高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題復(fù)習(xí)

1、圓錐曲線一、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.方程的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.點(diǎn)與曲線的關(guān)系若曲線C的方程是f(x,y)=0 ，則點(diǎn)P0(x 0,y 0)在曲線C上 f(x。/ 0)=0 ;點(diǎn) P0(x0,y 0)不在曲線 C上 f(x 0,y 0) wo兩條曲線的交點(diǎn)若曲線G, G的方程分別為fi(x,y)=0,f 2(x,y)=0,則fi(x 0,y 0)=0r點(diǎn)P0(

2、x0,y0)是Ci, C2的交點(diǎn)f' 2(x 0,y 0) =0方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有 n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線 就沒(méi)有交點(diǎn).-4 -2.圓圓的定義：點(diǎn)集：M| | OM| 二r,其中定點(diǎn)。為圓心，定長(zhǎng)r為半徑.圓的方程:(1)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在c(a,b),半徑為r的圓方程是(x-a) 2+(y-b)2=12圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 r的圓方程是x2+y2=r2(2) 一般方程當(dāng)D2+E2-4F >0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為心,一 1),半徑是也丁配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+ D)2

3、+(y+ E)2=22D2E2 -4F4.22當(dāng)D+E-4F=0時(shí)，萬(wàn)程表布一個(gè)點(diǎn)U請(qǐng));當(dāng)D2+E2-4FV0時(shí)，方程不表示任何圖形點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y 0),I MC| v r 點(diǎn)M在圓C內(nèi)，| MC| =r 點(diǎn)M在圓C上，| MC| >r 其中 I MCI =. (x°-a)2 (y0-b)2.(3)直線和圓的位置關(guān)系直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相離沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式法的大小關(guān)系來(lái)判Aa Bb C(ii) 利用圓心 C(a,b)到

4、直線Ax+By+C=0的距離d=,與半徑r,A2B23.橢圓、雙曲線和拋物線基本知識(shí)曲質(zhì)橢圓雙曲線拋物線軌跡條件M | | MF | + | MF | =2a, | F1F2 | v 2aM | | MF | - | MF | .= ±2a, | F2F2 | > 2a.M | MF| 二點(diǎn) M 到直線l的距離.圓形*71.1* i« -b,J標(biāo)準(zhǔn)方程222- + 2-= =1(a > b > 0) a b222 - -2- =1(a > 0,b >0) a by2=2px(p > 0)頂點(diǎn)Ai(-a,0),A2(a,0);Bi(0,-b

5、),B2(0,b)A(0,-a),A 2(0,a)O(0,0)軸對(duì)稱軸x=0,y=0長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a短軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸x=0,y=0實(shí)軸長(zhǎng)：2a虛軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸y=0住 日Fi（-c,0）,F 2（c,0）焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上Fi（-c,0）,F2（c,0）焦點(diǎn)在實(shí)軸上f（£ , 0） 2焦點(diǎn)對(duì)稱軸上焦距I F1F2 | =2c, c= Ja2 - b2I F1F2 | =2c, c= Ja2 b2準(zhǔn)線2. a x=±c準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在 橢圓外.2. a x=±c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩 頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=衛(wèi) x2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.離心率e= c,

6、0 < e< 1 ae= - ,e > 1 ae=14 .圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e >0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線 l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率.當(dāng)0vev1時(shí)，軌跡為橢圓，當(dāng) e=1時(shí)，軌跡為拋物線當(dāng)e>1時(shí)，軌跡為雙曲線5 .坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換 (如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做 坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改 變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程

7、.坐標(biāo)軸的平移坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱移軸坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn) M它在原坐標(biāo)系 xOy中的坐標(biāo)是9x,y),在新坐 標(biāo)系x ' O' y'中的坐標(biāo)是(x ' ,y ').設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn) O在原坐標(biāo)系 xOy中的坐標(biāo)是 (h,k),則x=x' +hx' =x -h(1) 或(2) 1 y=y' +ky' =y -k公式或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見(jiàn)下表.方程住 日焦線對(duì)稱軸橢圓(x -h)2 +(y-k)2

