所以剩下 55 點血。在戰(zhàn)勝了第二只野豬 6后，戰(zhàn)斗力還剩下 200，也就是 10 點血。這個戰(zhàn)士就必須進行打坐、吃面包、繃帶、喝藥、治療等等補給措施了，因為他的實力已經(jīng)不足夠再戰(zhàn)勝下一頭野豬

13、。玩家在戰(zhàn)斗中常用的判斷標準就是自己的生命是不是過半，這是有道理的，因為傷害輸出和生命的多少無關，生命過半就意味著還有一半以上的戰(zhàn)斗力。在幾乎所有的網(wǎng)絡游戲中，玩家都會關注自己的生命值，一般能夠加生命上限的裝備和道具，總是比較受玩家歡迎的。因為盡管輸出方式千差萬別，各種參數(shù)一時難以評估，但是生命值，總是能夠比較直接的影響到一個角色的戰(zhàn)斗力。如果以單位的承受作為橫坐標，輸出作為縱坐標，那么輸出與承受所組成的圖形面積，就是一個單位的戰(zhàn)斗力。如下圖：在實際策劃中，如果我們要設計多個不同的戰(zhàn)斗單位，他們的攻擊力和血量都不相同，那么，只要比較他們的戰(zhàn)斗力，也就是生命和輸出速度的乘積就可以得到他們的戰(zhàn)斗力

14、大小。在圖形上，我們可以畫出多條 HP * =C 的雙曲線，觀測其落點在那條雙曲線即可，dpt處于同一條雙曲線的，即可認為戰(zhàn)斗力相等。如下圖 7戰(zhàn)斗能力的等值曲線基于以上推理，我們可以看到在戰(zhàn)斗中的基本規(guī)則，如果我們定義一個戰(zhàn)斗單位的輸出與承受的乘積為戰(zhàn)斗力， （在以后的分析中，我們會將其推廣到戰(zhàn)斗力是輸出對承受的積分，特別地，在輸出與承受無關的情況下，戰(zhàn)斗力=輸出*承受）那么：在任何一場戰(zhàn)斗中，戰(zhàn)斗雙方的戰(zhàn)斗力差值不變。在任何一場戰(zhàn)斗中，戰(zhàn)斗雙方的戰(zhàn)斗力差值不變。這一規(guī)則，貫穿了所有標準戰(zhàn)斗類型的過程。在實際的戰(zhàn)斗中，傷害總是按照次數(shù)和頻率來進行的，我們可以用單次傷害值*傷害頻率來得到單位時

15、間的傷害，也就是說，我們可以用 dmg*f 來代替，為簡化方便，我們將DMG 寫成 d，那么，在一些情況下，我們可以將玩家的戰(zhàn)斗力寫成。其中 d 和 ff*d*h對戰(zhàn)斗力的作用同等。比如說，我們設計了兩個戒指，一個是傷害+1，一個是攻擊速度加10%，那么我們可以將傷害轉(zhuǎn)化成百分比進行計算。如果這 1 點造成的傷害加成大于10%，即玩家在沒有佩戴戒指的時候單次傷害低于 10 點，那么前一個戒指是更有作用的，反之則是后者。每次 10 點傷害是這兩個道具的平衡點。基于攻基于攻- -防的戰(zhàn)斗方式防的戰(zhàn)斗方式最簡單的戰(zhàn)斗模型玩家只能進行很簡單的控制，在實際的游戲中只進行這樣簡單的傷 8害是難以滿足玩家要

16、求的。在很多網(wǎng)絡游戲中，常常會采用簡單攻防加減的形式來進行戰(zhàn)斗過程設計。這種設計的基本規(guī)則是：每次攻擊造成的傷害=攻擊方的攻擊力-受攻擊方的防御力。即；。YXXdefattdXYYdefattd下面我們來看看這種設計的數(shù)學效果是什么。在這種情況下，我們來看雙方的戰(zhàn)斗力比值，一方為玩家，攻擊力為 attX，防御力為defY，攻擊頻率為 fX，另一方是怪物，攻擊力為 attY，防御力為 defY，攻擊頻率為 fY。那么雙方的戰(zhàn)斗力分別是FCX=XYXXf*)a (*deftthFCY=YYf*)a (*XYdeftth雙方的戰(zhàn)斗力比值 FCX / FCY為（這里采用比值更容易看清楚）：FCX /

