[理學(xué)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第一章 第12頁(yè) (共98頁(yè))第一章 隨機(jī)事件及其概率1. 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：（1）同時(shí)擲兩顆骰子，記錄兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和；（2）在單位圓內(nèi)任意一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)；（3）10件產(chǎn)品中有三件是次品，每次從其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出為止，記錄抽取的次數(shù)；（4）測(cè)量一汽車通過(guò)給定點(diǎn)的速度. 解 所求的樣本空間如下（1）S= 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）S= (x, y)| x2+y2<1（3）S= 3，4，5，6，7，8，9，10（4）S= v |v>02. 設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，用A、B、

2、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：（1）A發(fā)生，B和C不發(fā)生；（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；（3）A、B、C都發(fā)生；（4）A、B、C都不發(fā)生；（5）A、B、C不都發(fā)生；（6）A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生；（7）A、B、C不多于一個(gè)發(fā)生；（8）A、B、C至少有兩個(gè)發(fā)生. 解 所求的事件表示如下 3在某小學(xué)的學(xué)生中任選一名，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是三年級(jí)學(xué)生，事件C表示該學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員，則（1）事件AB 表示什么？（2）在什么條件下ABC=C成立？（3）在什么條件下關(guān)系式是正確的？（4）在什么條件下成立？解 所求的事件表示如下（1）事件AB表示該生是三年級(jí)男生，但不是運(yùn)動(dòng)員. （2）當(dāng)全校

3、運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)男生時(shí)，ABC=C成立. （3）當(dāng)全校運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)，關(guān)系式是正確的. （4）當(dāng)全校女生都在三年級(jí)，并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)，成立. 4設(shè)P(A)0.7，P(AB)0.3，試求解 由于 A-B = A AB, P(A)=0.7 所以P(A-B) = P(A-AB) = P(A) -P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 = 1-0.4 = 0.6.5. 對(duì)事件A、B和C，已知P(A) = P(B)P(C) ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率. 解 由于故P(ABC) = 0 則P(A+B+C) = P

4、(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC) 6. 設(shè)盒中有只紅球和b只白球，現(xiàn)從中隨機(jī)地取出兩只球，試求下列事件的概率： A兩球顏色相同， B兩球顏色不同. 解由題意，基本事件總數(shù)為，有利于A的事件數(shù)為，有利于B的事件數(shù)為, 則 7. 若10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品,（1）不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解（1）設(shè)A=取得三件次品 則 .（2）設(shè)B=取到三個(gè)次品, 則 .8. 某旅行社100名導(dǎo)游中有43人會(huì)講英語(yǔ)，35人會(huì)講日語(yǔ)，32人會(huì)講日語(yǔ)和英語(yǔ)，9人會(huì)講法語(yǔ)、

5、英語(yǔ)和日語(yǔ)，且每人至少會(huì)講英、日、法三種語(yǔ)言中的一種，求：（1）此人會(huì)講英語(yǔ)和日語(yǔ)，但不會(huì)講法語(yǔ)的概率；（2）此人只會(huì)講法語(yǔ)的概率. 解 設(shè) A=此人會(huì)講英語(yǔ), B=此人會(huì)講日語(yǔ), C=此人會(huì)講法語(yǔ)根據(jù)題意, 可得(1) (2) 9. 罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子4顆黑子，若從中任取3顆，求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到兩顆白子，一顆黑子的概率；（3）取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（4）取到三顆棋子顏色相同的概率. 解 (1) 設(shè)A=取到的都是白子 則 . (2) 設(shè)B=取到兩顆白子, 一顆黑子 . (3) 設(shè)C=取三顆子中至少的一顆黑子 . (4) 設(shè)D=取到三顆子顏色相

6、同 . 10. （1）500人中，至少有一個(gè)的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日計(jì)算)？（2）6個(gè)人中，恰好有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是多少？解 (1) 設(shè)A = 至少有一個(gè)人生日在7月1日, 則 (2)設(shè)所求的概率為P(B) 11. 將C，C，E，E，I，N，S 7個(gè)字母隨意排成一行，試求恰好排成SCIENCE的概率p.解 由于兩個(gè)C，兩個(gè)E共有種排法，而基本事件總數(shù)為，因此有 12. 從5副不同的手套中任取款4只，求這4只都不配對(duì)的概率. 解 要4只都不配對(duì)，我們先取出4雙，再?gòu)拿恳浑p中任取一只，共有中取法. 設(shè)A=4只手套都不配對(duì)，則有13. 一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造