8、2.2ab(± c+h,k)2x=± +h cx=hy=k(x-h)2 +(y-k)2,22ba(h, ±c+k)2y=± - +k cx=hy=k雙曲線22(x -h) (y - k) _12,2ab(± c+h,k)2工a =+k cx=hy=k22(y-k)(x-h)2.2ab(h, ±c+h)y=± +k cx=hy=k拋物線(y-k) 2=2p(x-h)(p +h,k)x= - +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-+h,k)2x=1+hy=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,-p +k)y=- *+kx

9、=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,- y +k)y寸+kx=h二、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示( 一 ) 曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點(diǎn)說(shuō)明 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn) . 特別是在求出方程后要考慮化簡(jiǎn)的過(guò)程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 出的曲線方程才能準(zhǔn)確無(wú)誤 . 另外，要求會(huì)判斷 曲線間有無(wú)交點(diǎn)，會(huì)求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) .三、 考綱中對(duì)圓錐曲線的要求：考試內(nèi)容：. 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 橢圓的參數(shù)方程；. 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；考試要求：. (1

10、)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (3)掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。四 對(duì)考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3 題 (1 個(gè)選擇題 , 1 個(gè)填空題 , 1 個(gè)解答題 ), 共計(jì) 22 分左右 , 考查的知識(shí)點(diǎn)約為 20 個(gè)左右 . 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn) , 全面考查 . 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)為主, 難度在中等以下， 一般較容易得分， 解答題常作為數(shù)學(xué)高考中的壓軸題，綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類(lèi)討論

11、、邏輯推理等諸方面的能力，重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn) , 通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 , 往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解，在復(fù)習(xí)應(yīng)充分重視。- 5 -求圓錐曲線的方程【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查識(shí)圖、畫(huà)圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn) 化、分類(lèi)討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類(lèi)問(wèn)題，除要求熟練掌握好 圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對(duì)稱問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類(lèi)問(wèn)題常用定義法和待定系數(shù)法般求已知曲線類(lèi)型的曲線方程問(wèn)題，可采用先定形，后定式，再定量 ”的步驟.-38 -

12、定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置定式根據(jù) 形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用， 如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=i(m>0,n>0).定量一心題設(shè)中的條件找到我”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到量的大小22【例i】 雙曲線上 %=i(be N)的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi、F2, P為雙曲線上一點(diǎn),4 b“|OP|<5,|PFi|,|FiF2|,|PF2成等比數(shù)列，則 b2= 解：設(shè) Fi(c,0)、F2(c,0)、P(X,y),則 |PFi|2+|PF2|2=2(|PO|2+|FiO2) v 2(52+c2), 即 |PFi|2+|PF2

13、250+2c2,又|PFi|2+|PF2|2=(|PFi|_ |pf2|)2+2|pfi| PF2|, 依雙曲線定義，有|PF i| |PF2|=4,依已知條件有 |PFi| |PF2|=|FiF2|2=4c2i6+8c2< 50+2C2c2< 17,3 ,又 c2=4+b2< - ,.-. b2< 5,.- b2=i 33【例2】已知圓G的方程為x2 2 y i 2 20 ,橢圓C2的方程為32 y b2b 0 , C2的離心率為22.，如果Ci與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段 AB恰2為圓G的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由e設(shè)橢圓方程為2 c, 4 2