17、FCY = / XYXXf*)a (*deftthYYf*)a (*XYdeftth對于以上的公式，我們可以至少看到以下規(guī)律：1 對于不同的敵人，玩家的戰(zhàn)斗力不再取決于自己本身的數(shù)值，還跟玩家具體要面對的怪物的防御力相關。同樣，怪物的戰(zhàn)斗力也與玩家的防御力相關。因此，玩家和怪物之間的勝負關系，在實力很接近的情況下，可能會無法形成傳遞關系。這里可以舉一個很簡單的例子，單位 A：=1000，=50，=0，=1，hpattdeff單位 B：=1000，=100，=20，=0.25hpattdeff單位 C：=1000，=25，=0，=3hpattdeff如果這三個單位進行實際的對戰(zhàn)，通過簡單的戰(zhàn)斗力

18、計算，我們可以看到，AB，BC，而 CA。在沒有任何外加屬性（如單位大小、五行等等）這就形成了一個循環(huán)相克的局面。2 將任何一方的 FC 公式展開，可以看到：。在游戲)(FCfdeffatthp中，一般來說，戰(zhàn)斗力大致相近的玩家在值上是大致相近的，那么遇到怪fatt物時所減少的戰(zhàn)斗力決定于。某個單位的攻擊頻率越高，而對手的甲越厚，fdef 這個單位的戰(zhàn)斗力就被抑制的最厲害。利用這一點可以做出很多配合，比如設計某種怪攻擊力低但攻擊頻率高，如果加上攻擊硬直效果，這種怪對于甲較弱的法系職業(yè)就是戰(zhàn)斗力很高的，但是對于防高的戰(zhàn)士類職業(yè)攻擊效果就很差，可以促使玩家之間形成配合。 93 戰(zhàn)斗力對于攻擊力和防

19、御力的增加效果，不僅僅取決于該這個加成數(shù)值本身，也取決于攻防雙方的攻擊力與防御力差值的大小。比如，一把武器上具有+3 攻擊力效果，如果攻方攻擊力是 200，防御方防御力是 20，這時候+3 的效果是不明顯的，但是，如果防御方的防御力是 180，這 3 點的效果就要明顯的多了。所以，戰(zhàn)斗數(shù)值對于攻、防加成是否敏感，取決于差值的設計。4 在這樣的數(shù)學模型中，攻擊力和防御力在不同的階段，對于單位的戰(zhàn)斗力影響是不同的。一般來說，在同一情況下，攻擊力對于戰(zhàn)斗結(jié)果的影響效果是線性遞減的，而防御力對戰(zhàn)斗結(jié)果的影響效果是線性遞增的。舉例而言，經(jīng)過攻防計算后，一個單位每次輸出的傷害是 10，受到的傷害是 10。

20、對于這個玩家而言，增加 1 點攻擊力，所得到的傷害加成依次是 10%，9.1%，8.33%.，而增加 1 點防御力所得到的傷害降低依次是 10%，11.11%，12.5%.。所以我們可以看到，同樣的攻防指數(shù)，在不同的階段，所產(chǎn)生的結(jié)果是差異很大的。例如，在公認平衡性最好的星際爭霸中，很多單位的防御升級費用常常是隨等級遞增的，甚至有的不是線性遞增，而是幾何級數(shù)的遞增，如 Protoss 的離子盾防御 1/2/3 分別是100/200/400（Mine + Gas） ，就因為這些升級對于戰(zhàn)斗的影響并不是相等的?；趥Φ膽?zhàn)斗方式基于傷害的戰(zhàn)斗方式在有些游戲中，單位的屬性中不僅僅包含了攻/防，還有傷

21、害值，攻防不再是傷害的決定值，只對傷害起到加/減成的作用。在這里，由于各個游戲攻防的加成方法不同，因此只能給出一個具有不確定性的公式，此類戰(zhàn)斗的基本計算公式是：d*),(*YXXdefattfdmgd注：這里指產(chǎn)生的最終傷害，dmg 指單位的標定傷害值*d一般情況下，的值和正相關，和負相關。具體情況要根據(jù)各),(YXdefattfXattYdef個游戲的設計情況而定。在有的游戲中，也會導入其它的因素來影響，如 Diablo 中的物*d理免疫。下面分別舉幾個游戲的例子：1.暗黑破壞神暗黑破壞神 2暗黑破壞神的傷害公式比較奇特，其常見的 defence 數(shù)值并不作用于傷害大小，而是決定玩家的格檔與

22、閃避幾率。而真正對傷害進行減成的，是由裝備帶來的 damage reduce，也就是物理減免。這與 D&D 規(guī)則是非常類似的，最簡單的公式如下：%這里的指物理減免率。)1 (*dmgrdmgddmgr當然暗黑破壞神 2作為暴雪最成功的游戲之一。傷害的計算因素是非常之多的。其中人物角色具有力量（str）和敏捷（dex）兩項是直接與物理傷害相關的。其中力量 str對傷害進行加成，敏捷對命中率進行加成， （當然受攻擊者的敏捷也對防御進行減成） 。在不考慮裝備以及盾牌格檔的情況下，在采用最終傷害=標定傷害*加成*命中率的公式下，其傷害計算公式為： 10DlvlAlvl2Alvl*)1 (*10