7、三只同種零件，第i只零件是不合格的概率為 ，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的個(gè)數(shù)，則P(x=2)為多少？解 設(shè)Ai = 第i個(gè)零件不合格，i=1,2,3, 則所以 由于零件制造相互獨(dú)立，有：， 14. 假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時(shí)射擊命中目標(biāo)的概率為0.6，試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次命中目標(biāo)的概率p. 解 設(shè)A=目標(biāo)出現(xiàn)在射程內(nèi)，B=射擊擊中目標(biāo)，Bi =第i次擊中目標(biāo), i=1,2.則 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式另外, 由于兩次射擊是獨(dú)立的, 故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36由加法公

8、式P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 設(shè)某種產(chǎn)品50件為一批，如果每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為0.35，有1，2，3，4件次品的概率分別為0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今從某批產(chǎn)品中抽取10件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中次品不超過(guò)兩件的概率. 解 設(shè)Ai =一批產(chǎn)品中有i件次品，i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取10件檢查出一件次品,C=產(chǎn)品中次品不超兩件, 由題意 由于 A0, A1, A2,

9、A3, A4構(gòu)成了一個(gè)完備的事件組, 由全概率公式 由Bayes公式故 16. 由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%，10%和90%的概率分別為0.8，0.15，0.05，現(xiàn)在從中隨機(jī)地取三件，發(fā)現(xiàn)三件全是好的，試分析這批物品的損壞率是多少（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出一件后不影響下一件的概率）. 解 設(shè)B=三件都是好的，A1=損壞2%, A2=損壞10%, A3=損壞90%，則A1, A2, A3是兩兩互斥, 且A1+ A2 +A3=, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903,

10、 P(B| A3) = 0.13,由全概率公式由Bayes公式, 這批貨物的損壞率為2%, 10%, 90%的概率分別為 由于P( A1|B) 遠(yuǎn)大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以認(rèn)為這批貨物的損壞率為0.2.17. 驗(yàn)收成箱包裝的玻璃器皿，每箱24只裝，統(tǒng)計(jì)資料表明，每箱最多有兩只殘次品，且含0，1和2件殘次品的箱各占80%，15%和5%，現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢查其中4只；若未發(fā)現(xiàn)殘次品，則通過(guò)驗(yàn)收，否則要逐一檢驗(yàn)并更換殘次品，試求：（1）一次通過(guò)驗(yàn)收的概率；（2）通過(guò)驗(yàn)收的箱中確定無(wú)殘次品的概率. 解 設(shè)Hi=箱中實(shí)際有的次品數(shù), , A=通過(guò)驗(yàn)收則 P(H0)=0.8

11、, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：(1)由全概率公式(2)由Bayes公式 得18. 一建筑物內(nèi)裝有5臺(tái)同類型的空調(diào)設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時(shí)刻，每臺(tái)設(shè)備被 使用的概率為0.1，問(wèn)在同一時(shí)刻（1）恰有兩臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有三臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？解 設(shè)5臺(tái)設(shè)備在同一時(shí)刻是否工作是相互獨(dú)立的, 因此本題可以看作是5重伯努利試驗(yàn). 由題意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) (2) 19. 甲、乙兩個(gè)乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，如果每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時(shí)可以采用三局二勝制或五局三勝制，問(wèn)在哪一種比賽制度下甲

12、獲勝的可能性較大？解 在三局兩勝時(shí), 甲隊(duì)獲勝的概率為 在五局三勝的情況下, 甲隊(duì)獲勝的概率為 因此，采用五局三勝制的情況下，甲獲勝的可能性較大. 20. 4次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A至少出現(xiàn)一次的概率為，求在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率. 解 設(shè)在一次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)一次的概率為p, 則由題意 解得p=1/3.21.（87，2分）三個(gè)箱子，第一個(gè)箱子中有4只黑球1只白球，第二個(gè)箱子中有3只黑球3只白球，第三個(gè)箱子有3只黑球5只白球. 現(xiàn)隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再?gòu)倪@個(gè)箱子中取出一個(gè)球，這個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕实扔?. 已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€(gè)箱子的概率為 解 設(shè)“取出白球”，“球取自第個(gè)箱子”， 是一個(gè)