14、c,竹一2a22口 J222b b設(shè) A(Xi, yi).B(X2, y2)由圓心為(2,1).XiX224,yi y2又江江2b2b22i,其2b22.2士2i,b222 o 2 . 2,a 2c , b22222兩式相減，得 Jxi匕產(chǎn)0. 2bb2(% X2)(Xi X2) 2( 0 y2)(yiV2) 0,又 Xi X2 4.yi y2 2得1.Xi X2直線AB的方程為y i (x 2).即yx 322將yx 3代入' qi,得2b2 b2223x2 i2x i8 2b20.2直線AB與橢圓C2相交.24b2 72 0.24b2 723由 AB J2 Xi X2| J2j(x

15、i X2)2 4xiX222解得 b2 8.故所有橢圓方程二2 i.i6 8【例3】 過(guò)點(diǎn)（i, 0）的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上且離心率為 3 的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=1x過(guò)線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓 C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于2直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程.2.2/解法一：由 e= - J ,得 a-7 一，從而 a2=2b2,c=b.a 2a22設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2 b2,A(xi ,yi),B(X2,y2)在橢圓上.則 Xi2+2yi2=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(xi2-X22)+2(yi2-y22)=0, yXi X2Xi X22(

16、 yi y2)設(shè) AB 中點(diǎn)為(xo,yo),則 kAB=,又(xo,yo)在直線 y=；x 上，yo=(xo,于是-Xo- = i,kAB= i, 2yo設(shè)l的方程為y=-x+i.右焦點(diǎn)(b,o)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x'y；),上1則x b解得xy x by 1229 c 9由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得 1+2(1b)2=2b2,b2= ,a2 -. 1682.所求橢圓C的方程為8x y2 =1,l的方程為y= x+1.99-2.2.解法二：由e=± d，得a 2bL從而a2=2b2,c=b.a 2a22設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1), 將l

17、的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k2 2b2=0,2kZ21 2k212k22 1 2k24k則 x1+x2=2- ,y1+y2=k(x1一 1)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k=一1 2k直線l： y= 即(x1+2x2)2一 (x1一 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2 x過(guò)AB的中點(diǎn)(xx2,1y2),則 ky2221 2k2解得k=0,或k= 1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上, 所以k=0舍去，從而k= 1,直線l的方程為y= (x1)，即y= x+1，以下同解法22解法3:設(shè)橢圓方

18、程為勺冬1(a b 0)a2b21.直線l不平彳T于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線y萬(wàn)x過(guò)AB中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線l的方程為y k(x 1) (2)代入消y整理得:2 2(k a,22b )x2k222, 22, 2a x a k a b0(3)設(shè)A(x1，y1) B(x2y2)，知：x1x2 2 22k ab2又y1 丫2 k(x1x2 )2k代入上式得:2kk x1x22k2kb2 k .2b2k-2"a2(a22 ac2)2e2直線l的方程為y此時(shí)a2 2b2方程(3)化為3x24xi 2 -4 一 ，2b0,16 24(1b2)一，, 2、一8(3b1) 0b2b2 ,橢圓

19、C的方程可寫(xiě)成：x2 2y2 2b2 (4),又c2 a2右焦點(diǎn)F (b,0),設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)(x°, y°),Vo則 x0 bXo1, Vo 1 b,Vo 1 xo b22又點(diǎn)(1,1 b)在橢圓上，代入得：1 2(1 b) 2b* 2,b -,432929b , a - 16822所以所求的橢圓方程為：土2199816【例4】如圖,已知 P1OP2的面積為巴,P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直4線0P1、0P2為漸近線且過(guò)點(diǎn)P的離心率為 93的雙曲線方程.解：以。為原點(diǎn)，/ P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系設(shè)雙曲線方程為2=1(a>

20、o,b>o) b22由 e2= cr2 a2 xa2,得 b 9a 2.兩漸近線op1、0P2 方程分別為 y= 3 x y= - - x 2233設(shè)點(diǎn) P1(x1, - x1),P2(x2,- - x2)(x1> o,x2>o),則由點(diǎn)P分RP；所成的比=空=2, PP2得P點(diǎn)坐標(biāo)為（32x2 X1 2x2又點(diǎn)P在雙曲線32 x 2" a,2所以(x1 2X2) 9a2(x124y2.-2-=1 上, 9a_£=1 c 2,9a），又 |OR |292x1x14sin P1OF22 tan P Ox1 tan2 P|OxJ3x1,|0P|2 j 12d