23、0100s*2_minmax_*drarardmgrtrdmgdmgd其中為武器攻擊力上限，為武器攻擊力下限，是 attack max_dmgmin_dmgarrating 的簡寫，具體公式為；是 defence rating 的簡寫，具體公式為28. 4 defardr（dex 為受攻擊方的數(shù)值） 。4/dexdr 舉例而言，當一個 20 級，力量敏捷均為 50 的野蠻人，在使用傷害為 10-20 的單手劍對同樣等級，為 60，物理減免 50%的 Boss 進行攻擊時，其單次平均傷害為 10.35，用dex這個數(shù)值乘以輸出頻率（1/輸出楨數(shù)） ，乘以該級別下野蠻人的血量，就可以得到該野蠻人在

24、對該 Boss 的戰(zhàn)斗力數(shù)值。綜合使用護甲與物理減免，這與 D&D 的基本思路是類似的。2.魔獸爭霸魔獸爭霸 3魔獸爭霸 3中沒有攻擊力，只有防御力對傷害進行減成。其具體計算公式為：當0 的時候),(*0.06*11*YXdcacfdefdmgdYDEF當0 的時候),(*)94. 02(*Y-defXdcacfdmgdYDEF其中為攻擊類型，如普通攻擊、穿刺攻擊、攻城攻擊等，為防御類型，如輕甲、acdc中甲、重甲等。在魔獸爭霸 3里，不同的攻擊類型和不同的防御類型組合，會產(chǎn)生不同的破壞系數(shù)。在這里，隨著防御力增加，由此帶來的防御力減小無限趨近于 100%但不能達到。這兩個公式看似復雜

25、，其實都蘊藏著很簡單的數(shù)學原理。我們可以看到當增加 1Ydef的時候，對于 X 方來說，增加 6%剛好可以抵消因為 Y 方加 1 帶來的效果，而XdmgYdef6%的傷害加成也就是 6%的戰(zhàn)斗力加成，因此對于魔獸爭霸里單位的數(shù)值評估，每一點防御力對應了 6%的戰(zhàn)斗力。當） ，殺傷力為0X0Y0X0Y（為單位時間輸出傷害與戰(zhàn)斗單位生命的比值，比如星際爭霸中，機槍兵對射，每個機槍兵攻擊力為，生命為，那么殺傷力就是。那么戰(zhàn)斗過程的微分方程為：(2) Px dtdy ) 1 ( Py dtdx加上初始條件，時，x=,y=0X0Y 14解這個方程，可以得到如下解Pt00Pt00e2YXe2YXPt00P

26、t00e2YXe2YX當=時，方被消滅，此時方還剩下。0000YXYXln2P12020YX 雙方的戰(zhàn)斗曲線圖如下：（各條曲線分別代表 100vs60，100vs80，100vs90，100vs95和 100vs100 情況下的戰(zhàn)斗過程）這個結(jié)果雖然精確，但是仍然不夠直觀，我們來對這個數(shù)學方程進行簡單的變幻，將（）式左右互換，然后與（）式相乘，消去兩邊的-P，可以得到：dtdyydtdxx進一步得到：dt)y(ddt)x(d22從到任何時間單位積分，我們可以得到一個非常重要的結(jié)論：2t202t20yYxX 15寫成：2t2t2020yxYX也就是說，在任何時候，雙方的人數(shù)平方的差距不變。在任何

27、時候，雙方的人數(shù)平方的差距不變。那么按照前面“戰(zhàn)斗力之差保持不變”的規(guī)則，這里的戰(zhàn)斗力必然包括了一種平方關系。在多人戰(zhàn)斗情況下，假設單個單位的戰(zhàn)斗力為，那么對于個單位，其戰(zhàn)斗力顯然與2*成正比例這也就是著名的蘭徹斯特平方定律。這個平方律反應了戰(zhàn)斗中的一個規(guī)模效應。當作戰(zhàn)單位以一定數(shù)量增加時，戰(zhàn)斗能力以平方關系增長。由上述公式，可以得到幾個比較重要的推論：個戰(zhàn)斗單位同時投入戰(zhàn)斗，要比一個一個的投入戰(zhàn)斗強的多。我們可以計算，個戰(zhàn)斗單位同時進行戰(zhàn)斗的戰(zhàn)斗力總量正比于*，而讓他們前后投入戰(zhàn)斗，戰(zhàn)斗力總量正比于*，這個結(jié)果我們也可以直觀的理解，因為當個單位在承受傷害的時候，其他的單位都在進行輸出，自然總