13、完全事件組， ，應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式22.（89，2分）已知隨機(jī)事件的概率，隨機(jī)事件B的概率及條件概率，則和事件的概率 解 .23.（90，2分）設(shè)隨機(jī)事件，及其和事件的概率分別是，和. 若表示的對(duì)立事件，那么積事件的概率 解 與互不相容，且 于是24.（92，3分）已知，則事件，全不發(fā)生的概率為 解 從可知，.25.（93，3分）一批產(chǎn)品共有10件正品和兩件次品，任意抽取兩次，每次抽一件，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為 解 設(shè)事件“第次抽出次品”， 則 ，應(yīng)用全概率公式26.（94，3分）已知，兩個(gè)事件滿足條件，且，則 解 因，故有27.（06，4分）設(shè)，為隨機(jī)事件，且，

14、則必有（ ）A BCD解 選（C）28.（05，4分）從數(shù)1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)，記為，再?gòu)?，2，中任取一個(gè)數(shù)，記為，則 解 填29.（96，3分）設(shè)工廠和工廠的產(chǎn)品的次品率分別為和，現(xiàn)從由和的產(chǎn)品分別占和的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該產(chǎn)品屬生產(chǎn)的概率是 解 設(shè)事件“抽取的產(chǎn)品是次品”，事件“抽取的產(chǎn)品是A生產(chǎn)的”，則表示“抽取的產(chǎn)品是工廠生產(chǎn)的”. 依題意有應(yīng)用貝葉斯可以求得條件概率30.（97，3分）袋中有50只乒乓球，其中20只是黃球，30只是白球，今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個(gè)人取得黃球的概率是 解 設(shè)事件“第個(gè)人取得黃球”，. 根據(jù)題設(shè)條件可

15、知應(yīng)用全概率公式31.（87，2分）設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為?，F(xiàn)進(jìn)行次獨(dú)立試驗(yàn)，則至少發(fā)生一次的概率為 ；而事件至多發(fā)生一次的概率為 . 解 由于每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率都是，并且次試驗(yàn)相互獨(dú)立. 這是重伯努利試驗(yàn)概型. 若“次試驗(yàn)中事件A發(fā)生次”，則事件A至少發(fā)生一次的概率為事件A至多發(fā)生一次的概率為32.（88，2分）設(shè)三次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率相等. 若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于，則事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 .解 設(shè)事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，這是一個(gè)3重伯努利試驗(yàn)概型. 因此在三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件至少出現(xiàn)一次的概率為 依題意，有解之得33.（89，2分）甲、乙兩人獨(dú)

16、立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5. 現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則它是甲射中的概率為 解 設(shè)事件“甲射中”，“乙射中”，依題意與相互獨(dú)立. 因此34.（98，3分）設(shè)，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則必有（ ）ABCD解 應(yīng)用條件概率定義，從可得即化簡(jiǎn)得，應(yīng)選（C）35.（99，3分）設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，和滿足條件：，且已知，則 解 由于，兩兩獨(dú)立，且，所以.依題意，有解之，得（舍去）36.（00，3分）設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，則 解 依題意，故 即又因與獨(dú)立，故與獨(dú)立. 解得.37.（07，4分）某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊

17、命中目標(biāo)的概率為，則此人第4次射擊恰好第二次命中目標(biāo)的概率為（ ）ABCD解 選（C）38.（88，2分）在區(qū)間中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于”的概率為 解 這是一個(gè)幾何概型的計(jì)算問(wèn)題. 設(shè)分別表示在區(qū)間中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則試驗(yàn)的樣本空間為第一象限中的單位正方形區(qū)域，即設(shè)事件“兩個(gè)數(shù)之和小于”，則. 由于點(diǎn)落在內(nèi)的任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，故其中與分別表示集合與集合的面積. 39.（91，3分）隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)的任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率為 解 設(shè)事件“擲的點(diǎn)和原點(diǎn)連線與軸夾角小于”，這是一個(gè)幾何概型的計(jì)