21、91314x2292-x24. 13x22S P10P21八八八& | OF1110P2 | sin F1OF213一 “x?41213274由、得a2=4,b2=922故雙曲線方程為上=1.49【例5】過(guò)橢圓2C: -y-2 a2K 1(a b 0)上一'動(dòng)點(diǎn)P引圓O： x2 +y2 =b2的兩條切線 b2PA、PB, A、B為切點(diǎn)，直線AB與x軸，y軸分別交于 M、N兩點(diǎn)。(1)已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(xo, y0 )并且X0y0W0,試求直線 AB方程；(2)若橢圓的短軸長(zhǎng)為22 OR8,并且a25 ,求橢圓 C的萬(wàn)程；(3)橢圓C上| OM |2 |ON |216是否存在點(diǎn)P,

22、由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)設(shè) A(Xi, y1), B(x2, y2)切線 PA: x1x y1y b2 , PB: x2x y2y b2P 點(diǎn)在切線 FA、PB 上，xiXo yy0,2.2bx2xoy2yo b直線 AB 的方程為 x0x y0y b2(x0y0 0)(2)在直線AB方程中，令2y=0,貝U M( , 0)；令 x=0,貝U N(0 xoyo2, 22222ab ay°x0a25222(2)2| OM |2|ON|2 b2a2b2b2162b=8b=4 代入得 a2 =25, b2 =1622橢圓C方

23、程：y 1(xy 0)(注：不剔除xyw0,可不扣分)25 16 假設(shè)存在點(diǎn) P(x。，y。)滿足PAXPB,連接OA、OB 由 |PA|=|P B| 知,四邊形PAOB為正方形，|OP|二 J2|OA|-222 x°y0 2b 又.P點(diǎn)在橢圓C上a2x2 b2y2 a2b2222、2. 2由知x0 b .22b ), ya ba ba>b>0a2 b2>0當(dāng)a2-2b2>0,即a>*5b時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直;(2)當(dāng)a2-2b2<0,即b<a<J2b時(shí)，橢圓C上不存在滿足條件的 P點(diǎn)例6已知橢圓C的焦點(diǎn)是F

24、i ( J3, 0)、F2 (J3, 0),點(diǎn)Fi到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為匣，過(guò)F2點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線3l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，使得|F2B|二3|F 2A|.(1)求橢圓C的方程；(2)求直線l的方程.解：(1)依題意，橢圓中心為 O (0, 0), c 33點(diǎn)Fi到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 b1 向 b2 % V3 1，c3a2=b2+c2=1+3=42.所求橢圓方程為士 y2 14垂足分別為M、N.由橢圓第二定義,得 LAF2J e | AF2 | e| AM | AM |,AN± l同理 |BF2|二e|BN|由 RtAPAM- RtA PBN,彳# | PA |1C八一| AB

25、| 2 | F2 A | 2e | AM | 9 分 2cos PAM|AM |11-.3TPAT 2e ,3 三2 2l 的斜率 k tan PAM & .，直線l的方程y V2(x亮)即 2x y 6 0(2)設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線l與l交于點(diǎn)P,作AM，l【例7】已知點(diǎn)B( 1,0),C (1, 0), P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PC|BC| PB CB.(1)求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；(2)已知點(diǎn)A (m,2)在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE,且ADXAE,判斷： 直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論 .(3)已知點(diǎn)A (m,2)在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD, AE