28、的戰(zhàn)斗力就增大了。即使戰(zhàn)斗雙方的力量不均衡，只要弱勢的一方成功的使得對方不能以全部兵力投入戰(zhàn)斗，那么也有可能分成幾次戰(zhàn)勝對手。在軍事上，也就是要造成局部以多打少的戰(zhàn)術觀點，其數(shù)學含義其實是：aabb，那么將取得勝利，反之為。2020BYAX 同樣，按照上面的數(shù)學計算方法，我們可以得到)yY(B)xA(X2t202t20同樣變形得到：2t2t2020ByAxBYAX我們看到，在殺傷力不同的情況下，每個單位的殺傷力同樣對實力產(chǎn)生影響。并且在戰(zhàn)斗過程中，每個單位的殺傷力與數(shù)量平方乘積的差不變。如果我們對殺傷力進行分析，在上述例子中，比較和方的戰(zhàn)斗結(jié)果，只需要看： 是否大于 020YXXX*hpfd2

29、0XYYY*hpfd也就是要比較 17 20XXXX*hpfd20YYYY*hpfd那么是不是我們可以定義：；20XXXxX*FChpfd呢？這里我們來看一看我們對于戰(zhàn)斗力的定義。戰(zhàn)斗力是在承20YYYYY*FChpfd受與輸出的所組成圖形的面積，那么我們做一個輸出與承受的圖，可以看到：無論采用積分還是采用三角形面積計算方法，都可以很容易的得到，多單位的戰(zhàn)斗力等于（承受能力*輸出能力）/2。對于有個單位的戰(zhàn)斗團體來說，承受能力=*，最nnhp大輸出能力=，所以最終的結(jié)果是：nfdhpfdn2FC2那么對于剛才的情況，可以得到：XXX20 xX21FChpfdYYY20YY21FChpfd 18

30、YYYXXX22YxYXFC/FChpfdhpfd只要對比和，就可以很簡單的得到和作戰(zhàn)的戰(zhàn)斗結(jié)果。在后面單單位XFCYFC與多單位戰(zhàn)斗過程的計算中我們可以看到，這一結(jié)論是繼續(xù)適用的。與前面的計算結(jié)果相比，我們可以看到，戰(zhàn)斗力的公式其實并沒有質(zhì)的變化，只是它隨著人數(shù)的平方關系增長。這對于游戲中促進玩家的組隊是有非常有利的。如果我們對比多人戰(zhàn)斗過程與單人戰(zhàn)斗過程的公式，我們可以看到，在單體戰(zhàn)斗中，我們認為輸出是恒定的，而在多單位戰(zhàn)斗中，輸出與承受之間存在著正比例關系。這正是蘭徹斯特平方律的來源。在單人戰(zhàn)斗過程中我們并非就不能產(chǎn)生這種平方律關系，只需要把攻擊力正比于生命即可達到這個效果。綜合上面的所

31、有過程，可以看到，多人戰(zhàn)斗過程仍然貫穿了前面所提到的兩個基本定律：1.戰(zhàn)斗力是輸出對承受的積分，特別地，在輸出與承受無關的情況下，戰(zhàn)斗力戰(zhàn)斗力是輸出對承受的積分，特別地，在輸出與承受無關的情況下，戰(zhàn)斗力=輸輸出出*承受承受。2.戰(zhàn)斗過程中仍然是戰(zhàn)斗力差值不變的過程。戰(zhàn)斗過程中仍然是戰(zhàn)斗力差值不變的過程。離散化對戰(zhàn)斗過程的影響離散化對戰(zhàn)斗過程的影響在離散過程下，同樣的，會產(chǎn)生一定值的數(shù)據(jù)偏差，下面我們就來看這種偏差的影響因素。來看一個最簡單的例子，如果方有個單位，方有個單位。按照連續(xù)情況下的公式計算可以得到，在戰(zhàn)斗后，可以剩下個單位。如果雙方的殺傷力都為，也就是說任何一個單位都可以一次殺死另一個

