數(shù)列的極限知識點 方法技巧 例題附答案和作業(yè)題

1、數(shù)列的極限一、知識要點1數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)（即|ana|無限地接近于0），那么就說數(shù)列以為極限記作（注：a不一定是an中的項）2幾個重要極限： （1） （2）（C是常數(shù)）（3）（4）3. 數(shù)列極限的運算法則:如果那么4無窮等比數(shù)列的各項和公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項的和，當(dāng)n無限增大時的極限，叫做這個無窮等比數(shù)列各項的和，記做二、方法與技巧只有無窮數(shù)列才可能有極限，有限數(shù)列無極限.運用數(shù)列極限的運算法則求數(shù)列極限應(yīng)注意法則適應(yīng)的前提條件.（參與運算的數(shù)列都有極限，運算法則適應(yīng)有限個數(shù)列情形）求數(shù)列極限最后往往轉(zhuǎn)化為或型的極限.

2、求極限的常用方法：分子、分母同時除以或.求和（或積）的極限一般先求和（或積）再求極限.利用已知數(shù)列極限（如等）.含參數(shù)問題應(yīng)對參數(shù)進行分類討論求極限.,00,等形式，必須先化簡成可求極限的類型再用四則運算求極限題型講解 例1 求下列式子的極限：； ； ； ; （2） （n）;（3）（+）例2 的（ ）A 充分必要條件 B 充分不必要條件 C 必要不充分條件 D 既不充分又不必要條件例3 數(shù)列an和bn都是公差不為0的等差數(shù)列，且=3,求的值為 例4 求 （a>0);例5 已知,求實數(shù)a,b的值;例6 已知等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,且有（qn）=,求a1的取值范圍例7 已知數(shù)列a

3、n是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a13，且滿足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)（1）求數(shù)列an的通項公式及前n和Sn；（2）求的值數(shù)列極限課后檢測1下列極限正確的個數(shù)是（ ）=0（0） qn=0 =1 C=C（C為常數(shù)）A2B3 C4 D都不正確3下列四個命題中正確的是（ ）A若an2A2，則anA B若an0，anA，則A0C若anA，則an2A2 D若（anb）0，則anbn5若數(shù)列an的通項公式是an=,n=1,2,則 （a1+a2+an）等于（ ） A B C D6數(shù)列an中,的極限存在，a1=,an+an+1=,nN*,則（a1+a2+an）等于（ ）A B C D7=

4、_ =_ n（1）（1）（1）（1）= 8已知a、b、c是實常數(shù)，且=2, =3,則的值是（ ）9 an中a1=3，且對任意大于1的正整數(shù)n,點（,）在直線xy=0上，則=_10等比數(shù)列an公比q=,且（a1+a3+a5+a2n1）=,則a1=_11已知數(shù)列an滿足（n1）an+1=（n+1）（an1）且a2=6,設(shè)bn=an+n（nN*）（1）求bn的通項公式；（2）求（+）的值12已知an、bn都是無窮等差數(shù)列,其中a1=3,b1=2,b2是a2與a3的等差中項,且 =,求極限 （+）的值例題解析答案例1 分析：的分子有界，分可以無限增大，因此極限為0； 的分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為兩首

5、項(最高項)系數(shù)之比； 的分子次數(shù)小于于分母次數(shù)，極限為0 解：； ； 點評：分子次數(shù)高于分母次數(shù)，極限不存在；分析:（4）因為分子分母都無極限，故不能直接運用商的極限運算法則，可通過變形分子分母同除以n2后再求極限；（5）因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；（6）因為極限的運算法則只適用于有限個數(shù)列，需先求和再求極限解:（1）=（2） （n）= =（3）原式=（1+）=1點評：對于（1）要避免下面兩種錯誤：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式無極限對于（2）要避免出現(xiàn)下面兩種錯誤：（n）= n=0;原式=n=不存在對于（3）要避免出現(xiàn)原式=+=0+0+0=0這樣

6、的錯誤例2 B例3 數(shù)列an和bn都是公差不為0的等差數(shù)列，且=3,求的值為解：由=3Þd1=3d2 ，= 點評：化歸思想例4 求 （a>0);解：=點評：注意分類討論例5 已知,求實數(shù)a,b的值;解：=1， Þa=1,b=1例6 已知等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,且有（qn）=,求a1的取值范圍解: （qn）=,qn一定存在0|q|1或q=1當(dāng)q=1時，1=,a1=3當(dāng)0|q|1時，由（qn）=得=,2a11=q0|2a11|10a11且a1綜上,得0a11且a1或a1=3 例7 已知數(shù)列an是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a13，且滿足lganlgan1lgc，其中n是

7、大于1的整數(shù)，c是正數(shù)（1）求數(shù)列an的通項公式及前n和Sn；（2）求的值解:（1）由已知得an·an1,an是以a13，公比為c的等比數(shù)列，則an3·n1Sn（2） 當(dāng)c=2時，原式;當(dāng)2時，原式;當(dāng)02時，原式=點評：求數(shù)列極限時要注意分類討論思想的應(yīng)用試卷解析1 答案:B3解析:排除法，取an（）n，排除A；取an，排除；取anbnn，排除D答案:C5 解析:an=即an=a1+a2+an=（21+23+25+）+（32+34+36+）（a1+a2+an）=+=答案:C6 解析:2（a1+a2+an）=a1+（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+（an1+a

8、n）+an=+an原式=+an=（+an）an+an+1=,an+an+1=0an=0 答案:C7 解析:原式=0 = 解析: n（1）（1）（1）（1）=n×××××=2 答案:C8解析: 答案:D 由=2,得a=2b由=3,得b=3c,c=b=6= =69析:由題意得= （n2）是公差為的等差數(shù)列，=+（n1）·=nan=3n2=310析:q=, （a1+a3+a5+a2n1）=a1=211 解:（1）n=1時，由（n1）an+1=（n+1）（an1）,得a1=1n=2時，a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2要證bn=2n2,只需證an=2n2n當(dāng)n=1時，a1=2×121=1成立假設(shè)當(dāng)n=k時，ak=2k2k成立那么當(dāng)n=k+1時，由（k1）ak+1=（k+1）（ak1）,得a k+1=（ak1）=（2k2k1）=（2k+1）（k1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2（k+1）當(dāng)n=k+1時，an=2n2n正確，從而bn=2n2（2）（+）=（+