陜西師范大學(xué)高代復(fù)習(xí)

1、9一、基本概念復(fù)習(xí)1. 什么是正定矩陣？正定矩陣的性質(zhì)（至少說四條）？怎樣判定一個矩陣是正定矩陣？2. 線性空間的定義？基本性質(zhì)（至少說四條）？子空間定義？子空間的判定？3. 子空間交、和、直和定義？怎樣判定直和？關(guān)于子空間最重要的兩條性質(zhì)是什么？4什么是子空間的補(bǔ)及正交補(bǔ)的定義？兩者有什么區(qū)別和聯(lián)系？5生成子空間的定義？生成子空間的基、維數(shù)怎確定？寫出計(jì)算課本第270頁第18大題第1小題的步驟？6線性空間基、維數(shù)、坐標(biāo)的定義？寫出基坐標(biāo)及坐標(biāo)變換公式？過渡矩陣和可逆矩陣的關(guān)系？7的維數(shù)與一組基？中全體對稱、反對稱、上三角矩陣的維數(shù)分別是多少？維數(shù)是否和所考慮的數(shù)域有關(guān)？請舉例說明。8線性空間

2、同構(gòu)的定義？同構(gòu)的基本性質(zhì)（至少說四條）？9線性變換的定義？線性變換的常見運(yùn)算有幾個？線性變換的乘法是否可換？舉例說明？10線性變換與基像的關(guān)系？怎樣寫出線性變換在一組基下的矩陣？線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系？請寫出課本第322頁第7大題第6小題的步驟？11線性變換和矩陣的關(guān)系（至少說四條）？線性變換前后向量在一組基下坐標(biāo)的關(guān)系？12相似矩陣的定義？相似矩陣的性質(zhì)（至少說四條）？13線性變換及矩陣特征值和特征向量的定義？兩者有何區(qū)別和聯(lián)系？求線性變換特征值及特征向量的步驟？14線性變換的行列式、特征多項(xiàng)式的定義？矩陣特征值與矩陣跡、行列式的關(guān)系？15線性變換對角化的充要條件？線性變換特征值

3、的性質(zhì)？什么是Hamilton-Cayley定理？16. 給定具體線性變換，怎樣判斷它是否可對角化？請寫出步驟？17什么是冪零矩陣?寫出階冪零矩陣的特征多項(xiàng)式？跡？行列式？18線性變換的值域與核定義？怎樣計(jì)算值域及核？以課本第323頁第14大題為例說明？值域及核的維數(shù)的關(guān)系？值域與核的和是否是直和？為什么？19什么是冪等矩陣？冪等矩陣的特征值？實(shí)對稱冪等矩陣是否可對角化？能否取掉實(shí)對稱性？20什么是不變子空間？請寫出課本第326頁第25大題的步驟？21什么是若當(dāng)塊？什么是若當(dāng)形矩陣？22什么是矩陣？怎樣判斷矩陣的可逆性？把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟？23什么是矩陣的不變因子？行列式因子？怎樣求矩陣的

4、不變因子？24。設(shè)是階方陣？什么是的不變因子、行列式因子、初等因子？三者有何關(guān)系？的行列式因子有幾個？25階方陣與相似的充分必要條件？與是否相似？怎樣計(jì)算階方陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形？26. 什么是歐氏空間？解釋向量的長度、正交、夾角概念？什么是度量矩陣？度量矩陣與內(nèi)積有何關(guān)系？參見課本第393頁第1大題。27什么是正交向量組？有何性質(zhì)？什么是正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基？怎樣把無關(guān)向量組化為等價的標(biāo)準(zhǔn)正交基？28什么是歐氏空間的同構(gòu)?性質(zhì)（至少說四條）？是否能成為歐氏空間？和哪個歐氏空間同構(gòu)？29什么是正交變換？有限維正交變換的等價刻畫有幾條?正交變換都可逆嗎？為什么？證明或者舉例說明？30什么是正交矩陣？正交