32、單位，那么可以剩下個單位。如果雙方的殺傷力都為，剩下個單位。如果雙方的殺傷力都為，剩下個單位。如果雙方的殺傷力都為，剩下個單位。 通過以上的示例可以看到，在離散情況下，由于在最后一輪一定會產(chǎn)生攻擊力的浪費，也就是戰(zhàn)斗力的浪費，數(shù)值會產(chǎn)生一定的偏移，而且一定是向勝利者不利的方向偏移，殺傷力越小，離散情況越接近于連續(xù)過程。 19第三節(jié)第三節(jié) 單個單位與多個單位的戰(zhàn)斗過程單個單位與多個單位的戰(zhàn)斗過程在游戲中，除了單個單位的互相戰(zhàn)斗和多個單位的互相戰(zhàn)斗之外，還有一種情況，就是單個單位與多個單位的戰(zhàn)斗，這種情況也是普遍的，玩家有時候會單人同時面對多個怪物，也會多人一起與一個 boss 進行戰(zhàn)斗。這種情況

33、當然可以看作多單位戰(zhàn)斗的離散情況，但是要注意到，如果這樣的戰(zhàn)斗是實力接近的，比如一個玩家同時面臨 3 個小怪，或者 5個玩家同時面對 1 個 boss，在這里，由于一方的數(shù)量很?。ㄖ挥?1 個） ，離散化帶來的影響已經(jīng)不可以被忽略。因此有必要單獨進行考慮。這種模型下最大的特點在于不對稱性。這里的不對稱性在于：一方的輸出是隨著承受遞減的，而另一方的輸出則是恒定的。假設：單個單位一方（x 方）初始生命，傷害為，頻率為；XHxDxf多個單位一方（y 方）初始生命，傷害為，頻率為；初始數(shù)量為YHYDYf0Y可以得到數(shù)學方程：yfDdtdxYYYxxHfDdtdy加上初始條件，t=0 時，x=；y=。要

34、注意這里 x，y 的單位是不同的。x 是生命XH0Y關于時間的變量，y 是數(shù)量關于時間的變量。解這個方程，可以得到：00YY2YYYXXHtYfDt2HfDfDxtHfDYyYxx00 x 對時間的函數(shù)是一個二次曲線，y 是一個遞減的直線。并且在的點，XX0YfDYHtx 取到最小值，而 y=0。圖形如下， 20單-多單位的戰(zhàn)斗過程注：該圖數(shù)據(jù)如下：X 方Y(jié) 方數(shù)量120，30，40，50，60生命1600030傷害64頻率11因此，只需要看這個最小值是否小于 0，將這個 t 帶入到方程的解中，容易得到：Y20XXYY0minH2YfDfDHx也就是，只需要比較與XX0fDH2YfDH20YY

35、Y而且，將上面兩個方程相乘， （2 式左右互換乘 1 式） ，同時積分，可以得到， = 2YfDHfDH20YYYXX02yfDHfDx2YYYXX也就是說，在任何時候，雙方的上述參數(shù)值之差不變，因此我們可以定義：XXXXfDHFC2YfDHFC2YYYY 21YYYXXx2YxfDHfDHY2FC/FC跟上面多單位 VS 多單位的情況相比，在單對多的戰(zhàn)斗過程中，我們看到，由于其中的一方輸出恒定，而另一方輸出隨著承受力下降逐漸遞減，因此多單位一方的戰(zhàn)斗力并不能獲得完全的平方加成。在上訴的過程中，我們通過計算所得到的戰(zhàn)斗力也是符合單 VS 單和單 VS 多的計算結(jié)果的。離散化的影響離散化的影響如

36、果我們把這個過程離散化，我們可以看到。我們具體考慮 Y 方的情況，由于 Y 方實際上不是完全的連續(xù)過程，由于在每個單位受到傷害但未死亡的過程中，Y 的輸出是不變的，事實上，Y 的戰(zhàn)斗力減少是階梯形的，如下圖。因此在實際計算中，如果我們考慮戰(zhàn)斗力=傷害*承受的整體公式，那么可以得到，Y方的實際戰(zhàn)斗力應該是：21)Y(YfDHFCYYYY這就是多人模式下考慮到離散情況以后 Y 方的實際戰(zhàn)斗力。 22一個特例：一個特例：AOE 戰(zhàn)斗過程戰(zhàn)斗過程在上述的所有示例中，任何戰(zhàn)斗一方的輸出相對獨立，或者與承受正相關。那么，是否存在一種可能，使得自己的輸出與對方的承受相關呢。事實上，在游戲中這種情況也是經(jīng)常會