26、,且AD, AE的斜率k1、 k2滿足k1 k2=2.求證：直線 DE過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn) 解：(1)設(shè) P(x，y)代入 | PC | | BC | PB CB得 J(x 1)2 y2 1 x，化簡(jiǎn)得 y2 4x.(2)將A(m,2)代入y2 4x彳導(dǎo)m 1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).設(shè)直線AD的方程為y 2 k(x 1)代入y2 4x,得y2 -y 8 4 0, k k444由 yi2 可得 y2 2, D(= 1- 2).kk2k同理可設(shè)直線AE:y 2- (x 1),代入y2 4x得E(4k2 1,4k 2).k-4k則直線DE方程為：y 4k 2氣一 (x 4k 2 1),化簡(jiǎn)得k2

27、 4k 2k2(y 2) k(x 5) (y 2) 0, 、_一k, 、 >即y 2一 (x 5),過(guò)定點(diǎn)(5, 2).k2 1(3)將 A(m,2)代入 y2 4x得m 1,設(shè)直線 DE 的方程為 y kx b,D(x1,y1),E(x1,y1),y kx b,)由2得k2x2y 4x一 一 2_2(kb 2)x b2 0,y1 2 y2 22,2一 -y2一2(221),x1 1 x2 1且y1 kx1 b, y2 kx2 b2、，一 ,、，(k 2)x*2 (kb 2k 2)(x1洛2(kb 2)b2府 K x2 2,x1x2k2k2b (k 2).將bk2代入ykxb彳導(dǎo)ykx將

28、b2k代入ykx京導(dǎo)ykx定點(diǎn)為(1, 2)2【例8】已知曲線合2 aB (0, b)兩點(diǎn)，原點(diǎn)。到l2(2) (b 2)2 0,代入化簡(jiǎn)得b2 (k 2)2, b (k 2).k2k(x1)2,過(guò)定點(diǎn)(1, 2).2kk(x1)2,過(guò)定點(diǎn)(1,2),不合，舍去，二 1(a 0,b 0)的離心率e"，直線l過(guò)A (a, 0)、 b23.3.2(I )求雙曲線的方程;(n)過(guò)點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，若OMON 23 ,求直線m的方程.解：(I)依題意，1方程冬-y- a b為啦，得 ab ab 332.a2 b2 c 22故所求雙曲線方程為工y2 131,即bx ay ab

29、0,由原點(diǎn)。到l的距離又e c 21b 1,a.3a 3(n)顯然直線m不與x軸垂直，設(shè)m方程為y=kx- 1,則點(diǎn)M、N坐標(biāo)(x1，y1)、(X2, y2)是方程組y kx 1的解消去 y,得(1 3k2 所求的橢圓方程為1. 94 (2)方法 由題知點(diǎn)D、M、N共線，設(shè)為直線 m,當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)為 k,則直線m的方程為y = k x +3代入前面的橢圓方程得 (4+9k 2) x2 +54 k +45 = 0 由判別式 (54k)2 4 (4 9k2) 45 0 ,得 k2 5. 再設(shè) M (x 1 , y 1 ), N ( X2 , y2),則一方面有DM(X1* 3) DN(

30、X2,y2 3) ( X2, (y2 3),得)x2 6kx 6 02依設(shè)，1 3k 0,由根與系數(shù)關(guān)系，知XiX26k6-72, xi X2-723k 1 3k 1OM ON (X1,y1)(X2,y2) X1X2 y1y2x1x2(kx1 1)(kx2 1)22=(1 k )x1x2 k(x1x2) 1 = 6(1 k ) 6k3k2 1 3k2 13k2 16.1OM ON23z- 1=-23, k=± 3k2 121當(dāng)k=± 1時(shí)，萬(wàn)程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根2故直線I方程為y 1x 1,或y -x 12222【例9】 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線 匕 1的兩個(gè)焦點(diǎn)23FF2的距離