18、算問(wèn)題. 由幾何概率公式其中故40.（07，4分）在區(qū)間中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為 解 參考38題解得這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第44頁(yè) (共98頁(yè))第二章 隨機(jī)變量及其分布1. 有10件產(chǎn)品，其中正品8件，次品兩件，現(xiàn)從中任取兩件，求取得次品數(shù)X的分律. 解 X的分布率如下表所示：X012p28/4516/451/452. 進(jìn)行某種試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率. 解 X的分布律為：X取偶數(shù)的概率：3. 從5個(gè)數(shù)1，2，3，4

19、，5中任取三個(gè)為數(shù).求：Xmax ()的分布律及P(X4)；Ymin ()的分布律及P(Y>3). 解 基本事件總數(shù)為：，X345p0.10.30.6 (1)X的分布律為： P(X4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y的分布律為Y123p0.60.30.1P(X>3) =04. C應(yīng)取何值，函數(shù)f(k) =，k1，2，>0成為分布律？解 由題意, , 即解得：5. 已知X的分布律X112P 求：（1）X的分布函數(shù)；（2）；（3）. 解 (1) X的分布函數(shù)為 ;(2) (3) F(x)0x10.616. 設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為P0.6，求一次投籃時(shí)投中次數(shù)X的分布函數(shù)

20、，并作出其圖形. 解 X的分布函數(shù) 7. 對(duì)同一目標(biāo)作三次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊命中的概率為p，求：（1）三次射擊中恰好命中兩次的概率；（2）目標(biāo)被擊中兩彈或兩彈以上被擊毀，目標(biāo)被擊毀的概率是多少？解 設(shè)A=三次射擊中恰好命中兩次，B=目標(biāo)被擊毀，則(1) P(A) =(2) P(B) =8. 一電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求：（1）每分鐘恰有6次呼喚的概率；（2）每分鐘的呼喚次數(shù)不超過(guò)10次的概率. 解 (1) P(X=6) =或者P(X=6) = = 0.21487 0.11067 = 0.1042.(2) P(X10) = 0.997169. 設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布

21、，且P(X1)P(X2)，求P(X4)解 由已知可得， 解得=2， (=0不合題意)= 0.0910. 商店訂購(gòu)1000瓶鮮橙汁，在運(yùn)輸途中瓶子被打碎的概率為0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有兩只；（2）小于兩只；（3）多于兩只；（4）至少有一只的概率. 解 設(shè)X=1000瓶鮮橙汁中由于運(yùn)輸而被打破的瓶子數(shù)，則X服從參數(shù)為n=1000, p=0.003的二項(xiàng)分布，即XB(1000, 0.003), 由于n比較大，p比較小，np=3, 因此可以用泊松分布來(lái)近似, 即X(3). 因此 (1) P(X=2) (2)(3)(4) 11. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求：（1）系數(shù)k；（2）P

22、(0.25<X<0.75)；（3）X的密度函數(shù)；（4）四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次恰好在區(qū)間(0.25，0.75)內(nèi)取值的概率. 解 (1) 由于當(dāng)0x1時(shí)，有 F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=kx2 又F(1) =1, 所以k×12=1因此k=1. (2) P(0.25<X<0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.752-0.252=0.5 (3) X的密度函數(shù)為 (4) 由(2)知，P(0.25<X<0.75) = 0.5， 故 P四次獨(dú)立試驗(yàn)中有三次在(0.25, 0.75)內(nèi) = .12. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