37、出現(xiàn)的。這就是 AOE 過程。AOE 的全稱是 Area Effect Damage，范圍傷害效果。它的特點就是對某個區(qū)域進行傷害，而不針對戰(zhàn)斗對象。這種區(qū)域傷害能夠傷害到部分或者全體的敵方單位。如星際爭霸的離子風暴、 魔獸爭霸里的暴風雪、流星雨、 魔獸世界中法師的奧術爆炸、 魔力寶貝中的強力魔法和超強魔法、 夢幻西游的龍卷雨擊， CS中的手雷。在這里我們只考慮一種相對簡單的情況，也就是一方 AOE 總是能夠攻擊到對方的所有人員，而另一方的所有單位都相同。比較典型的例子是魔獸世界中法師的奧術爆炸，魔力寶貝中的超強魔法。這一過程比較簡單，不需要解微分方程，只需要用基本的戰(zhàn)斗力計算公式即可：假設

38、X 方生命為，AOE 對每個單體的傷害是，攻擊頻率是，Y 方生命為xHxDXf，每個單體的傷害是，攻擊頻率是，當 Y 方的數(shù)量為 Y 時： YHYDYf在單 VS 單的情況下：YYYXXxYxfDHfDHFC/FC在單 VS 多的情況下此時 X 方的傷害提升到，但是我們要看到，Y 方由于受到 AOE 攻擊，此時 XxDN并不是最優(yōu)攻擊模式，可以看作 Y 方單位均處于同時攻擊與同時死亡，輸出與承受無關，因此其戰(zhàn)斗力為，因此有：YYY2fDH*YXXXxfDHYFCYYY2YfDHYFCYYYXXxYxfDHfDHY1FC/FC和 1V1 的情況相比，由于 X 方的傷害與 Y 成正比，因此降低了

39、Y 戰(zhàn)斗力增長的 2 階關系。從整體上看，雖然 X 的戰(zhàn)斗難度仍然增大了，卻沒有像標準情況增長的那樣迅速，而收益的增長速度是不變的，因此與標準情況相比，可以更快的獲得收益。因此也經(jīng)常為玩家所使用，在魔獸世界里，玩家經(jīng)常會結(jié)隊去爆怪，在魔力寶貝中，玩家也會經(jīng)常組織弓手、法師的練級隊，在夢幻里，龍宮的龍卷雨擊也是非常常用的技能。從上面的戰(zhàn)斗力對比數(shù)值還可以看到一個有趣的結(jié)論：X 與 Y 的戰(zhàn)斗力比值，正好是X 在無恢復情況下連續(xù)單獨與 Y 方戰(zhàn)斗的數(shù)值。也就是說，如果 X 采用該群體技能可以一 23個接一個無恢復的消滅 Y 個對手，那么就可以一次用 AOE 群體消滅對方。 24第四節(jié)第四節(jié) 結(jié)論結(jié)

40、論戰(zhàn)斗的雙方一定都存在兩個因素，一個是標識自身生存的因素，這個因素的量化稱為承受承受。承受在單人情況下，表現(xiàn)為生命值，在多人情況下，表現(xiàn)為數(shù)量，或者生命值與數(shù)量的積。另一個量是破壞對方生存的因素，這個因素的量化，稱為傷害輸出，簡稱為輸出輸出。輸出對承受的積分，特別地，在輸出與承受無關的情況下，輸出與承受的乘積輸出對承受的積分，特別地，在輸出與承受無關的情況下，輸出與承受的乘積，表明了該表明了該單位戰(zhàn)斗能力的強弱單位戰(zhàn)斗能力的強弱，我們定義為戰(zhàn)斗力戰(zhàn)斗力。戰(zhàn)斗力是一個單位戰(zhàn)斗能力的量化標識。戰(zhàn)斗過程就是一個戰(zhàn)斗力比較的過程，在這一過程中，戰(zhàn)斗雙方的戰(zhàn)斗力不斷下降，但是戰(zhàn)斗力的差保持不變（在最簡單

41、戰(zhàn)斗過程情況下） 。戰(zhàn)斗力之差在戰(zhàn)斗過程中保持不變。這是戰(zhàn)斗過程基本定律。戰(zhàn)斗力之差在戰(zhàn)斗過程中保持不變。這是戰(zhàn)斗過程基本定律。 25第五節(jié)第五節(jié) 其它影響戰(zhàn)斗過程的因素其它影響戰(zhàn)斗過程的因素以上所分析的過程，基本都是物理攻擊過程，但是由于上文中所使用的主要參數(shù)包括傷害、承受。與攻擊類型無關，因此對于魔法傷害，同樣具有一致性。事實上，我們可以看到，魔法傷害與物理傷害在很多地方具有相似的屬性。在這里列舉如下：物理魔法效果攻擊法術對對方造成傷害防御抗性減低傷害效果閃避抵抗使一次行動不產(chǎn)生傷害致命一擊爆擊單次傷害加成（一般是增加 100%）物理免疫魔法免疫傷害效果=0因此，對于魔法傷害過程，同樣可以