31、之和為定值,1且 cos F1PF2的最小值為 一.9(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若已知 D(0,3) , MN在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上且DMDN ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：(1)由已知可得:、.5a2 a2 (2c)22a22222a 9 , b a c 4x1x2yi3(V2 3)另一方面有Xi X254k452 , XiX24 9k24 9k將XiX2代入式并消去X 2可得32444362-2 9 ,由刖面知， 0 - 一5（1） kk 59324 281,解得 15.5（1）255又當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，不難驗(yàn)證： 1或 55所以15為所求。5方法二：同上得X1X2yi3(y23)設(shè)點(diǎn) M

32、 (3cos a , 2sin a ), N (3cos 3 ,2sin 3 )則有cos cos2sin 3(2 sin 3)由上式消去a并整理得13 2185 ,十sin 2, 由于 1 sin 112()1 13一218一5 1 ,解得15為所求.12()5方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)D的距離的最大值為 5,最小值為1.進(jìn)而推得的取值范圍為15。5【求圓錐曲線的方程練習(xí)】一、選擇題1 .已知直線 X+2y3=0與圓X2+y2+X 6y+m=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OPXOQ,則m等于（）A.3B.-3C.1D.-12 .中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為（0, ±5四）的

33、橢圓被直線3X-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫 ，, ， 1 一，一、一一， 坐標(biāo)為1 ,則橢圓方程為（）2_ 2_ 2八 2x22y2.A.-1257522x yC. 一 -125 75B.至75x2D.-75宜1252匕125二、填空題3 .直線l的方程為y=x+3，在l上任取一點(diǎn)P,若過(guò)點(diǎn)P且以雙曲線12x2 4y2=3的焦點(diǎn)作 橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為 .4 .已知圓過(guò)點(diǎn)P(4, 2)、Q(1, 3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為 4/3,則該圓的方程為.三、解答題5 .已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為 F, M是橢圓上的任意 點(diǎn)，|MF|的最大值

34、和最小值的幾何平均數(shù)為2,橢圓上存在著以 y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn) M1和M2,I且|M1M2|=W0 ,試求橢圓的方程.6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng).2x-2 a7.已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=20，橢圓C2的方程為32J2三"=1(a> b> 0), C2的離心率為-，如果C1與C2相交于A、b22B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線 AB的方程和橢圓 C2的方程.參考答案一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,得(3 2y)2+y2+(3 2y)+

35、m=0.整理得 5y220y+12+m=0,設(shè) P(xi,yi)、Q(X2,y2)12 m yiy2=,yi+y2=4.5又二 P、Q在直線x=3 2y上,xix2=(3 2yi)(3 2y2)=4yiy2 6(yi +y2)+9故 yiy2+xix2=5yiy26(yi+y2)+9= m 3=0 ,故 m=3.答案：A222.解析：由題意，可設(shè)橢圓方程為：22 。=i,且a2=50+b2,a b22即方程為_(kāi)y_ A_=i.50 b2 b2將直線3xy 2=0代入，整理成關(guān)于 x的二次方程.由 xi+x2=i 可求得 b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求橢圓的焦點(diǎn)為Fi( 1,

36、0),F2(1,0),2a=|PFi|+|PF2|.l上找一點(diǎn)P.使|PFi|+|PF2|最小，利用對(duì)稱性可解.欲使2a最小，只需在直線22答案：二匕=1544.解析：設(shè)所求圓的方程為2(4 a) ( 2 b) 則有(1 a)2 (3 b)：|a |2 (2 3)2 r2(x a)2+(y b)2=r22ab2 r13ab2 r27由此可寫(xiě)所求圓的方程 答案：x2+y2 2x 12=0 或 x2+y210x8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a c,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,22，b2=4,設(shè)橢圓方程為三工1a24設(shè)過(guò)Mi和M2的直線方程為y= - x+