5、矩陣的性質(zhì)？正交矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)嗎?為什么？上三角正交矩陣是否一定是對角矩陣？兩個實(shí)對稱矩陣與正交相似的充要條件？31什么是對稱變換？寫出對稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)仍是的不變子空間的步驟。什么是反對稱變換？寫出反對稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)仍是的不變子空間的步驟。32實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)？寫出實(shí)對稱矩陣正交相似于對角矩陣的步驟？33若且是實(shí)對稱矩陣，則對嗎？取掉是實(shí)對稱矩陣，結(jié)論還成立嗎？若但，能否對角化？ 如果是實(shí)對稱冪等矩陣，則相似于，對嗎？取掉實(shí)對稱，結(jié)論還成立嗎？34請寫出課本第393頁第5大題及第7大題的步驟？35請寫出證明課本第394頁第12大題的步驟？利用它證明秩（）=秩（）？

6、36請寫出證明課本第269頁第13大題的步驟？若，則的維數(shù)？37請寫出證明課本第394頁第10大題的步驟？38請寫出證明課本第322頁第10及11大題的步驟？39什么是數(shù)域上的多項(xiàng)式的友矩陣？的不變因子？二、填空題1.設(shè)和是線性空間的子空間, 則包含在和中的最大子空間是 。2在中,由基到基,的過度矩陣是 。3.設(shè)是中的一個線性變換，若關(guān)于基的矩陣為，那么關(guān)于基的矩陣為 。4. 已知矩陣的初等因子為，那么A的不變因子為_. 5設(shè)A為n級實(shí)對稱矩陣，且，為某一正整數(shù)，則A= 。6.在中,向量在基 下的坐標(biāo)為_。7. A是3階矩陣，的特征值是1，-1，2，則的特征值是_。8在中定義線性變換，,則的值

7、域?yàn)開。9設(shè)是實(shí)數(shù)，是正交矩陣，若也是正交矩陣，則 。10.設(shè)是關(guān)于矩陣的加 法與數(shù)乘構(gòu)成的實(shí)線性空間，則線性空間的維數(shù)等于 .11在中，在基下的坐標(biāo)是 .12已知3階矩陣的三個特征值為2，3，4，則的特征多項(xiàng)式.13已知2階方陣的特征值為3和1，它們對應(yīng)的特征向量分別為，則 .14在歐氏空間里，向量與向量的夾角為 .14（1） 已知為三階相似矩陣，為的特征值，行列式，則行列式= 。 (2) 設(shè)為階矩陣，其中為可對角化矩陣且滿足，則行列式= ； (3) 已知為三階可對角化矩陣，為其三個特征值，為的伴隨矩陣，則行列式= 。15 (1) 已知為三階相似矩陣，且，為的兩個特征值，則行列式= 。 (2

8、) 設(shè)三階實(shí)對稱矩陣有三個不同的特征值。所對應(yīng)的特征向量分別為，則所對應(yīng)的特征向量= 。15.在中,從基到基，的過渡矩陣是_. 2.在中，已知向量組，. 設(shè)，則的維數(shù)是 16. 在中定義線性變換，,則的核為_.17.已知3階矩陣的三個特征值為2，3，4，則的特征多項(xiàng) 式.18. 級矩陣的不變因子為_. 19已知3維歐氏空間中有一組基，其度量矩陣為，向量,則 = .三、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)和是線性空間的子空間，則下列集合不是的子空間的為( ). A + B. C. D. 2.設(shè)是數(shù)域P上線性空間的線性變換,和是的分別屬于特征值和的特征向量，那么 ( ).A 若與線性相關(guān)，則 B. 若與線性無關(guān), 則

9、 C 若,則與線性無關(guān) D. 若,則與線性相關(guān)3. 下列矩陣中的特征值一定為實(shí)數(shù)的矩陣為（ ）A. 可逆矩陣 B. 正交矩陣 C. 實(shí)對稱矩陣 D. 過渡矩陣 4.矩陣A有一個不變因子為，則下列結(jié)論正確的是 ( ).A. 相似與對角矩陣 B. 是退化矩陣C. 的初等因子都是的冪或的冪 D. 是非退化矩陣5. 設(shè)是n級實(shí)矩陣,則為正交矩陣的充要條件為( ).A. 矩陣的列向量組是的標(biāo)準(zhǔn)正交基 B. C. D. 矩陣的列向量兩兩正交. 6.下列的子集中是的子空間的為 。A. ,B. C. D. 7.設(shè)是n維線性空間，則上的線性變換全體組成的線性空間的維數(shù)為 。A. B. C. D. 8. 設(shè)為n階

