分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)分岔理論的研究

1、分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)分岔理論的研究分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)不僅能恰當(dāng)?shù)孛枋霰姸嘧匀晃锢磉^程 , 而且能準(zhǔn)確地刻畫 電力電子、機(jī)械工程、控制、生物、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)藥理、航天航空、鐵路調(diào)度、人 口學(xué)等領(lǐng)域的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)問題。因此 , 完善的分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)理論有 利于問題的分析和研究 , 同時(shí)也能推動(dòng)各領(lǐng)域科學(xué)技術(shù)的開展。分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)理論已有幾十年的研究歷史 , 在各位學(xué)者的不懈努力下取 得了很大的進(jìn)展 , 但到目前為止該理論領(lǐng)域仍有很多根本問題未能解決。本人正 致力于分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)分岔理論的研究 , 取得了如下創(chuàng)新成果。(1) 研究了只在重力作用下的切換單擺的運(yùn)動(dòng)情況。切換單擺是最簡單的切 換哈密頓

2、系統(tǒng)之一 , 它的每個(gè)子系統(tǒng)都有哈密頓函數(shù)。利用這些哈密頓函數(shù) , 我們發(fā)現(xiàn)切換擺的運(yùn)動(dòng)與單擺的運(yùn)動(dòng)大有不同。切換 單擺除了靜止不動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng)兩種常規(guī)情況之外還有兩類特有的運(yùn)動(dòng)情況。其一是切換單擺擺動(dòng)一會(huì)后將停在最高點(diǎn)。 另一種是切換單擺持續(xù)擺動(dòng)并且 隨著擺動(dòng)圈數(shù)的增加通過同一處的速度越來越快 , 即該分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)有無界 軌道。(2) 研究了一類平面非光滑動(dòng)力系統(tǒng)的廣義 Hopf 分岔, 該系統(tǒng)具有多個(gè)子系 統(tǒng)且不連續(xù)邊界均為從原點(diǎn)出發(fā)的曲線。 在原點(diǎn)附近系統(tǒng)的流不會(huì)發(fā)生 sliding 現(xiàn)象。利用子系統(tǒng)的 Poincare 映射確定參數(shù)在滿足某些條件下 , 系統(tǒng)會(huì)發(fā)生廣義Hopf 分岔。

3、 (3) 研究了具有四維中心的線性系統(tǒng)的一類微擾系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)問 題。利用一階平均方法 , 我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)微擾為某類分段線性函數(shù)時(shí) , 系統(tǒng)最多將分岔出 6個(gè)極限環(huán) ,并且確實(shí)能找到某些微擾使得擾動(dòng)后的系統(tǒng)具有 6個(gè)極限環(huán)而當(dāng)該類微擾系統(tǒng)具有某種對(duì)稱性質(zhì)時(shí) ,系統(tǒng)最多將分岔出 3個(gè)極限環(huán) , 并且確 實(shí)能找到某些微擾使得擾動(dòng)系統(tǒng)具有 3 個(gè)極限環(huán)。(4) 研究了一個(gè)具有四個(gè)參數(shù)變量的平面分段光滑映射 , 此映射源自于Laura Gardini 等人提出的一個(gè)電子元件極其簡單的混沌電路。研究發(fā)現(xiàn)在全參 數(shù)范圍內(nèi)該系統(tǒng)有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)時(shí) ,系統(tǒng)將發(fā)生分岔 ,產(chǎn)生其它形式的吸引子。 同時(shí)本文給出系