37、m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m2 4a2=0設(shè) Mi(xi,yi)、M2(x2,y2),MiM2 的中點(diǎn)為(x0,y0),21 ,、 a mx0= - (xi + x2)=242代入y=x,得-a-4 a,y0= xo+ m=a4m/2 ,4 a4m4 a2由于 a2>4,，m=0,，由知 Xi+x2=0,xix2=-4a22a又|MiM2|= . 2 (x1 x2)2 4x1 x24.103代入xi+x2,xix2可解a2=5,故所求橢圓方程為:=i.6.解：以拱頂為原點(diǎn)，水平線為 x軸，建立坐標(biāo)系,如圖，由題意知，|AB|=20, |OM|=4, A、B 坐標(biāo)分別為(

38、10, 4)、(10, 4)設(shè)拋物線方程為 x2= 2py,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得 100= 2pX4),解得p=12.5,于是拋物線方程為 x2=-25y.由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4), E '點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2,將2代入得y=0.16，從而 |EE' |=(0.16) ( 4)=3.84.故最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)應(yīng)為3.84米.2227.解：由e=匚,可設(shè)橢圓方程為 J =1,22b2故所求橢圓方程為-匕=1.168b2又設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2),則 x1+x2=4,y+y2=2,2222又三，1,丹冬=1,兩式相減，得2bb 2bb2 x12 x22b222y1y22- =0,

39、b即(Xi+x2)(xi x2)+2(y1+y2)(y1 y2)=0.化簡(jiǎn)得y-y2 = 1,故直線AB的方程為y=-x+3, Xi X2.230代入橢圓方程得3x2 12x+18 2b2=0.有 A=24b272>0,又伊8|=45r1x2)2 4x1x2得跖,%g0 ,解得b2=8.19'1 3直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置 關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較 高，起到了拉開(kāi)考

40、生 檔次”，有利于選拔的功能.1 .直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2 .當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用筆達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用 弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用 差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn) 坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q,且OPOQ, FQF、10 ,求橢圓方程.解：設(shè)橢

41、圓方程為 mx2+ny2=1(m>0,n> 0), P(xi,yi),Q(x2,y2)y x 1由 22得(m+n)x2+2nx+n1=0,mx ny 134n2 4(m+n)(n1) >0,即 m+n mn>0,由 OPOQ所以 x1x2+y1y2=0，即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,2(n 1) 2n +1=0, m+n=2 m n m n又 2 4(m n mn)m n呼)2,將m+n=2,代入得m n= 34由、式得 m= ,n= 或 m= ,n= 一2222故橢圓方程為 工+3y2=1或"3*2y2=1.2222【例2】如圖所示，拋物線y2=

42、4x的頂點(diǎn)為O,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5, 0),傾斜角為一的4直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)?；螯c(diǎn)A)且交拋物線于 時(shí)直線l的方程，并求 4AMN的最大面積.M、N兩點(diǎn)，求4AMN面積最大解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5vmv 0.y x mcc由方程組 2，消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 y 4x直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N,，方程的判別式A=(2m 4)2 4m2=i6(1 - m)>0,解得mv 1,又一5v mv 0,，m的范圍為(一5, 0)設(shè) M (Xi,yi),N(X2,y2)則 xi+x2=4 2m, xi X2=m2,|MN|=4 2(1 m).點(diǎn)A到直

43、線l的距離為d=5-=m.、2SJa =2(5+ m) hm，從而 Sa2=4(1 m)(5+m)22 2m 5 m 5 m ,=2(2 2m) (5+m)(5+m) < 2()3=128.3 SzW8j2，當(dāng)且僅當(dāng)2 2m=5+m,即m= 1時(shí)取等號(hào).故直線l的方程為y=x-1, AAMN的最大面積為8匹.【例3】 已知雙曲線C: 2x2y2=2與點(diǎn)P(1, 2)。(1)求過(guò)P(1, 2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。(2)若Q(1, 1),試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1, 與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)