10、矩陣，且，其中為正整數(shù)，則（ ）AA=0 B. A有一個不為零的特征值CA的特征值全為零 D. A存在n個線性無關(guān)的特征向量9.n級矩陣可逆的充要條件是( ).A. B. C. 是一個非零常數(shù) D 10.和矩陣正交相似的矩陣為A. B. C. D. .11設(shè)是線性空間的一個向量組，它是線性無關(guān)的充要條件為（ ）A任一組不全為零的數(shù)，都有；B.任一組數(shù)，有；C.當(dāng)時，有；D.任一組不全為零的數(shù)，都有。12.設(shè)是階矩陣，是的特征值，是的分別對應(yīng)于特征值的特征向量，則( )A.時，一定成比例； B.時，一定不成比例；C. 時，一定成比例； D.時，一定不成比例；13矩陣A與B相似的充要條件是 ( )

11、.A.特征多項(xiàng)式相同 B. 行列式相同 C. 特征值相同 D. 特征矩陣等價 14. 設(shè)是n維歐氏空間上的線性變換，在基下的矩陣為對稱矩陣A，則( ).A. 為對稱變換 B. 為可逆變換 C. 為正交變換D. 當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基時, 為對稱變換 15.設(shè)是維歐氏空間 ，那么中的元素具有如下性質(zhì)（ ）A.若； B. 若；C.若； D.若>16.設(shè)V是實(shí)數(shù)域上由矩陣的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的線性空間，其中，,則V的維數(shù)為( ).(1) (2)5 (3) 3 (4) 2 17.設(shè)n維線性空間的線性變換在某一組基下的矩陣為A,則A的秩( ).(1)等于的零度; (2) 小于的零度;(3) 等于的秩;

12、(4) 小于的秩.18. 矩陣A與B相似的充要條件是 ( ).(1)特征多項(xiàng)式相同 (2) 行列式相同 (3) 特征值相同 (4) 特征矩陣等價。19. 設(shè)是n維歐氏空間上的線性變換，在基下的矩陣為對稱矩陣A，則( ).(1) 為對稱變換 (2) 為可逆變換(3)當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基時, 為對稱變換 (4) 為正交變換. 四、計(jì)算題1.設(shè)是四維線性空間的一組基，已知線性變換在這組基下的矩陣為，(1) 求線性變換在基,下的矩陣；(2) 求的核與值域.2. 求矩陣A=的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.3.設(shè)是5維歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，其中，,求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。4設(shè) ，求的特征值與特征向量. 5.求齊次線性方程組的解空

13、間（作為的子空間）的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。6已知的兩組基及.(1)求由基到基的過度矩陣；（2）求對于基的坐標(biāo).7求正交矩陣使得成對角形，其中8.設(shè)為三階實(shí)對稱矩陣，且存在可逆矩陣，使得，又的伴隨矩陣有特征值，所對應(yīng)的特征向量為（1）求的值； （2）計(jì)算；（3） 計(jì)算行列式。9設(shè)為階矩陣，秩。證明：（1）為相同的特征值；（2）與的基礎(chǔ)解系組成的向量組線性相關(guān)；（3）具有公共的特征向量。10. 設(shè)為三階方陣，有三個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，令.(1)證明不是的特征向量; (2) 證明線性無關(guān);(3)若,計(jì)算行列式,其中是三階單位矩陣。11已知中線性變換在基，下的矩陣是，求在基，下的矩陣.12求矩陣A=的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.13 設(shè)矩陣，求正交矩陣T,使成對角矩陣。五、證明題1.設(shè)都是向量空間的子空間，其中且，.證明：.2.設(shè)是數(shù)域上向量空間的一個線性變換，并且滿足條件，證明：（1） （2）3設(shè)是n維線性空間V的兩個子空間, 且.證明:是子空間 4設(shè)