42、采用類似的辦法處理，而不影響結(jié)論。值得一提的是，魔法值的設定，只是設定了采用魔法進行傷害的總輸出上限，對于單次戰(zhàn)斗而言，如果魔法值足夠多（這也是大多數(shù)情況） ，那么魔法值對戰(zhàn)斗力不產(chǎn)生任何影響。在有些情況下，魔法值也會成為戰(zhàn)斗的瓶頸。比如雙方魔法值不足、采用高消耗技能或者互相使用技能消耗對方的魔法值，但這種情況相對較少。對于戰(zhàn)斗，魔法值的主要限制，在于玩家持續(xù)作戰(zhàn)的時間，也就是玩家獲取經(jīng)驗值的速度。在有些游戲中根據(jù)具體世界觀設定有內(nèi)力、能量、怒氣等等其它稱謂，但原理相同。5.1戰(zhàn)斗時間戰(zhàn)斗時間在實際設計中還有一個因素影響，所有的角色并不是戰(zhàn)斗力相等就是平衡的。因為在這里，我們之考慮了在戰(zhàn)斗中的

43、勝負關系和實力比例，但是還沒有討論另外一個參數(shù)：戰(zhàn)斗時間。重新回到最簡單的戰(zhàn)斗過程，我們可以看到，戰(zhàn)斗時間),min(YXXYdpthpdpthpt 如果假定玩家一定可以獲得勝利（這也是絕大多數(shù)情況） ，那么可以得到：XYdpthpt 在這個戰(zhàn)斗時間的公式里，我們可以看到，只有玩家的輸出和怪物的生命對此有影響。對玩家而言，如果是基于 PVP，他們更關注的是戰(zhàn)斗的結(jié)果，即雙方的戰(zhàn)斗力比例。花 20分鐘去戰(zhàn)勝另外一個玩家對手是令人激動的，但是在基于 PVE 的情況下，戰(zhàn)斗的時間也同等重要，因為它決定了玩家獲得經(jīng)驗值的速度，決定了玩家角色能力成長的速度。玩家不可能容忍每殺死一個普通怪物就需要這么多的

44、時間。在綜合了結(jié)果和時間兩項因素之后，我們可以看到這個參數(shù)更加重要，因此，一個輸出高而承受力弱（并不一定就是生命dpt值短，也可能因為防御力低、閃避低等等）的職業(yè)，如法師，和一個輸出低而承受力強的 26職業(yè)相比，如防御戰(zhàn)士，咒術師，如果兩者的戰(zhàn)斗力評價相當，選擇前者的玩家將比后者多的多，這是因為前者在 PVE 方面將具有高的多的效率。如果我們把視野從 PVP 拓展到一個游戲中發(fā)生的所有戰(zhàn)斗過程。那么讓后者在戰(zhàn)斗實力上超過前者才是公平的，但是上限是不能讓后者的輸出速度超過前者，否則就是真正的不平衡了。一個典型的例子，就是在魔獸世界中，一個正常裝備的盜賊殺怪速度一定快于一個同裝備水準的防御戰(zhàn)士，但

45、是 PK 的結(jié)果一般是后者更有優(yōu)勢。如果要保持職業(yè)之間的平衡，另外一個思路就是在其它方面對低輸出職業(yè)予以補償，比如給予他們比較強的戰(zhàn)后回復技能，比如生命恢復速度、特定的恢復裝備、快速恢復的技能等，如魔獸世界中的圣騎士可以補血，惡魔術士可以吸取寵物身上的魔法，通過縮短他們的平均休息時間，彌補戰(zhàn)斗時間的差距，這樣在整體的收益值效率上，達到兩者的平衡。5.2隨機性對游戲的影響隨機性對游戲的影響在現(xiàn)在幾乎所有的游戲中，我們都可以看到，單位的攻擊力都不是一個確定值，而是一個包含了上限與下限的區(qū)間。這使得我們雖然可以從概率上的數(shù)學期望計算出平均每次攻擊的攻擊力，并據(jù)此得到戰(zhàn)斗力以及戰(zhàn)斗結(jié)果的數(shù)據(jù)，但在每個

46、單次的實際戰(zhàn)斗中，常常會偏離這個結(jié)果。現(xiàn)在我們從數(shù)值上進行簡單的分析。在一般情況下，攻擊力的計算公式一般是均勻分布的。比如一個戰(zhàn)士的攻擊力是 10-20，那么攻擊力取得在 10-20 之間的任何一個數(shù)值的概率都是相等的（離散情況） ，或者落在任何同等長度區(qū)間的概率都是相同的(連續(xù)情況)。當然游戲策劃完全可以設計根據(jù)具體情況設計成其它分布，甚至是偏向一端的分布，但是會給游戲的設計和服務器端的計算帶來非常大的麻煩。因此一般都采用平均分布的情況。回到最簡單的戰(zhàn)斗狀態(tài)，假設一個玩家的攻擊力是 10-20（取得 10-20 的任何一個數(shù)值，不一定是整數(shù)） ，生命為 10，怪物的攻擊力為 10，生命為 1