23、的密度函數(shù)為求：（1）系數(shù)k；（2）；（3）X的分布函數(shù). 解 (1)由題意， , 因此 (2) (3) X的分布函數(shù) 13. 某城市每天用電量不超過(guò)100萬(wàn)千瓦時(shí)，以Z表示每天的耗電率(即用電量除以100萬(wàn)千瓦時(shí))，它具有分布密度為若該城市每天的供電量?jī)H有80萬(wàn)千瓦時(shí)，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量為90萬(wàn)千瓦時(shí)又是怎樣的？解 如果供電量只有80萬(wàn)千瓦，供電量不夠用的概率為： P(Z>80/100)=P(Z>0.8)= 如果供電量只有90萬(wàn)千瓦，供電量不夠用的概率為：P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=14. 某儀器裝有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件，

24、其壽命(單位 小時(shí))都服從同一指數(shù)分布，分布密度為試求在儀器使用的最初200小時(shí)以內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率. 解 設(shè)X表示該型號(hào)電子元件的壽命，則X服從指數(shù)分布，設(shè)A=X200，則 P(A)= 設(shè)Y=三只電子元件在200小時(shí)內(nèi)損壞的數(shù)量，則所求的概率為： 15. 設(shè)X為正態(tài)隨機(jī)變量，且XN(2，)，又P(2<X<4) = 0.3，求P(X<0)解 由題意知 即故 16. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10，4)，求a，使P(|X10|<a) = 0.9.解 由于所以 查表可得， =1.65 即 a = 3.317. 設(shè)某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N(10

25、.05，0.062)，規(guī)定X在范圍(10.05±0.12)厘米內(nèi)為合格品，求螺栓不合格的概率. 解 由題意，設(shè)P為合格的概率，則 則不合格的概率=1-P = 0.045618. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(60，9)，求分點(diǎn)x1，x2，使X分別落在(，x1)、(x1，x2)、(x2，+)的概率之比為3:4:5. 解 由題， 查表可得 解得, x1 = 57.99查表可得解得, x2 =60.63.19. 已知測(cè)量誤差X（米）服從正態(tài)分布N(7.5, 102)，必須進(jìn)行多少次測(cè)量才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米的概率大于0.98？解 設(shè)一次測(cè)量的誤差不超過(guò)10米的概率為p, 則

26、由題可知 設(shè) Y為n次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量誤差不超過(guò)10米出現(xiàn)的次數(shù)，則YB(n, 0.5586)于是 P(Y1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n0.98 0.4414n0.02, nln(0.02)/ln(0.4414)解得：n4.784取n=5, 即，需要進(jìn)行5次測(cè)量. 20. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 X2023P 試求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列. 解 (1) 2X的分布列如下 2X-4046p1/71/73/72/7(2) x2的分布列X2049p1/74/72/721. 設(shè)X服從N(0，1)分布，求YX的密度函數(shù). 解 y=|x|的反函數(shù)為, 從而可得Y=|X|的密

27、度函數(shù)為： 當(dāng)y>0時(shí)，當(dāng)y0時(shí)，0因此有 22. 若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求Y的分布函數(shù)和密度函數(shù). 解 y= 在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)，且反函數(shù)為 h(y)= , y>1, h(y)=因此有 Y的分布函數(shù)為：23. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為試求YlnX的密度函數(shù). 解 由于嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為, 則24. 設(shè)隨機(jī)變量X服從N(,)分布，求Y的分布密度. 解 由于嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為y>0, 則當(dāng)時(shí)因此 25. 假設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：Y在區(qū)間(0, 1)上服從均勻分布. 解 由于在(0, +)上單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)為：并且，則當(dāng)當(dāng)y0或y1時(shí)，=0.因此

28、Y在區(qū)間(0, 1)上服從均勻分布.26. 把一枚硬幣連擲三次，以X表示在三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，Y表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對(duì)值，試求（X，Y）的聯(lián)合概率分布. 解 根據(jù)題意可知, (X,Y)可能出現(xiàn)的情況有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 對(duì)應(yīng)的X,Y的取值及概率分別為 P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=P(X=1, Y=1)= P(X=0, Y=3)= 于是，（X，Y）的聯(lián)合分布表如下：XY0123103/83/8031/8001/827. 在10件產(chǎn)品中有2件一級(jí)品，7件二級(jí)品和1件次品，從10件產(chǎn)品中無(wú)放回抽取3件，用