44、l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l的方程為y-2=k(x-1), 代入C的方程，并整理得(2- k2)x2+2(k2- 2k)x- k2+4k- 6=0( *)(i )當(dāng)2k2=0,即k=±J2時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)(ii )當(dāng) 2 k2w 唧 kw 22 時(shí)& 2(k22k) 24(2k2)(k2+4k6)=16(3 2k)當(dāng)占0,即3 2k=0,k=£時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)A> 0,即kv 3，又kw±5，故當(dāng)k<- v'2或石vkv J2或v,2 <k< -時(shí)，方程(*)22有兩不等實(shí)

45、根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)AV 0,即k> 2時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=±J2，或k=_3 ,或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)； 2當(dāng)V2 v k< 2成22 v k< 22.，或kv 夜時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k> 3時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn).2(2)假設(shè)以 Q 為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為 AB,且 A(xi,yi),B(X2,y2),則 2xi2y12=2,2x22y22=2 兩式相減得：2(xi X2)(xi+X2)=(yi y2)(yi +y2)又 xi+x2=2,yi+y2=22(xi x2)=yi yi即kAB="上=2xi x2

46、但漸近線斜率為±72,結(jié)合圖形知直線 AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是Fi( 4, 0)、F2(4, 0),過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,且|FiB|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點(diǎn) A(xi,yi),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.Jly(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；x(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為 y=kx+m, 求m的取值范圍.解：由橢圓定義及條件知，2a=|FiB|+|F2B|=10，得a=5, 又 c=4,所以 b= va2 c2

47、=3.22故橢圓方程為x L=1.25 » X:，曷心率為4,根259(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=9 .因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為5據(jù)橢圓定義，有4 25 冽=5(丁4 25-x1),|F2C|=-(T-x2),由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(空一xi)+ - ( x2)=2 秘,由此得出：xi+X2=8. 5 45 45設(shè)弦 AC 的中點(diǎn)為 P(xO,y0),貝(J xo= " 2 x2 =4.(3)解法一：由 A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上. 22得 9xi 2509 25' 一 2 一 2 一 一9x22

48、5 y29 25一得 9(x12x22)+25(y12y22)=o,即 9X(x1x2) 25(1一y2) Cy1一y2)=o(x1 歡2)22x1x2收 x1x2v / y1y2怡xo 4,22y1y2yo,xx21一 ， r-(kw球入上式，得1 9>4+25yo(- - )=0()25.即k= 一 yo(當(dāng)k=o時(shí)也成立).36所以由點(diǎn)P(4, yo)在弦AC的垂直平分線上，得yo =4k+ m,m=yo-4k=yo-2516yo=- yo.由點(diǎn)得一v yov 所以-1616P(4, yo)在線段BB舊與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部,解法二：因?yàn)橄?AC的中點(diǎn)為P(4,yo),所以直線A

49、C的方程為1y yo= - - (x 4)(kw O) k22將代入橢圓方程 工=1,得259(9 k2+25) x2 5。( kyo+4) x+25( kyo+4)2 25 X9k2=o所以 x + x2= 5"，O_4 =8，解得 k=25yo.(當(dāng) k=o 時(shí)也成立)9k2 253622_ 一 一.x y 1Ox 2O o 相(以下同解法一).【例5】已知雙曲線 G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓1 一切.過(guò)點(diǎn)P 4,o作斜率為一的直線l ,使得l和G交于A, B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C , 4并且點(diǎn)P在線段AB上，又滿足 PA PB(1)求雙曲線G的漸近線的方程;(2)求雙曲線G的方程;(3)橢圓S的中心在原點(diǎn)，它的短軸是 G的實(shí)軸.如果 S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程.解：(1)設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為：y 則由漸近線與圓x2 y2 1ox 2o o相切可得:所以，k 1雙曲線G的漸近線的方程為：y -x.2(2)由(1)可設(shè)雙曲線G的方程為：x2 4y2 m.把直線l的方程1，一 一也2-x 4代入雙曲線方程，整理得 3x2 8x 16 4mo.4則 XaXbXaX