47、4。我們可以看到，按照平均傷害來計算戰(zhàn)斗力，F(xiàn)CX=150， FCY=140。FCX FCY。玩家將戰(zhàn)勝怪物，但是在實際的戰(zhàn)斗過程中，玩家每次將有 40%的幾率死亡。這樣，戰(zhàn)斗結(jié)果的不確定性就增加了。從一個確定過程變成了一個概率過程。作進一步考慮，如果玩家和怪物的生命值同時上升 1 倍，分別為 20 和 28，結(jié)果又如何呢？做一個簡單的二維圖，我們可以看到，此時玩家勝利的可能性從 60%上升到了68%。玩家的勝利幾率大大上升了。如果生命上升到三倍，即 30 和 42，我們可以看到玩家勝利的可能性更是提高到了 71.2%。從數(shù)學上說，任何概率的多次重復，都無限接近于方差不斷減小的正態(tài)分布，也就是

48、說，平均傷害落在數(shù)學期望附近的概率大大增加了。玩家的輸出也就更加穩(wěn)定，隨機性隨之減小。一般來說，我們都希望戰(zhàn)斗過程的隨機性增大，但是我們不能將戰(zhàn)斗過程設計的太短，殺傷力過高，比如玩家一次就可以戰(zhàn)勝怪物或者一次就會被殺死將嚴重削弱游戲的操作性，玩家對于戰(zhàn)斗過程不再具有控制力，而僅僅是運氣的賭博。這樣的戰(zhàn)斗過程也是玩家無法接受的，因此在在殺傷力的控制上，一般都不會太低，但通過其它因素來增大隨機性。如閃避和致命一擊。在網(wǎng)絡游戲中常常還會引入閃避和致命一擊這些因素，其實這也是另外一種隨機性的因素，如果被閃避幾率效果和暴擊幾率相等，玩家的戰(zhàn)斗力仍然是相當?shù)?。但是加入這些因素后，一方面使得玩家可以追求的因

49、素更多，游戲內(nèi)容更加豐富，同時也增大了戰(zhàn)斗的隨機性。進而增加了戰(zhàn)斗過程的樂趣。 27現(xiàn)在來看一下隨機性過程對于 PVE 和 PVP 過程的影響：PVE：隨機性使得玩家在打怪時需要關注更多的內(nèi)容。即使在攻擊力下限也可以確保勝利的情況下，玩家仍然必須關注戰(zhàn)斗過程，因為玩家常常會在無恢復的情況下連續(xù)戰(zhàn)斗，也就是經(jīng)常在非完全戰(zhàn)斗力的情況下戰(zhàn)斗，在這個時候，如何評估下一場戰(zhàn)斗的勝負，如何在一場戰(zhàn)斗后選擇休息回復還是繼續(xù)作戰(zhàn)，都是需要玩家思考的問題。即使在確保勝利的情況下，玩家也會期望輸出高的傷害，因為這樣意味著更小的戰(zhàn)斗力損失，以更高的效率獲得經(jīng)驗、得到成長，并且在游戲中因為這種期望得到實現(xiàn)而獲得滿足。

50、PVP：隨機性使得玩家的戰(zhàn)斗結(jié)果不再確定。這也在一定程度上防止了“排座次”這種事件的發(fā)生。對于一個相對戰(zhàn)斗力較高的玩家而言，如果在平均攻擊力情況下可以剩下50 點血戰(zhàn)勝對手，在引入隨機性后，剩下 10 點血戰(zhàn)勝對手和剩下 100 點血戰(zhàn)勝對手是沒有區(qū)別的，但是一旦輸出較低，卻有可能輸?shù)舯荣悺Ｔ谶@里可以看到，由于攻擊力升高帶來的效果被弱化了，但是由于攻擊力較低帶來的效果卻被強化了，由于存在一定的隨機性會輸給戰(zhàn)斗力中等水平的玩家，因此在挑起 PK 中也就有所顧忌。因此隨機性在一定程度上是對弱者的保護。從信息論的角度看，由于隨機性使得先驗概率更加平均化了（從 100%勝利變成 60%勝利，40%失敗） ，因此也提高了戰(zhàn)斗結(jié)果的信息量。另外，它也使得千篇一律的游戲過程產(chǎn)生了