29、X表示其中一級(jí)品件數(shù)，Y表示其中二級(jí)品件數(shù)，求：（1）X與Y的聯(lián)合概率分布；（2）X、Y的邊緣概率分布；（3）X與Y相互獨(dú)立嗎？解 根據(jù)題意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1) 其中, ,可以計(jì)算出聯(lián)合分布表如下 YX012300021/12035/12056/1201014/12042/120056/12021/1207/120008/1201/12021/12063/12035/120(2) X,Y的邊緣分布如上表(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)0, P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互獨(dú)

30、立.28. 袋中有9張紙牌，其中兩張“2”，三張“3”，四張“4”，任取一張，不放回，再任取一張，前后所取紙牌上的數(shù)分別為X和Y，求二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布律，以及概率P(XY>6)解 (1) X,Y可取的值都為2,3,4, 則(X,Y)的聯(lián)合概率分布為：YX23422/931/344/92/91/34/9(2)P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.29. 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,求：（1）系數(shù)A、B及C； （2）(X, Y)的聯(lián)合概率密度； （3）X，

31、Y的邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度；（4）隨機(jī)變量X與Y是否獨(dú)立？解 (1) 由(X, Y)的性質(zhì), F(x, -) =0, F(-,y) =0, F(-, -) =0, F(+, +)=1, 可以得到如下方程組： 解得：(2) (3) X與Y的邊緣分布函數(shù)為： X與Y的邊緣概率密度為： (4) 由(2),(3)可知：, 所以X，Y相互獨(dú)立. 30. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為（1）求分布函數(shù)F(x, y)；（2）求(X，Y)落在由x0，y0，xy1所圍成的三角形區(qū)域G內(nèi)的概率. 解 (1) 當(dāng)x>0, y>0時(shí)， 否則，F(xiàn)(x, y) = 0. (2) 由題意，所求的

32、概率為 31. 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求：（1）常數(shù)A；（2）X，Y的邊緣概率密度；（3）.解 (1) 由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)，可得 解得 A=12.(2) X, Y的邊緣概率密度分別為：(3) 32. 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求 P(XY1).解 由題意，所求的概率就是(X,Y)落入由直線x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1圍的區(qū)域G中, 則33. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)在圖2.20所示的區(qū)域G上服從均勻分布，試求(X, Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度. 解 由于(X, Y)服從均勻分布，則G的面積A為： , (X, Y)的聯(lián)合概率密度為： . X

33、,Y的邊緣概率密度為： 34. 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在(0, 0.2)上服從均勻分布，Y的概率密度是求：（1）X和Y和聯(lián)合概率密度； （2）P(YX).解 由于X在(0, 0.2)上服從均勻分布，所以y=xy(1) 由于X，Y相互獨(dú)立，因此X, Y的聯(lián)合密度函數(shù)為：0 0.2 x(2) 由題意，所求的概率是由直線x=0, x=0.2, y=0, y=x所圍的區(qū)域，如右圖所示， 因此 35. 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求X與Y中至少有一個(gè)小于的概率.解 所求的概率為36. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且 X113 Y 31P P 求二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律. 解 由獨(dú)立

34、性，計(jì)算如下表XY-113-31/81/203/401/413/83/209/403/41/21/56/2037. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X123 Y 1 2 abc（1）求常數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件；（2）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，求常數(shù)a，b，c.解 由聯(lián)合分布律的性質(zhì)，有： , 即 a + b + c = 又，X, Y相互獨(dú)立，可得 從而可以得到： 38. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為求邊緣分布函數(shù)與，并判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立. 解 由題意, 邊緣分布函數(shù) 下面計(jì)算FY(y) 可以看出，F(xiàn)(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y相互獨(dú)立.

35、 39. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 求邊緣概率密度與，并判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立. 解 先計(jì)算, 當(dāng)x<1時(shí), 當(dāng)x1時(shí), 再計(jì)算, 當(dāng)y<1時(shí), 當(dāng)y1時(shí), 可見, , 所以隨機(jī)變量X, Y相互獨(dú)立40. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 求邊緣概率密度與，并判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立. 解 先計(jì)算, 當(dāng)x<0或者x>1時(shí), 當(dāng)1x0時(shí), 再計(jì)算, 當(dāng)y<0或者y>1時(shí), 當(dāng)1y0時(shí), 由于, 所以隨機(jī)變量X,Y不獨(dú)立41. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為求隨機(jī)變量ZX2Y的分布密度. 0zxyzxyxyyx-2

36、y=z解 先求Z的分布函數(shù)F(z)Dy 當(dāng)z<0時(shí)，積分區(qū)域?yàn)椋篋=(x,y)|x>0, y>0, x-2yzy 求得x-2y=zDy 當(dāng)z0時(shí)，積分區(qū)域?yàn)椋篋=(x,y)|x>0, y>0, x-2yz， xy0zxyzxy由此, 隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)為 因此, 得Z的密度函數(shù)為：42. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，X，Y服從b，b(b>0)上的均勻分布，求隨機(jī)變量ZXY的分布密度. 解 解法一 由題意，令則解法二43. 設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，Y服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且X與Y獨(dú)立，求ZXY的密度函數(shù). 解 由題設(shè)，X, Y并且，X，Y相互獨(dú)立，則由于僅在x&

37、gt;0時(shí)有非零值，僅當(dāng)z-x>0，即z>x時(shí)有非零值，所以當(dāng)z<0時(shí)，=0, 因此=0. 當(dāng)z>0時(shí)，有0>z>x, 因此44. 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X 0123 Y000.050.080.1210.010.090.120.1520.020.110.130.12求：（1）ZXY的分布律；（2）Umax（X，Y）的分布律；（3）Vmin（X，Y）的分布律. 解 (1) X+Y的可能取值為：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=

38、P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y的分布如下 Z012345p00.060.190.350.280.12同理，U=max(X,Y)的分布如下 U0,1,2,3U0123p00.150.460.39V012p0.280.470.25同理，V=min(X,Y)的分布分別如下 V0,1,245.（90，2分）已知

39、隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)則的概率分布函數(shù) 解 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，的概率分布函數(shù)為46.（97，7分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)為遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布律.解 可以看出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其概率分布為于是隨機(jī)變量的分布律為X0123P27/12554/12536/1258/12547.（02，3分）設(shè)和是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為和，分布函數(shù)分別為和，則（ ）A+必為某一隨機(jī)變量的概率密度B必為某一隨機(jī)變量的概率密度C+必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)D必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)解 首先可以

40、否定選項(xiàng)（A）和（C），因?yàn)閷?duì)于選項(xiàng)（B），若，則對(duì)任何， 因此也否定（C）. 故選（D）.事實(shí)上，是隨機(jī)變量的分布函數(shù). 48.（88，2分）設(shè)隨機(jī)變量服從均值為10，均方差為0.02的正態(tài)分布。已知，則落在區(qū)間內(nèi)的概率為 解 依題意， 因此 于是49.（89，2分）若隨機(jī)變量在上服從均勻分布，則方程有實(shí)根的概率是 解 設(shè)事件“方程有實(shí)根”，而方程有實(shí)根的充要條件是根的判別式 即 因此.50.（91，3分）若隨機(jī)變量服從均值為2，方差為的正態(tài)分布，且，則 解 依題意于是. 51.（08，4分）設(shè)隨機(jī)變量和獨(dú)立同分布，且的分布密度函數(shù)為，則的分布函數(shù)為（ ）ABCD解 選（A）.52.（08，

41、11分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，的概率分布為， 的概率密度為記，求：（1）；（2）的概率密度. 解 （1）（2）53.（04，4分）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，對(duì)給定的，數(shù)滿足，若，則等于（ ）ABCD解 由于，故對(duì)于任何正數(shù)，有若，則因，必有，且由此可見， 應(yīng)選（C）.54.（06，4分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 解 填55.（88，6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。解 先求出隨機(jī)變量的分布函數(shù)，再求. 用變下限積分求導(dǎo)可得56.（93，3分）設(shè)隨機(jī)變量服從上均勻分布，則隨機(jī)變量在內(nèi)概率分布密度 解 方法一，先求隨機(jī)變量的分布函數(shù)，再求. 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)

42、時(shí)， 當(dāng)時(shí)，于是，方法二，應(yīng)用單調(diào)公式法. 由于在內(nèi)單調(diào)，反函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)恒不為零，因此隨機(jī)變量的概率分布密度57.（95，6分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求隨機(jī)變量的概率密度 解 方法一，先求隨機(jī)變量的分布函數(shù)，再求.當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，于是，方法二，應(yīng)用單調(diào)公式法.由于在內(nèi)單調(diào)，其反函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)數(shù)因此58.（98，3分）設(shè)平面區(qū)域由曲線及直線，所圍成，二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，則關(guān)于的邊緣概率密度在處的值為 解 首先求的聯(lián)合概率密度. 設(shè)區(qū)域的面積為，則依題意有其中其次，求關(guān)于的邊緣概率密度. 當(dāng)或時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， 故關(guān)于的邊緣概率密度在處的值為59.（99，8分）設(shè)隨機(jī)變量和相

43、互獨(dú)立，下表列出二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中空白處。1解 首先根據(jù)邊緣分布公式求出. 然后再依次求出其他值. 見下表160.（01，7分）設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為，且中途下車與否相互獨(dú)立，以表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客的條件下，中途有人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量的概率分布。解 （1） ，（2），.61.（03，4分）二維隨機(jī)變量的概率分布為則 解 62.（87，6分）設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為求隨機(jī)變量的概率密度。解 由于，相互獨(dú)立，因此它們的聯(lián)合概率密度為

44、隨機(jī)變量的分布函數(shù)為隨機(jī)變量的概率密度為63.（89，6分）設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且服從均值為1，標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）為的正態(tài)分布，而服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，試求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。解 由于獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量與的線性組合仍服從正態(tài)分布，于是隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為64.（91，6分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度。解 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以，隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為65.（92，6分）設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且服從正態(tài)分布，而服從上的均勻分布，試求的概率密度函數(shù)（計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示，其中）。解 解法一：先求分布函數(shù)因此，的概率密度函數(shù)為其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù). 由于是偶函數(shù)，因此

45、有于是解法二：直接應(yīng)用獨(dú)立隨機(jī)變量之和密度的卷積公式.66.（94，3分）設(shè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量，具有同一分布律，且的分布律為01則隨機(jī)變量的分布律為 解 易見只取0與1兩個(gè)可能值，且67.（96，6分）設(shè)是相互獨(dú)立且服從同一分布律的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知的分布律為，又設(shè)，。（1）寫出二維隨機(jī)變量的分布律；（2）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。解 （1）易見的可能取值為，. 二維隨機(jī)變量的分布律見下表123100203（2）先將表中各行相加，求得的分布率為X123P1/93/95/9于是68.（99，3分）設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則（ ）ABCD解 因?yàn)殡S機(jī)變量和相互獨(dú)立，它們又服從正態(tài)分

46、布，所以與也都服從正態(tài)分布，且， 由于故選（B）.69.（05，4分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布01010.40.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則（ ）ABCD解 選（B）70.（05，9分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）的邊緣概率密度和；（2）的概率密度。解 （1）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)或時(shí)， 即當(dāng)時(shí)， 當(dāng)或時(shí)， 即（2）解法一 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以，解法二 其中當(dāng)或時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即71.（06，9分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為令，為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，求（1）的概率密度；（2）.解 （1）的分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故的概率密度（2）72.（07，4分）設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分

47、布，且與不相關(guān)，分別表示，的概率密度，則在的條件下，的條件概率密度為（ ）ABCD解 選（A）73.（07，11分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）；（2）的概率密度解 （1） （2）其中當(dāng)或時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第60頁(yè) (共98頁(yè))第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1. 隨機(jī)變量X的分布列為 X 10 12 P 求E(X)，E(X1)，E(X2)解 或者2. 一批零件中有9件合格品與三件廢品，安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任取一件，如果取出的廢品不再放回，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 解 設(shè)取得合格品之前已經(jīng)取出的廢品數(shù)為X, X的取值為0, 1, 2, 3, Ak表示取出廢品數(shù)為k的事件， 則有：3. 已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1、0、1，E(X)0.1，E(X2)0.9，求P(X=-1)，P(X